2018年华师版九年级数学 25.2随机事件及其概率习题

第一章 随机事件及其概率习题
一 、填空题：
1.设A ，B ，C 为三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示（1）A 和B 都发生，而C 不发生为 ，（2）A 、B 、C 至少有两个发生的事件为 。

2.设A ，B 为两个互不相容的事件，P(A)=0.2, P(B)=0.4, P(A+B)= 。

3.设A ，B ，C 为三个相互独立的事件，已知P(A)=a, P(B)=b, P(C)=c,则A ，B ，C 至少有一个发生的概率为 。

4.把一枚硬币抛四次，则无反面的概率为 ，有反面的概率为 。

5.电话号码由0，1，……9中的8数字排列而成，则电话号码后四位数字全都不相同的概率表示为 。

6.设公寓中的每一个房间都有4名学生，任意挑选一个房间，则这4人生日无重复的概率表示为 （一年以365天计算）。

7. 设A ，B 为两个事件，P(A)=0.4, ,P(B)=0.8,P(B A )=0.5,则P(B|A)= 。

8.设A ，B ，C 构成一个随机试验的样本空间的一个划分，且7.0)(,5.0)(==B P A P ,则P(C)= ,P(AB)= 。

9.设A ，B 为两个相互独立的事件，P(A)=0.4，P(A+B)=0.7，则P(B)= 。

10.3个人独立地猜一谜语，他们能够猜出的概率都是3
1
，则此谜语被猜出的概率为 。

二 、选择题 ：
1. 设A 与B 是两随机事件，则AB 表示（ ）
（A ）A 与B 都不发生 （B ）A 与B 同时发生
（C ）A 与B 中至少有一个发生 （D ）A 与B 中至少有一个不发生 2.设A 与B 是两随机事件，则))((B A B A ++表示（ ） （A ）必然事件 （B ）不可能事件
（C ）A 与B 恰好有一个发生 （D ）A 与B 不同时发生
3.设c B A P b B P a A P =+==)(,)(,)(，则)(B A P 为 （A ）b a -（B ）b c -（C ）)1(b a -（D ）)1(c a -
4.若A ，B 是两个互不相容的事件，P （A ）>0，P （B ）>0，则一定有（ ） （A ）P （A ）=1—P （B ） （B ） P （A|B ）=0 （C ） P （A|B ）=1 （D ）P （A |B ）=0
5. 每次试验失败的概率为p (0<p<1),则在3次重复试验中至少成功一次的概率为（ ）
（A ）)1(3p - (B)3)1(p -(C) 31p - (D)1
3C 3)1(p p -
三、计算：
1.掷两颗质地均匀的骰子，求出现的两个点数之和等于5的概率。

2. 若10个产品中有7个正品，3个次品
（1） 不放回地每次从中任取一个，共取3次，求取到3个次品的概率。

（2） 每次从中任取一个，有放回地取3次，求取到3个次品的概率。

3 . 设A ，B 是两个事件，已知P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B|A )=0.4, 求 （1）P （A B ） (2)P(AB) (3) P(A+B)
4. 有五张票，其中两张是电影票，3人依次抽签得票，求每个人抽到电影票的概率分别为多少？
5.有五张票，其中三张是电影票，5个人依次抽签得票，如果第一人抽的结果尚未公开，由第2人抽得的结果去猜第1人是否抽的电影票。

问：若第2人抽到了电影票，则第1人抽到电影票的概率为多少？
6.加工某一零件共需经过四道工序，设第一，二，三，四道工序出次品的概率分别是0.02，0.03，0.05，0.04，各道工序互不影响，求加工出的零件的次品率？
7.电路由电池A 与2个并联电池的电池B 及C 串联而成，设电池A 、B 、C 损坏的概率分别是0.3，0.2，0.2，求电路发生间断的概率？
8.车间有甲、乙、丙3台机床生产同一种产品，且知它们的次品率依次是0.2，0.3，0.1，而生产的产品数量比为：甲：乙：丙=2：3：5，现从产品中任取一个，（1）求它是次品的概率？（2）若发现取出的产品是次品，求次品是来自机床乙的概率？ 9.三个箱子中，第一箱装有4个黑球1个白球，第二箱装有3个黑球3个白球，第三箱装有3个黑球5个白球。

现先任取一箱，再从该箱中任取一球。

问（1）取出球是白球的概率？（2）若取出的球为白球，则该球属于第二箱的概率？ 10.设三次独立试验中，若A 出现的概率均相等且至少出现1次的概率为27
19
，求在一次试验中，事件A 出现的概率？
11.甲、乙两人投篮命中率分别为0.7和0.8，每人投三次。

求（1）两人进球数相等的概率？（2）甲比乙进球数多的概率？ 12.三人向同一目标射击，击中目标的概率分别为
3
2
,43,54 。

求（1）目标被击中的概率；（2）恰有一人击中目标的概率；（3）恰有两人击中目标的概率；（4）无人击中目标的概率。

四、证明题：
若已知事件A 与B 相互独立，证明事件A 与B 相互独立
五 附加题：
1. 从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？（至少用两种方法求解）
2.设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为9
1
，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，求P （A ）
第二章 随机变量及其分布
一、填空题：
1. 设随机变量ξ的分布律为N
a
K P =
=)(ξ（K=1,2, N ）,则常数=a 。

2. 盒内有5个零件，其中2件次品，从中任取3件，用ξ表示取出的次品数，则ξ
的概率分布为 。

3. 设随机变量),2(~P B ξ，若9
5
)1(=
≥ξP ，则=P 。

4. 设ξ服从参数为λ的泊松分布且已知{
}{}32===ξξP P ，则{}==1ξP 。

5. 设随机变量ξ的分布律为 ξ 0 1 则ξ的分布函数
P
31 3
2 为 。

6.设)(x F 是离散型随机变量的分布函数，若______)(==b P ξ，则
)()()(a F b F b a P -=<<ξ成立。

7. 设连续型随机变量ξ的概率密度为⎪⎩⎪
⎨⎧≤>=-0
0)(2x x ke
x f x
则 =k ，=≤<)21(ξP ，==)2(ξP ，
=<)2(ξP 。

8. 设随机变量ξ的概率密度为8
)1(2
)(--=x ke
x f （+∞<<∞-x ），则=k 。

9. 设随机变量ξ在[1，6]上服从均匀分布，则=≤)3(ξP 。

10. 设随机变量ζ~)1,0(N ,12+=ζη , 则 η服从 。

二、选择题：
1. k
k p x P 2
)(==ξ)2,1( =k 为一随机变量ξ的概率分布的必要条件是（ ）。

（A ）k x 非负 （B ）k x 为整数 （C ）20≤≤k p （D ）2≥k p 2. 若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度，则（ ）一定成立。

（A ）)(x f 的定义域为[0，1] （B ）)(x f 的值域为[0，1]
(C) )(x f 非负 (D) )(x f 在），（∞∞-内连续
3. 设随机变量ξ的概率密度为4
)3(2
21)(+-
=
x e
x f π
（+∞<<∞-x ），
则=η（ ）)1,0(~N
（A ）
23+ξ (B) 23+ξ (C) 23-ξ (D) 2
3
-ξ 4. 如果)(x F 是（ ），则)(x F 一定不可以是连续型随机变量的分布函数。

（A ）非负函数（B ）连续函数（C ）有界函数（D ）单调减少函数
5. 下列函数中，（ ）可以作为连续型随机变量的分布函数。

(A))(x F = ⎩⎨
⎧≥<0
1
0x x e x
（B ）G(x)= ⎩⎨
⎧≥<-0
1
x x e x
(C)=Φ)(x ⎩⎨⎧≥-<0
10
x e
x x
(D) H(x)= ⎩⎨⎧≥+<-0
10
0x e
x x 6. 设随机变量ζ~)1,1(N ,概率密度为)(x ϕ，则（ ）.
（A ）5.0)0()0(=≥=≤ζζP P （B ）)()(x x -=ϕϕ, ),(+∞-∞∈x （C ）5.0)1()1(=≥=≤ζζP P （D ）)()(x F x F -=, ),(+∞-∞∈x
三、计算题：
1.掷两颗骰子，用ξ表示点数之和，求ξ的概率分布。

2.抛掷一枚硬币，直到出现“正面朝上”为止，求抛掷次数的分布律。

3.已知随机变量ξ只能取 1-，0，1，2，相应的概率为c 21，c 43，c 85，c
167， 求c 的值，并计算)1(<ξP 。

4.设ζ~B(2,p) , η~B(4,p) ,且9
5
)1(=
≥ζP ， 求 )1(≥ηP 。

5. 某地每年夏季遭受台风袭击的次数服从参数为4的泊松分布， （1）求台风袭击次数小于1的概率；（2）求台风袭击次数大于1的概率。

6. 设连续型随机变量ξ的分布函数为F(x)=⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<≤2
12000
3
x x Ax
x
求（1）系数A ；（2）P {}10<<ξ，P {}25.1≤<ξ，P {}32≤≤ξ
7. 设连续型随机变量ξ的概率密度为f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥<≤<2
2041
0x x x ke x
求（1）系数k ；（2）ξ的分布函 (3)P {}1≤ξ, P {}1=ξ, P {}21<<ξ
8. 设连续型随机变量ξ的概率密度为⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤-<≤=其他02
1210)(x x x Ax x f
求（1）系数A ； (2)ξ的分布函数F(x) ；
9. 设随机变量ζ在区间[1，6]上服从均匀分布，求方程012=++x x ζ有实根的概率。

10. 设随机变量)6.0,1(~2N ξ，求：（1）{}0>ξP ；（2）{}8.12.0<<ξP 11. 已知ζ~),2(2σN ，且6826.0)31(=<<ζP ，求 )21(≤-ζP 。

12. 某种型号的电灯泡使用时间（单位：小时）为一随机变量ξ，其概率密度为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤>=-0
0050001)(5000x x e
x f x
求3个这种型号的电灯泡使用了1000小时后至少有2个仍可继续使用的概率。

13. 已知离散型随机变量ξ的分布律为ξ -3 -1 0 1 3 5
P
121 61 31 121 92 9
1
求：（1）121-=ξη的分布律； （2）2
2ξη=的分布律。

14. 设ξ的概率密度为⎩⎨
⎧<<=其他0
102)(x x x f ξ求ξ
η-=e 的概率密度)(y ηϕ。

15. 设连续型随机变量ξ的概率密度为⎩⎨
⎧<≥=-0
)(x x e x f x
，求ξ的函数ξη=
的概率密度)(y ηϕ。

四、附加题：
1.设离散型随机变量ξ的分布函数为 ⎝
⎛≥+<≤-<≤--<=2
2132
1110)(x b a x a x a
x x F ，
且2
1
)2(=
=ξp ，求 a , b , 以及ξ的分布律。

2.设随机变量ζ
~),(2σμN ，而且已知0793.0)5.0(=<ζP ，
7611.0)5.1(=>ζP ，求 μ与σ。

第三章 多维随机变量及其分布
一、 填空题：
1. 设（Y X ,）的分布律为
则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧
≤≤
21,21Y X P ，{}=≥1X P ，=⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
<21X P 。

2.⎩
⎨
⎧>>--=--其它
,00
,0),
1)(1(),(32y x e e y x F y x 则分布密度函数
=),(y x f . 。

3.已知（Y X ,）~⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤+=其它
,04,0),
sin(),(π
y x y x C y x f 则
=C 。

4. 设（Y X ,）的分布律为
X 与Y 独立，则=α ，=β 。

二、选择题：
1. 设随机变量（Y X ,）的密度函数为⎩
⎨⎧<<<<=其它,01
0,10,1),(y x y x f 则概率
{}6.0,5.0<<Y X P 为（ ）。

A. 0.5 B. 0.3 C.
8
7
D. 0.4 2. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布为
X 0 1 Y 0 1 P
31 32 P 31 3
2
则下列式子正确的是（ ）。

A. Y X =
B. {}1==Y X P
C. {}9
5
=
=Y X P D. {}0==Y X P 3. 设随机变量X 与Y 相互独立,且),(~211σμN X ，),(~2
22σμN Y ，则Y X Z +=
仍具正态分布，且有（ ）。

A. ),(~2
22
11σσμ+N Z B. ),(~2121σσμμ+N Z
C. ),(~2
22
121σσμμ+N Z D. ),(~2
22
121σσμμ++N Z
4. 设X 与Y 是相互独立的两个随机变量,它们的分布函数分别为)(x F X 、)(y F Y ，则
),max(Y X Z =的分布函数为（ ）。

A. {})(),(max )(z F z F z F Y X Z =
B. {}
)(,)(max )(z F z F z F Y X Z = C. )()()(z F z F z F Y X Z = D. 都不是
三、计算题：
1． 设箱内有6个零件，其中一、二、三等品各为1、2、3个，从中任意取出3
件，用X 和Y 分别表示取出的一等品和二等品数，试求),(Y X 的联合概率及边缘概率分布。

2． 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次中出现H 的次数，以Y 表示3次中出现
H 的次数，求),(Y X 的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。

3． 二维随机变量),(Y X 共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1）, (2,-1) ,
(2,0) ,(2,2) , (3,1) , (3,2) , 并且),(Y X 取得它们的概率相同，求),(Y X 的联合分布。

4．设),(Y X 的联合分布密度为⎩
⎨
⎧≥≥=+-其它
,00
,0,),()(y x Ce y x f y x
试求：（1）常数C ；（2）)10,10(<<<<Y X P
5． 随机变量),(Y X 的分布密度⎩⎨
⎧<<<<=其它
,
00,10,3),(x
y x x y x f
求（1）X 与Y 的边缘分布密度； （2）问X 与Y 是否独立。

6
．
设
二
维
随
机
变
量
)
,(Y X 的密度函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它
,02
0,10,
3
1),(2y x xy x y x f ，（1）求关于X 和关于Y 的边缘密
度函数，并判断X 和Y 是否相互独立？（2）求{}1≥+Y X P
7． 离散型随机变量),(Y X 有如下概率分布：
X Y 0 1 2 0 0.1 0.2 0.3 1 0 0.1 0.2 2 0 0 0.1
(1) 求边缘概率分布；
(2) 求2=Y 时X 的条件分布； (3) 检验随机变量X 与Y 是否独立。

8． 已知二维随机变量服从D ＝{}
10),(<<<y x y x 上的均匀分布，求
⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
<<<<210,210Y X P 。

9． 设X 和Y 是两个相互独立的二维随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y
的概率密度为⎪⎩⎪
⎨⎧≤>=-0
,
00,
21)(2y y e y f y
Y ，（1）求X 和Y 的联合概率密度；（2）
求{}1<+Y X P 。

10． 设二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为
(1) 求常数k ；（2）求X ＋Y 的概率分布；（3）求{}Y X ,max 的概率分布
四、证明题：
二维随机变量),(Y X 在单位圆上服从均匀分布，证明：随机变量X ，Y 不相互独立。

五、附加题：
设随机变量 ),(Y X 联合密度函数为⎩⎨⎧+∞
<<<=-其它,
00,),(y x xe y x f y
求Y X Z +=的密度函数。

第四章 随机变量的数字特征
一、填空题：
1. 设随机变量ζ~B(n,p) ,且5.0=ζE ，45.0=ζD ，则n= , p= 。

2. 设随机变量ξ表示10次独立重复射击中命中目标的次数，且每次射击命中目标的概率为0.4，则)(2
ξE = 。

3. 已知随机变量ξ的概率密度为1
22
1
)(-+-=
x x
e x π
ϕ（+∞<<∞-x ），则
=)(ξE ，=)(ξD 。

4. 设随机变量ξ),(~b a U ，且2)(=ξE ，3
1)(=
ξD ，则=a ，=b 。

5. 设随机变量ζ,有10=ζE ，25=ζD ，已知 0)(=+b a E ζ ，1)(=+b a D ζ 则 a= , b= , 或 a= , b= 。

6. 已知离散型随机变量ζ服从参数为2的普哇松分布，则随机变量23-=ζη的数学期望=ηE 。

7. 设随机变量1ξ]6,0[~U ，2ξ)2,0(~2
N ，且1ξ与2ξ相互独立，则
=-)2(21ξξD 。

8. 设随机变量n ζζζ,,,21 独立，并且服从同一分布。

数学期望为a , 方差为2
σ，
令 i n
i n ζζ∑==1
1 ，则 =ζE ，=ζD 。

9. 已知随机变量ζ与η的方差分别为49=ζD ， 64=ηD ， 相关系数
8.0=ζηρ，则=+)(ηζD ，=-)(ηζD 。

10. 若随机变量ζ的方差为004.0)(=ξD ，利用切比雪夫不等式知
{}≥<-2.0ξξE P 。

二、选择题：
1. 设随机变量ζ的函数为b a +=ζη，（a , b 为常数），且ζE ，ζD 均存在，则必有（ ）。

A. ζηaE E =
B. ζηaD D =
C. b aE E +=ζη
D. b aD D +=ζη
2. 设随机变量ζ的方差ζD 存在，则=+)(b a D ζ（ ）（a , b 为常数）。

A. b aD +ζ
B. ζD a 2
C. b D a +ζ2
D. ζD a
3. 如果随机变量ζ~),(2σμN ，且3=ζE ，1=ζD ，则=≤<-)11(ζP （ ）.
A. 1)1(2-Φ
B.)4()2(Φ-Φ
C.)2()4(-Φ--Φ
D.)2()4(Φ-Φ
4. 若随机变量ζ服从指数分布，且2
5.0=ζD ，则ζ的数学期望=ζE （ ）.
A.
21 B. 2 C. 4
1
D. 4 5. 设随机变量ζ的分布函数为⎪⎩
⎪⎨⎧>≤≤<=1
,110,
,
0)(3
x x x x x F ，则=)(ξE （ ）. A.
dx x ⎰
+∞
4
B.
dx x ⎰10
2
3 C. ⎰
⎰+∞+1
1
4
xdx dx x D.
dx x ⎰
+∞
23
6. 设随机变量ζ的期望ζE 为一非负值，且2)12
(
2
=-ζE ，2
1
)12
(
=
-ζ
D ，则 =ζ
E （ ）。

A. 0
B. 1
C. 2
D.
8
7． 随机变量ζ与η相互独立，且4)(=ξD ，2)(=ηD ，则
=+-)523(ηξD （ ）。

A. 8
B. 16
C. 28
D. 44
8. 如果ζ与η满足)()(ηζηζ-=+D D ，则必有（ ）。

A. ζ与η独立
B. ζ与η不相关
C. 0=ηD
D. 0=⋅ηζD D 9. 设随机变量ζ与η的相关系数为1=ξηρ，则（ ）。

A. ζ与η相互独立
B. ζ与η必不相关
C.{
}12
=++=c b a P ξξη D. {}
1=+=b a P ξη
三、计算题：
1. 设随机变量ζ的分布律为
求)(ζE ，)(2
ζE , )53(2
+ζE ，
)12(-ζD
2．三枚硬币，用ξ表示出现正面的个数，试求3
ξη=的数学期望)(ηE 。

3. 某公共汽车站每隔10分钟有一辆车经过，某一乘客到达车站的时间是任意的，该乘客的候车时间（单位：分钟）是一个随机变量ζ，求ζ的数学期望与标准差。

4. 设随机变量的密度函数为⎩⎨
⎧<=其它
,
01
,
)(2x Ax x ϕ，
求:（1）常数A ; (2) ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤
21ξP ; (3) )(ξE ,)(ξD 5. 设随机变量)(~λπξ,且已知1)]2)(1[(=--ξξE ，求λ。

6. 设ζ为一个随机变量。

已知1=ζE ，1)2
(=ζ
D ，求 2)1(-ζ
E 。

7. 设随机变量ζ服从指数分布，且方差3=ζD ，写出ζ的概率密度，并计算
)31(≤<ζP 。

8. 已知随机变量ζ服从参数为1的指数分布，求随机变量ζ
ζη2-+=e
的数学期
望。

9. 设圆的半径ζ服从[0，1]内的均匀分布，求其面积η的数学期望。

10. 设随机变量ζ与η的概率密度均为⎪⎩⎪⎨⎧
<
<=其它,
010,2)(2θθϕx x x ，
若θ
ηζ1
)2(=
+c E ，求常数c 。

11. 设三台仪器出现故障的概率分别为1P ，2P ，3P ，求出现故障的仪器数的数学期望和方差。

12. 掷10颗骰子，假定每颗骰子出现1至6点都是等可能的，求10颗骰子的点数和
的数学期望与方差。

13. 设4=ζD ，1=ηD ，6.0=ζηρ 求 )23(ηζ-D 。

14. 设二维随机变量（ηξ,）的联合概率分布为 η ξ 0 1
0 3625 365 1 36
5
36
1 求：（1）)(ξE ，)(ηE ；（2）)(ξηE ；（3）),cov(ηξ；（4）ξηρ。

5. 设随机变量),(ηζ的密度为⎪⎩
⎪⎨⎧+=0)
(81
),(y x y x ϕ ， 其他20≤≤x ，20≤≤y
求ζE ，ηE ，),cov(
ηζ。

四、证明题：
设随机变量),(ηζ的联合分布律为
ζ η -1 0 1
-1 1/8 1/8 1/8
0 1/8 0 1/8
1 1/8 1/8 1/8
试证ζ与η既不相关也不独立。

五、附加题：
1. 设随机变量ζ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,
00,2
cos 21
)(π
ϕx x x ，对ζ独立地重复观察4次，用η表示观察值大于
3
π
的次数，求2η的数学期望。

2. 设二维随机变量（ηξ,）在区域:D 10<<x ，x y <内服从均匀分布，求关于ξ
的边缘概率密度函数及随机变量12+=ξη的方差)(ηD 。

3. 设 A , B 是两个随机事件，随机变量⎩
⎨
⎧-=不出现若，出现
若A A 1,1ξ，
⎩
⎨
⎧-=不出现若，出现
若B B 1,1η，试证ξ与η不相关的充要条件是事件A , B 相互独立。

一、填空题：
1． 将一枚硬币连掷100次，则出现正面的次数大于60的概率约为 。

2．在概率论里，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以
为极限这一类定理称为中心极限定理。

3．在天平上重复称量一重为a 的物体，假设各次称重结果相互独立且同服从正态分
布)2.0,(2a N ，若以n X 表示n 次称重结果的算术平均值，则为使
95.0)1.0(≥<-a X P n ，n 的最小值应不小于自然数 。

二、选择题：
1．设随机变量ξ服从参数为n ，p 的二项分布，则当∞→n 时，≈
<<)(b a P ξ（ ）。

(A))()(a b Φ+Φ (B))()(00a b Φ+Φ (C))()(a b Φ-Φ (D)1)(20-Φb 2．设ξ为服从参数为n ，p 的二项分布的随机变量，则当∞→n 时，
npq
np
-ξ一定服
从（ ）。

(A)正态分布。

( B)标准正态分布。

(C)普哇松分布。

( D)二项分布。

三、计算题：
1． 对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击中，炮弹命中数的数学期望为2，而命中数的均方差为1.5，求当射击100次时，有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。

2.计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0.5）上服从均匀分布。

（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）多少个数加在一起时的误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？
2． 已知某工厂生产一大批无线电元件，合格品占
6
1
，某商店从该厂任意选购6000
个这种元件，问在这6000个元件中合格品的比例与
6
1
之差小于1％的概率是多少？
3． 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，
标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.9770？
4． 某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概率都是0.02。

假设各台机器工
作是相互独立的，试求机器出故障的台数不少于2的概率。

5． 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔占20％，以ξ表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。

求被盗索赔户不少于14户切不多于30户的概率的近似值。

6． 一个复杂的系统，由n 个相互独立的部件所组成。

每个部件的可靠性都为0.9，在
整个运行期间，至少需要80％部件工作，才能保证整个系统正常运行。

问n 至少为多大时才能使系统的可靠度（即系统正常工作的概率）为0.95。

7． 设电路供电网中有10000盏灯，夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7，假定各灯开、
关事件彼此无关，计算同时开着的灯数在6800与7200之间的概率。

8.若某产品的不合格率为0.005，任取10000件，问不合格品不多于70件的概率等于多少？
11.某商店负责供应某地区10000人商品，某种商品在一段时间内每人需用一间的概率为0.6，假定在这一段时间内各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7％的概率保证不会脱销（假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件
一、 填空题：
1．若n ξξ,,1 是取自正态总体),(2
σμN 的一个样本，则∑==n
i i n 1
1ξ服
从 。

2．样本),,(1n X X 的函数),,(1n X X f 称为 ，其中),,(1n X X f 不
含未知参数。

3．设总体X 服从),(2
σμN ，X 和2
S 分别为来自总体X 的样本容量为n 的样本均
值和方差，则
2
1
2
)(σ
∑=-n
i i
X X
～ ，
2
2
)1(σ
S n -～ 。

二、选择题：
1．设总体X 服从),(2σμN ，其中μ已知，2
σ未知，1X ，2X ，3X 是取自总体的
一个样本，则下列不是统计量的是 （ ）。

(A)
)(3
1
321X X X ++ (B)μ21+X (C)),,max(321X X X (D))(12
322212X X X ++σ
2．设随机变量X ，Y 都服从标准正态分布，则（ ）。

(A)X ＋Y 服从正态分布。

(B) 2
X ＋2
Y 服从2χ分布。

(C)2
X 和2
Y 都服从2χ分布。

(D)2
X ／2
Y 服从F 分布。

３．设总体X 服从)9,1(N ，91,X X 为X 的样本，则有（ ）。

(A)
11-X ～)1,0(N (B)31
-X ～)1,0(N (Ｃ)．
91-X ～)1,0(N (Ｄ)3
1
-X ～)1,0(N ４．设n X X ,1是来自正态总体)1,0(N 的简单随机样本，X 和S 分别为样本的均值
和标准差，则有（ ）。

(Ａ)ｎX ～)1,0(N (Ｂ)X ～)1,0(N (Ｃ)S X ～ｔ(n-1) (Ｄ)∑=n
i i X 1
2
～2χ(n)
５．设X ，Y 相互独立，X ～),(211σμN ，Y ～),(2
22σμN ，1,1n X X 为X 的
样本，2,1n Y Y 为Y 的样本，则有（ ）。

(Ａ)X －Y ～),
(2
2
2
1
2
121n n N σσμμ+
+ (Ｂ)X －Y ～),
(2
22
1
2
121n n N σσμμ+
-
(Ｃ)X －Y ～),
(2
22
1
2
121n n N σσμμ-
- (Ｄ)X －Y ～),
(2
22
1
2
121n n N σσμμ+
-
三、计算题：
1． 从正态总体)6,4.3(2N 中抽取容量为n 的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于0.95，则样本容量n 至少应取多大？
2.抽样检验产品质量时，如果发现次品多于10件，则拒绝接受这批产品。

设某批产品的次品率为10％，问至少抽多少件产品检查才能保证拒绝接受该批产品的概率达到0.9？
3.设总体ξ～)3.0,(2μN ，n ξξ,,1 是取自总体ξ的样本，ξ是样本均值，问样本容量n 至少应取多大，才能使95.0)1.0(≥<-μξP ？
四 ：附加题
设总体X 服从),(2
σμN （0>σ），从该总体中抽取简单随机样本n X X 21, （ｎ≥２），其样本均值为X ＝∑=n
i i X n 2121，求统计量Y ＝∑=+-+n
i i n i X X X 1
2)2(的数学期望E Y 。

第七章 参数估计
一、 填空题：
1．设总体),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是来自X 的一个样本，参数2
,σμ都是
未知的，则μ的矩估计量为 。

2
σ的矩估计量
为 。

2．设总体),(~2
σμN X ，其中2
σ未知，μ已知，n X X X ,,,21 是来自X 的一
个样本，做样本函数如下①∑=-n i i X n 1
2
)(1μ，②
21
])([∑=-n
i i
X
σμ，③
∑=-n i i X X n 12)(1，④∑=--n i i X X n 12
)(11，⑤∑=+--n
i i i X X n 121)()
1(21，这些样本函数中，是统计量的有 , 统计量中是的无偏估计量的有 。

3．设某总体X 的密度函数为⎪⎩
⎪⎨⎧<<-=其他
,00,
)(2
);(2ααα
αx x x f ，对容量为n 的样
本，参数α的矩估计量为 。

4.假设总体)81.0,(~μξN ，n X X X ,,,21 是来自ξ的样本，测得样本均值5=x ，
则置信度是0.99的μ的置信区间是
5．设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，对总体方差进行估计时，常用的无偏估计量是。

6．设总体X 在区间],0[θ上服从均匀分布，则未知参数θ的矩法估计量
为 。

二、选择题：
1．设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，2
)(,)(σμ==x D x E ，并且和是未知参数，下面结论中是错误的[ ]。

（A ）X =1ˆμ
是μ的无偏估计； （B ）12ˆX =μ是μ的无偏估计； （C ）21ˆˆμμ
比有效； （C ）21
)(1∑=-n
i i X n μ是2σ的 极大似然估计量。

2．设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，X 的分布函数);(θX F 含未知参数，则下列结论中，正确的是[ ]。

（A ） 用矩估计法和极大似然估计法求出θ的估计量相同； （B ） 用矩估计法和极大似然估计法求出θ的估计量不同；
（C ） 用矩估计法和极大似然估计法求出θ的估计量不一定相同； （D ） 用极大似然估计法求出的估计量是唯一的；
3．在区间估计中αθθθ-=<<1)ˆˆ(2
1P 的正确含义是[ ] (A)θ以α-1的概率落在区间)ˆ,ˆ(2
1θθ内； (B)θ落在区间)ˆ,ˆ(2
1θθ以外的概率为α； (C)θ不落在区间)ˆ,ˆ(2
1θθ以外的概率为α； (D)随机区间)ˆ,ˆ(2
1θθ包含θ的概率为α-1。

4．设n X X X ,,,21 独立同分布，2)(σ=x D ，∑==n
i i X n X 1
1，∑=--=n
i i X X n S 122
)(11，则[ ] (A) S 是2σ的无偏估计； (B) S 是σ的极大似然估计；
(C) S 是σ的相合(一致)估计； (D) S 与X 相互独立。

5．设总体),(~2σμN X ，其中2
σ未知，则总体均值μ的置信区间长度L 与致信度α-1 的关系是[ ]
(A) 当α-1缩小时，L 缩短； (B) 当α-1缩小时，L 增大；
(C) 当α-1缩小时，L 不变； (D) 以上说法都不变。

三、计算题：
1．总体的密度函数为
)0;,1,0();(+∞<<==-θθθθ
x x e x f x
用矩估计量及极大似然法求θ的估计量θˆ（设样本容量为n ）。

2．设某总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≥=-其他,00,0,1);(θθθϕθx e x x ，求
(1) θ的极大似然估计量θˆ；
(2) 判断θˆ是否为θ的无偏估计；
3．设某车间生产的螺杆直径服从正态分布),(2σμN ，今随机地从中抽取5只，测得直径分别为22.3 , 21.5 , 22.0 , 21.8 , 21.4 (单位：mm)，求直径均值μ的置信度是0.95的置信区间，其中总体标准差0.3。

若σ未知，则置信区间又如何？
4．设总体为),(2σμN ，3=σ。

如果要求μ的置信度α-1置信区间的长度不超过2，如取水平01.01.0或=α，那么需要抽取的样本容量n 应该分别是多少？
5．一批产品中含有废品，从中随机得抽取60件，发现废品4件，试用矩估计法估计这批产品的废品率。

四、证明题：
1． 设θˆ是参数θ的无偏估计，且有0)(>θD ，试证2ˆθ不是2
θ的无偏估计。

2． 设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2
σμN 的一个样本，其中μ已知，试证∑=-=n i i X n 122
)(1ˆμσ是2σ的无偏估计和相合估计。

第八章 假设检验
一、填空题：
1.假设检验的统计思想是概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，该原理称为 。

2.在作假设检验时容易犯的两类错误是
3. 设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本，样本均值为X ，（无偏）样
本方差为2S ，要检验假设.:;:20212020σσσσ≠=H H 则要用检验统计量
为 ，给定显著性水平α，则检验的拒绝域为
4.设两正态总体),(~211σμN X 和),(~222σμN Y 有两组相互独立的样本
n n Y Y Y X X X ,,,,,,2121 及，均值为Y X ,，（无偏）样本方差为2221,S S 。

21μμ及未知，要对2
221σσ=作检验假设，统计假设为.:;:20212020σσσσ≠=H H 则要用检验统计量为 ，给定显著性水平α，则检验的拒绝域
为 。

二、选择题：
1.假设检验中，显著水平α表示（ ）
（A ）0H 为假，但接受0H 的假设的概率；（B ）0H 为真，但拒绝0H 的假设的概率；
（C ）0H 为假，但拒绝0H 的假设的概率；（D ）可信度
2.假设检验时，若增大样本容量，则犯两类错误的概率（ ）
（A ）都增大 （B ）都减少 （C ）都不变 （D ）一个增大一个减少
3. 设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2
σμN X 的一个样本，设21)(1X X n X n i i -=∑= 21
2)(1∑=-=n i i X X n S ，其中参数σμ和未知 ,则下面结论正确的是（ ） （A ） 若提出假设检验00:μμ=H ，则选用统计量n
S
X 0μ-； （B ） 若提出假设检验00:μμ=H ，则选用统计量n S X 0
μ-
（C ） 若提出假设检验00:μμ=H ，则选用统计量1
0--n S
X μ； （D ） 若提出假设检验00:μμ=H ，则选用统计量10
--n S X μ
4.某工厂所生产的某种细纱支数服从正态分布20
0200,),,(σμσμN 为已知，现从某日生产的一批产品中，随机抽16缕进行支数测量，求得样本均值及方差为2,S X ，要检验纱的均匀度是否优劣，则提出假设（ ）
（A ）;:;:010μμμμ≠=H H （B ）;:;:010μμμμ>=H H
（C ）20212020:;:σσσσ>=H H （D ）20
212020:;:σσσσ≠=H H 三、计算题：
1． 某种零件的尺寸方差为2
σ=1.21，对一批这类零件检查6件得尺寸数据（毫米）：
32.56，29.66，31.64，30.00，21.87，31.03。

设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米（05.0=α）
2． 啤酒厂罐装啤酒平均每瓶750ml ，每天开工时，需检验罐装生产线工作是否正常。

根据经验知道，啤酒容量服从正态分布，且标准差为ml 5.5=σ。

某天开工后，抽测了9瓶啤酒，容量为：748，752，755，747，753，755，745，744，758。

试问此生产线工作是否正常？（取显著水平05.0=α）
3.正常人的脉搏平均为72次/分，某医生测得10例慢性四乙基铅中毒患者的脉搏（次/分）：54，67，68，78，70，66，67，70，65，69。

已知脉搏服从正态分布，问在显著水平05.0=α条件下，四乙基铅中毒者和正常人的脉搏有无显著性差异？
4.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下是否可以认为这次考试成绩平均为70分？
5.美国民政部门对某种住宅区住户的消费情况进行的调查报告中抽出9户样本，其每年开支除去税款和住宅费用外，依次为：4.9，5.3，
6.5，5.2，
7.4，5.4，6.8，5.4，
6.3（单位：千元）若给定（05.0=α）试问：所有住户消费数据的总体方差3.020=σ是否可信？假设所有住户消费数据的总体服从正态分布。

6. 某车间生产某种化学纤维的强度服从正态分布，且原来符合工艺要求：纤维强度的方差.18.02
02==σσ经过一段时间后，要检验纤维强度的方差是否变大了。

为此
抽取纤维样本31份，测得强度数据如下表所示：
经计算样本方差267.02=s 。

试完成对2σ的假设检验。

（取显著水平05.0=α）
7．下表分别给出两个文学家马克·吐温（Ｍark Twsin ）的8篇小品文以及斯诺特格拉斯（Snodgrass ）的10篇小品文中由3个字母组成的词的比例。

马克·吐温 0.225 0.262 0.217 0.240 0.230 0.229 0.235 0.217
斯诺特格拉斯 0.209 0.205 0.196 0.210 0.202 0.207 0.224 0.223 0.220 0.201
设两组数据分别来自正态总体，且两总体方差相等，两样本相互独立，经计算来自马克·吐温的8篇小品文中，000212
.0,23185.021==s x ，来自斯诺特格拉斯10篇小品文中，000093344
.0,2097.022==s y ，问两个作家的小品文中包含由３个字母组成的词的比例是否有显著的差异（取显著水平05.0=α）
8.两台机床加工同一种零件，分别抽取6个和9个零件，测零件长度得
375.0,245.02221==S S 。

假设各机床零件长度服从正态分布。

是否可以认为两台
机床加工的零件长度的方差有无显著差异？（取显著水平05.0=α）。