普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(四)数学(文)含答案

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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
文科数学（四）
本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1．设集合2{|}M x x x =∈=R ，{}1,0,1N =-，则M N =（ ）
A ．{}0
B ．{}1
C ．{}0,1
D ．{}1,0,1-
2．设i 1
i 1
z +=-，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．
B ．i -
C ．1i -+
D ．1i --
3．已知()()
22log 111
sin
1
3x x f x x
x ⎧--<<⎪
=⎨π⎪⎩
≥
，则312f f ⎛⎫+
= ⎪⎝⎭⎝⎭
（ ） A ．5
2
B ．52
-
C ．32
-
D ．1
2
-
4．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且96=πS ，则5tan a =（ ）
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
此
卷
只
装
订不密封
A
B
C
．D
．3
-
5．执行如图所示的程序框图，如果输入的100t =，则输出的n =（ ）
开始输入t
输出n 结束
k ≤t
否
是
0,2,0
S a n ===S S a
=+31,1
a a n n =-=+
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
6．已知函数()sin(2)(02)ϕϕπ=+≤＜f x x 的图象向右平移
3
π
个单位长度后，得到函数()cos2=g x x 的图象，则下列是函数()=y f x 的图象的对称轴方程的为（ ） A ．6
π=
x B ．12
π=
x C ．3
π=
x D ．0
=x
7．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）
A ．21;n n -
B ．21;1n n -+
C ．121;n n +-
D ．121;1n n +-+
8．已知点P 在圆C ：22
4240x y x y +--
+=上运动，则点P 到直线：250x y --=的距离的最小值是（ ） A ．
B C 1
D 1
9．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足()10xf x ->的的取值范围是（ ） A ．()(),10,3-∞- B ．()()1,03,-+∞
C ．()
(),11,3-∞- D ．()
()1,01,3-
10．已知点()4,0A ，()0,4B ，点(),P xy 的坐标，y 满足00
34120+⎧⎪
⎪-⎨⎩
≥≥≤x y x y ，则A P B P ⋅的最小值为（ ） A ．
254
B ．0
C ．19625
－
D ．－8
11．某几何体的直观图如图所示，AB 是O 的直径，BC 垂直O 所在的平面，且10AB BC ==，Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧
AQ 的长为，CQ 的长度为关于的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）
A ． B
．
C ．
D ．
12．双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作倾斜角为
60︒的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段1F B ，则该双曲线的离心率是（ ）
A B ．2+C ．2 D 1
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．某校高一（1）班有学生36人，高一（2）班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出13人参加军训表演，则高一（2）班被抽出的人数是___________．
14．某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的侧面积是__________2cm ．
15．已知平面向量，的夹角为120︒，且1=a ，2=b ．若平面向量m 满足
1⋅=⋅=m a m b ，则=m __________．
16．已知函数()e x f x x =，若关于的方程()()()2230f x tf x t -+=∈R 有两个不等实数根，则的取值范围为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC △内，角A ，B ，C 所对的边分别为，，，且()cos cos cos b A c B c a B -=-． （1）求角B 的值；
（2）若ABC △的面积为，b =，求a c +的值．
18．随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷．某公司随机抽取1000人对共享产品对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的1000人中的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：
（1）根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系．
（2）现按照分层抽样从认为共享产品增多对生活无益的人员中随机抽取人，再从人中随机抽取人赠送超市购物券作为答谢，求恰有人是女性的概率．
参考公式：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
．
临界值表：
19．在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=︒，EF ∥平面ABCD ，22EA ED AB EF ====，M 为BC 中点． （1）求证：FM ∥平面BDE ；
（2）若平面ADE ⊥平面ABCD ，求F 到平面BDE 的距离．
20．已知椭圆1C 的方程为22143
x y +=，椭圆2C 的短轴为1C
（1）求椭圆2C 的方程；
（2）如图，M N 、分别为直线与椭圆1C 、2C 的交点，P 为椭圆2C 与y 轴的交点，
PON △面积为POM △面积的2倍，若直线的方程为(0)y kx k =>，求的值．
21．已知函数()()ln f x x x ax a =-∈R ． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）探究：是否存在实数，使得()0f x a +≥恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为22
1164
y x +=，以O 为极点，轴非负
半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为
sin 33
ρθπ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
．
（1）求直线的直角坐标方程和椭圆C 的参数方程；
（2）设(),M x y 为椭圆C 上任意一点，求1y +-的最大值．
23． 选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x x =+-．
（1）若()1f x m ≥-恒成立，求实数m 的最大值；
（2）记（1）中m 的最大值为M ，正实数，满足22a b M +=，证明：2a b ab +≥．
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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
文科数学（四）答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分 1．C 2．A 3．B 4．C 5．A 6．A 7．D
8．D
9．A
10．C
11．A
12．B
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．7
14．27
15 16．13e 2e 2⎫+⎪⎭
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【答案】（1）3
B π
=
；（2）7． 【解析】（1）∵()cos cos cos b A c B c a B -=-．
∴由正弦定理，得()sin cos sin cos sin sin cos B A C B C A B -=-．···········1分 ∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B C B +=． ()sin 2sin cos A B C B ∴+=．·
··········3分 又++=πA B C ，∴()sin sin A B C +=．···········4分 又∵0<<πC ，1
cos 2
B ∴=．··········5分 又()0∈π，B ，3
π∴=
B ．··········6分 （2）据（1）求解知3
π
=B ，∴222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-．① (8)
分
又1
sin 2S ac B ==·········9分
∴12ac =，②··········10分
又13b =，∴据①②解，得7a c +=．··········12分
18．【答案】（1）可以；（2）
8
15
． 【解析】（1）依题意，在本次的实验中，2K 的观测值
()
2
21000400200300100700300500500
K ⨯⨯-⨯=
⨯⨯⨯47.61910.828≈>，·
·········4分 故可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系．··········6分
（2）依题意，应该认为共享产品增多对生活无益的女性中抽取人，记为A ，B ，
C ，
D ，从认为共享产品增多对生活无益的男性中抽取人，记为，，
从以上人中随机抽取人，所有的情况为：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A a ，(),A b ，
(),B C ，(),B D ，(),B a ，(),B b ，(),C D ，(),C a ，(),C b ，(),D a ，(),D b ，()
,a b 共15种，··········9分
其中满足条件的为(),A a ，(),A b ，(),B a ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，(),D a ，(),D b 共8种情况．··········11分 故所求概率8
15
P =
．··········12分
19．【答案】（1）见解析；（2 【解析】
（1）取CD 中点N ，连接,MN FN ，
因为,N M 分别为,CD BC 中点，所以MN BD ∥，
又BD ⊂平面BDE ，且MN ⊄平面BDE ，所以MN ∥平面BDE ，··········1分 因为EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =， 所以EF AB ∥．
又222AB CD DN EF ====，AB CD ∥，
所以EF CD ∥，EF DN =．
所以四边形EFND 为平行四边形．·········2分
所以FN ED ∥．··········3分
又ED ⊂平面BDE 且FN ⊄平面BDE ，所以FN ∥平面BDE ，··········4分 又FN MN N =，所以平面MFN ∥平面BDE ．·
·········5分 又MF ⊂平面MFN ，所以FM ∥平面BDE ．··········6分
（2）由（1）得//FM 平面BDE ，所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离．
取AD 的中点H ，连接EH ，BH ，
因为四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=︒，2EA ED AB EF ===， 所以EH AD ⊥，BH AD ⊥，
因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE 平面ABCD AD =，
所以EH ⊥平面ABCD ，EH BH ⊥，
因为EH BH ==BE =··········8分
所以12BDE S ==△··········9分
设F 到平面BDE 的距离为，又因为1142242BDM BCD S S ∆∆=
=⨯⨯=，··········10分
所以由E BDM M BDE V V --=，得1133h =⨯，解得h =．
即F 到平面BDE 的距离为5
．··········12分 20．【答案】（1）22
1416
x y +=；（2）3k =． 【解析】（1）椭圆1C 的长轴在轴上，且长轴长为4，
∴椭圆2C 的短轴在轴上，且短轴长为4．·········1分
设椭圆2C 的方程为22221(0)y x a b a b +=>>
，则有2412===⎪⎪⎩
⎧⎪⎪⎨b b a ，·········2分 ∴4a =，2b =，∴椭圆2C 的方程为22
1416
x y +=．·········5分 （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，
由PON △面积为POM △面积的2倍得2ON OM =， ∴212x x =．·········6分 联立方程22 14
3y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y
得x =·········8分
∴1x =．
同样可求得2x =．·········10分
=3k =±，·········11分 ∵0k >，∴3k =．·········12分
21．【答案】（1）()f x 的单调减区间为()10,e a -，单调增区间为()1e ,a -+∞；（2）1a =．
【解析】（1）依题意，()ln 1f x x a '=+-，·········1分
令()0f x '=，解得ln 1x a =-，故1e a x -=，·········3分
故当()10,e a x -∈时，函数()f x 单调递减，当()1e ,a x -∈+∞时，函数()f x 单调递增； 故函数()f x 的单调减区间为()10,e a -，单调增区间为()1e ,a -+∞．·········5分
（2）()()ln 1g x x x a x =--，其中0x >，
由题意知()0g x ≥在()0,+∞上恒成立，()ln 1g x x a '=+-，
由（1）可知，∴()()()1min e a g x g x g -==极小()()1111e e 1e a a a a a a ---=---=-， (7)
分
∴1e 0a a --≥，记()1e a G a a -=-，则()11e a G a -'=-，令()0G a '=，得1a =．·······9分
当变化时，()G a '，()G a 的变化情况列表如下：
∴()()()max 10G a G a G ===极大，故1e 0a a --≤，当且仅当1a =时取等号，
又1e 0a a --≥，从而得到1a =．·········12分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．【答案】（160y +-=，椭圆C 的参数方程为2cos 4sin x y ϕϕ==⎧⎨⎩
，（ϕ为参数）；（2）9．
【解析】（1）由sin 33ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，得1sin cos 32ρθθ=，
将cos x ρθ=，sin y ρθ=60y +-=．········3分
椭圆C 的参数方程为2cos 4sin x y ϕϕ
==⎧⎨⎩，（ϕ为参数）．·········5分
（2）因为点M 在椭圆C 上，所以设()2cos ,4sin ϕϕM ，
则14sin 18sin 193y ϕϕϕπ⎛⎫+-=+-=+- ⎪⎝
⎭≤，
当且仅当sin 13ϕπ⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭时，取等号，所以max 19y +-=．·········10分 23．【答案】（1）2；（2）见解析．
【解析】由()210101211x x f x x x x -+⎧⎪=<<⎨⎪-⎩
≤≥，·
········2分 得()min 1f x =，要使()1f x m -≥恒成立， 只要11m -≥，即02m ≤≤，实数m 的最大值为2；·
········5分 （2）由（1）知222a b +=，又222a b ab +≥，故1ab ≤， ()222224a b a b a b +-=+222422ab a b ab +-=+()()2242121a b ab ab -=--+，
∵01ab <≤，∴()()()222421210a b a b ab ab +-=--+≥，∴2a b ab +≥．·
········10分。