运筹学对偶问题

原问题变为
则，
max Z 4x1 5x2 s.t.
（A）
3x1 2x2 20
4x1 3x2 10
x1 x2 5
x1

0,
x
为自由
2
变量
max Z ' 4x1 5x3 5x4 s.t. （A‘） 3x1 2x3 2x4 20 4x1 3x3 3x4 10 x1 x3 x4 5 x1 x3 x4 5 x1 0, x3 0, x4 0
∴ 对偶规划问题为
min W 48y1 60 y2 s.t. y1 y2 6 4 y1 2 y2 14 2 y1 4 y2 13 y1 0, y2 0
比较
max F 6x1 14x2 13x3 s.t. x1 4x2 2x3 48 x1 2x2 4x3 60 x1 0, x2 0, x3 0
对比结果
以上对偶问题（B‘）并非原问题（A）的对偶问题， 它是线性规划问题（A’）的对偶问题。
（A）
（B‘）
max Z 4x1 5x2 s.t.
3x1 2x2 20 4x1 3x2 10 x1 x2 5 x1 0, x2为自由变量
min W ' 20y1 '10y2 '5y3 '5 y4 ' s.t. 3y1 '4 y2 ' y3 ' y4 ' 4 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 y1 ' 0, y2 ' 0, y3 ' 0, y4 ' 0
min W 15 y1 10 y2
这样，就得到另一个线性规划模型：
minW 15y1 10y2 s.t. 3y1 5y2 2 5y1 2 y2 1 y1 0, y2 0
X 0
minW YB s.t. （B） YA C T Y 0
其中： C c1 c2 cn
Y y1 y2 ym
b1
B


b2
bm

a11 a12 a1n
A


a21
a22
a2n
min W ' 20 y1 '10 y2 '5 y3 '5 y4 ' s.t. 3 y1 '4 y2 ' y3 ' y4 ' 4 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 2 y1 '3 y2 ' y3 ' y4 ' 5 y1 ' 0, y2 ' 0, y3 ' 0, y4 ' 0
那么它的对偶问题就是“在另外一些条件下， 使工作的消耗（浪费、成本等）尽可能的小”。
实际上是一个问题的两个方面。
例：某产品计划问题的
线性规划数学模型为
假设生产部门根据市场变化，
max F 2x1 x2 s.t. 3x1 5x2 15 （原料的约束） 5x1 2x2 10 （设备的约束） x1, x2 0
min W 48y1 60 y2 s.t. y1 y2 6 4 y1 2 y2 14 2 y1 4 y2 13 y1 0, y2 0
以上我们介绍的对偶问题是严格定义的对偶问题，也 成为对称对偶问题 。
它满足两个条件：
两个条件：
1、所有变量非负：即X>0，Y>0 2、约束条件均为同向不等式。若原问题约束条件均 为“≤”，则它的对偶问题的约束条件都是“≥”。
决定停止生产甲、乙产品， 而将原有的原料、设备专用 于接受外来订货以生产市场 急需的紧俏商品，则需要考 虑决策的问题就是“在什么 样的价格条件下，才能接受
外来订货？”。问题的实质
就是如何确定原料、设备的
收费标准？
分析
若设y1为单位原材料的价格，y2为设备单位台时价格，由 于用了3个单位原料和5个单位设备台时就可以生产一个单 位甲产品而获利2个单位，现在不生产甲产品，转而接受 外来订货加工，则收取的费用不能低于2个单位，否则自 己生产甲产品更有利。因此，可以得到下面的条件：
原问题A（对偶问题B）
对偶问题B（原问题A）
最大化 max
最小化 min
A系数矩阵
AT
B右端常数（列向量）
目标函数系数(行向量)
C目标函数系数
右端常数（列向量）
第i个约束条件为等式“=” 第i个约束条件为不等式“≤” 第i个约束条件为不等式“≥” xj为自由变量 xj≥0 xj≤0
yi为自由变量 yi≥0 yi≤0 第j个约束条件为等式“=” 第j个约束条件为不等式“≥”
min Z 3x1 2x2 3x3 4x4 s.t.
x1 2x2 3x3 4x4 3 x2 3x3 4x4 5 2x1 3x2 7x3 4x4 2 x1 0, x2, x3为自由变量, x4 0,
maxW 3y1 5 y2 2 y3 s.t.
3y1 5y2 2
分析
同理，将生产乙产品的原料和设备工时用于接 受外来加工订货，收取的费用不能低于乙产品 的单位利润1个单位：
5y1 2 y2 1
分析
另外，为了争取外来加工订货，在满足上述要 求的基础上，收费标准应尽可能低从而具有竞 争力，因此总的收费 w=15y1+10y2 应极小化。 这样，就得到一个目标函数：
当原问题的约束条件的符号不完全相同时，也存在 对偶问题，这种对偶问题称为非对称对偶问题。
例
max Z 4x1 5x2 s.t.
3x1 2x2 20
4x1 3x2 10
x1 x2 5
x1

0,
x
为自
2
由
变
量
分析：
为求对偶问题，可先做过渡，将问题对称化：
对称化
第四章 对偶问题
对偶问题的一般形式 对偶问题的经济意义 对偶性质 对偶单纯形法 对偶单纯形法的解题原理
一、对偶问题的一般形式
若设一线性规划问题如下 ：
（A）
max F c1x1 c2 x2 cn xn s.t.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
第j个约束条件为不等式“≤”
例：写出下列问题的对偶形式：
max Z x1 4x2 3x3 s.t. 2x1 3x2 5x3 2 3x1 x2 6x3 1 x1 x2 x3 4 x1 0, x2 0, x3为自由变量
解：
max Z x1 4x2 3x3 s.t.
调整
对照问题B‘目标函数系数的符号与原问题A中 约束条件右端常数项的符号，可做以下调整：
令y1=y1’，y2=-y2’，y3=y4’-y3’
令y1=y1’，y2=-y2’，y3=y4’-y3’ 则得到以下对偶问题
（B‘）
（B）
min W ' 20y1 '10y2 '5y3 '5 y4 ' s.t. 3y1 '4 y2 ' y3 ' y4 ' 4 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 y1 ' 0, y2 ' 0, y3 ' 0, y4 ' 0
min W 20 y1 10 y2 5 y3 s.t.
3y1 4 y2 y3 4 2 y1 3y2 y3 5 2 y1 3y2 y3 5 y1 0, y2 0, y3为自由变量
合并
minW 20 y1 10 y2 5 y3 s.t. 3y1 4 y2 y3 4 2 y1 3y2 y3 5 2 y1 3y2 y3 5 y1 0, y2 0, y3为自由变量
max F 6x1 14x2 13x3 s.t. x1 4x2 2x3 48 x1 2x2 4x3 60 x1 0, x2 0, x3 0
解：
可以将原问题的有关参数列成下表
max
min
x1
x2
x3
b
y1
1
4
2
≤
48
y2
1
2
4
≤
60
≥
≥
≥
c
6
14
13
例：写出下列问题的对偶问题
min Z 3x1 2x2 3x3 4x4 s.t. x1 2x2 3x3 4x4 3 x2 3x3 4x4 5 2x1 3x2 7x3 4x4 2 x1 0, x2, x3为自由变量, x4 0,
解：
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2



am1 x1 am2 x2 amn xn bm x1 0, x2 0, xn 0
则以下线性规划问题：
（B）
minW b1 y1 b2 y2 bm ym s.t.
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1
则（A’）的对偶问题如下：
（A‘）
（B‘）
max Z ' 4x1 5x3 5x4 s.t. 3x1 2x3 2x4 20 4x1 3x3 3x4 10 x1 x3 x4 5 x1 x3 x4 5 x1 0, x3 0, x4 0
max Z 4x1 5x2 s.t. 3x1 2x2 20 4x1 3x2 10 x1 x2 5 x1 0, x2为自由变量
4x1 3x2 10

x1 x1

x2 x2

5 5
x1 x2 5
设x 2 x 3 x 4 , x3 0, x 4 0
2x1 3x2 5x3 2 3x1 x2 6x3 1 x1 x2 x3 4 x1 0, x2 0, x3为自由变量
minW 2 y1 y2 4 y3 s.t.
2 y1 3y2 y3 1 3y1 y2 y3 4 5y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3为自由变量
（B）
minW 20y1 10 y2 5y3 s.t. 3y1 4 y2 y3 4 2 y1 3y2 y3 5 y1 0, y2 0, y3为自由变量
比较
Байду номын сангаас
（A）
（B）
max Z 4x1 5x2 s.t.
3x1 2x2 20
4x1 3x2 10
y1 2 y3 3 2 y1 y2 3y3 2 3y1 3y2 7 y3 3 4 y1 4 y2 4 y3 4 y1 0, y2 0, y3为自由变量
二、对偶问题的经济意义：
若原规划问题是“在一定条件下，使工作或成 果（产品产量、利润等）尽可能的大”，
a12 y1 a22 y2 am2 ym c2



a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1 0, y2 0, ym 0
称为原问题（A）的对偶线性规划问题，
或称A、B互为对偶问题。
如果采用向量、矩阵来表示
max F CX
s.t. （A） AX B
an1 am2 amn
x1
X


x2
xn

可以将以上关系列成以下对偶表：
max min
x1
x2
…
xn
b
y1
a11
a12
…
a1n
≤
b1
y2
a21
a22
…
≤
b2
…
………………
ym
am1
am2
…
amn
≤
bm
≥≥…≥
c
c1
c2
…
cn
例
写出下列线性规划问题的对偶问题
x1 x2 5
x1

0,
x
为自由
2
变量
minW 20y1 10y2 5y3 s.t.
3y1 4 y2 y3 4 2 y1 3y2 y3 5 y1 0, y2 0, y3为自由变量
对于任何一个线性规划问题，我们都可以求出
它的对偶问题。
原问题与对偶问题的相应关系