第三章一阶微分方程的解的存在定理 (2)

x0
x0
令u(x) L
x
g( )d,
x0
则u(x)是定义于[x0, x0 h]上连续可微函数 ,
且u(x0 ) 0,0 g(x) u(x), u' (x) Lg (x), 于是
u' (x) Lu(x), (u' (x) Lu(x))eLx 0,
0 g(x) u(x)
n1(x) n (x) x0 f (,n ( )) f (,n1( ))d
x
L x0 n ( ) n1( )d
MLn
n!
x x0
(

x0 )nd

MLn (n 1)!
(
x

x0
)
n 1
,
于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有
从而k1(x)在[x0 , x0 h]上连续且
k1(x) y0
x
x0 f ( ,k ( ))d
x
x0 f (,k ( ))d
M x x0 Mh b
即命题2当n k 1时成立, 从而命题 2对所有n都成立,
命题3 函数序列{n (x)}在[x0, x0 h]上一致收敛 .
积分方程的解
对于积分方程y y0
x x0
f (t, y)dt,如果存在定义在区间
I [ , ]上的连续函数y (x),使得
x
(x) y0 x0 f (t,(t))dt
在区间I上恒成立,则称y (x)为该积分方程的解.
命题1
初值问题(3.1)等价于积分方程
故对上式两边求导,得
d(x) f (x,(x))
dx
且 (x0) y0
x0 x0
f
(x,(x))dx

y0
即y (x)为(3.1)的连续解.
构造Picard逐步逼近函数列{n (x)}
0 (x) y0

x
n (x) y0 x0 f (,n1( ))d
则g(x)是定义于[x0, x0 h]上非负连续函数 ,
由(x) y0
x x0
f (,( ))d (x) y0
x x0
f (, ( ))d
及f (x, y)的Lipschitz条件得
x
x
g(x) (x) (x) f (, ( ))d f (,( ))d
h min( a, b ) M
设命题2当n k时成立, 即k (x)在[x0, x0 h]上连续且
k (x) y0 b
当n k 1时
x
k1(x) y0 x0 f (,k ( ))d
由f (x, y)在R上连续性知,
f (x,k (x))在[x0, x0 h]上连续
即
x
(x) y0 x0 f (,( ))d,
只需函数列{ f (x,n (x))}在[x0 h, x0 h]上一
致收敛于f (x,(x)).
由 f (x,n(x)) f (x,(x)) Ln(x) (x) 只需{n (x)}在[x0 h, x0 h]上一致收敛于 (x).
x
即
x (x) (x0 ) x0 f (x,(x))dx (x) y0 x0 f (x,(x))dx
故y (x)为(3.5)的连续解.
反之 若y (x)为(3.5)的连续解,则有
x
(x) y0 x0 f (t,(t))dt
由于f (x, y)在R上连续, 从而f (t,(t))连续,
(x)在[x0, x0 h]上连续,且
(x) y0 b
命题4 (x)是积分方程 (3.5)定义于[x0, x0 h]上连续解.
证明: 由Lipschitz条件有
f (x,n (x)) f (x,(x)) Ln(x) (x)
以及{n (x)}在[x0, x0 h]的一致收敛性得 ,
的连续解.
(3.5)
(2) 构造(3.5)近似解函数列 {n (x)}
任取一连续函数0 (x), 0 (x) y0 b, 代入(3.5)
右侧的y, 得
x
1(x) y0 x0 f (,0( ))d
若1(x) 0 (x),则0 (x)为解,否则将1(x)代入(3.5)
(u'(x) Lu(x))eLx 0,
对最后一个不等式从 x0到x积分得 u(x)eLx u(x0 )eLx0 0,
故g(x) u(x) 0, 即g(x) 0, x [x0, x0 h].
综合命题1—5得到存在唯一性定理的证明.
一 存在唯一性定理
1 定理1 考虑初值问题
(4) (x)是积分方程(3.5)定义于[x0 h, x0 h]上连续解
且唯一.
下面分五个命题来证明定理,为此先给出
积分方程
如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符 号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程.
如: y ex x y(t)dt,就是一个简单的积分方 程. 0
于是{n (x)}一致收敛性与级数 (3.9)一致收敛性等价 .
对级数(3.9)的通项进行估计
x
1(x) 0(x) x0 f (,0( ))d M x x0
x
2(x) 1(x) x0 f (,1( )) f (,0 ( ))d
x
L x0 1( ) 0( )d
否则一直下去可得函数 列{n (x)}
(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法)
(3) 函数序列{n (x)}在[x0 h, x0 h]上一致收敛于(x).
x
这是为了
lnimn1(x)

y0

lim
n
x
x0 f (,n ( ))d
y0
x0
lim
n
f
(,n ( ))d
x0
x0
x
( f (, ( )) f (,( )))d x0
x
g(x) ( f (, ( )) f (,( )))d x0
x
f (, ( )) f (,())d x0
x
x
L ( ) ( )d L g( )d
函数列{ fn (x)}, ( fn (x) f (x,n (x)))
在[x0, x0 h]上一致收敛于函数 f (x,(x)),
因此对(3.7)两边取极限 ,得
x
lim
n
n
(
x)

y0

lim
n
x0
f (,n1( ))d
x
y0
x0
lim
n
f
(,n1( ))d
(3.8)
证明:(用数学归纳法)
x
n 1时 1(x) y0 x0 f (,y0)d
显然1(x)在[x0 , x0 h]上连续,且
1(x) y0
x x0
f ( ,y0 )d

x x0
f (, y0)d
M x x0 Mh b
M Max f (x, y) ( x, y)R
记
lim
n
n
(
x)


(
x),
x [x0, x0 h].
证明: 考虑函数项级数

0 (x) (n (x) n1(x)), x [x0 , x0 h], (3.9) n1
它的前n项部分和为
n
Sn (x) 0 (x) (k (x) k1(x)) n (x), k 1
由Weierstras s判别法知,级数(3.9)在[x0, x0 h]上一致收敛 .
因而函数序列{n (x)}在[x0, x0 h]上一致收敛 .
现设
lim
n
n
(
x)


(
x),
x0 x x0 h,
则由{n (x)}在[x0, x0 h]的连续性和一致收敛性 得,
dy dx

f
(x, y), (3.1)
x
y(x0 ) y0
y y0 x0 f (t, y)dt (3.5)Baidu Nhomakorabea
证明:若y (x)为(3.1)的连续解,则
d ( x)
dx

f
( x, ( x)),
(x0 ) y0
对第一式从 x0到x取定积分得
n
由于 0 (x) (k (x) k1(x)) n (x), k 1 于是函数列{n (x)}在[x0 h, x0 h]上一致收
敛性, 等价于函数项级数

0 (x) (n (x) n1(x)), n1
在[x0 h, x0 h]上一致收敛性 .

L
x x0
M (

x0 )d

ML(x 2
x0 )2
其中第二个不等式是由 Lipschitz条件得到的,
由Lipschitz条件
设对于正整数 n,有不等式
n (x) n1(x)

MLn1 n!
(x

x0
)n
,
则当x0 x x0 h时,由Lipschitz条件有
x
即
x
(x)
y0
f (,( ))d
x0
故(x)是积分方程 (3.5)定义于[x0, x0 h]上连续解.
命题5 设 (x)是积分方程(3.5)定义于[x0, x0 h]上的 一个连续解,则(x) (x), x [x0, x0 h].
证明: 设g(x) (x) (x) ,
(n 1,2,)
(3.7)
x0 x x0 h
注 一般来说连续函数0 (x)可任取,但实际上为 方便, 往往取0 (x) y0的常数值.
问题:这样构造的函数列是否行得通, 即上述的积分 是否有意义?
命题2 对于所有 n和x [x0, x0 h],n (x)连续且满足
n (x) y0 b,
1 定理1 考虑初值问题
dy dx

f
(x, y),
(3.1)
y(x0 ) y0
其中f (x, y)在矩形区域 R : x x0 a, y y0 b,
上连续, 并且对y满足Lipschitz条件:
(3.2)
即存在L 0,使对所有(x, y1), (x, y2) R常成立
第三章 一阶微分方程的解的存在定理
需解决的问题
10
初值问题
dy dx

f
(x, y),的解是否存在?
y(x0 ) y0
20
若初值问题
dy dx

f
(x, y),的解是存在,是否唯一?
y(x0 ) y0
§3.1 解的存在唯一性定理与逐 步逼近法
一 存在唯一性定理
f (x, y1) f (x, y2 ) L y1 y2
则初值问题(3.1)在区间x x0 h上的解存在且唯一,
这里h min(a, b ),M Max f (x, y)
M
( x, y)R
证明思路 (1) 初值问题(3.1)的解等价于积分方程
x
y y0 x0 f (t, y)dt
n (x) n1(x)

MLn1 n!
(x

x0 )n ,
x0 x x0 h,
(3.11)
从而当x0 x x0 h时,
n (x) n1(x)

MLn1 n!
(x

x0 )n
MLn1 hn , n!
由于正项级数 MLn1 hn收敛,
n1 n!
dy dx

f
(x, y),
(3.1)
y(x0 ) y0
其中f (x, y)在矩形区域 R : x x0 a, y y0 b,
上连续, 并且对y满足Lipschitz条件:
(3.2)
即存在L 0,使对所有(x, y1), (x, y2) R常成立
f (x, y1) f (x, y2 ) L y1 y2
右侧的y, 得
x
2(x) y0 x0 f (,1( ))d
若2 (x) 1(x),则1(x)为解,否则将2 (x)代入(3.5)
右侧的y,
x
n1(x) y0 x0 f ( ,n ( ))d ,
这里要求n (x) y0 b, 若n1(x) n (x), 则n (x)为解,