高等数学基础形成性考核册答案(附题目)

【高等数学根底】形成性考核册答案
【高等数学根底】形考作业1答案：
第1章函数 第2章 极限与连续
（一）单项选择题
⒈以下各函数对中，〔C 〕中的两个函数相等．
A. 2
)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =
，x x g =)(
C. 3
ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1
1)(2--=x x x g
分析：判断函数相等的两个条件〔1〕对应法则一样〔2〕定义域一样
A 、2
()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R
定义域不同，所以函数不相等；
B 、()f x x =
=，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等；
C 、3
()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等
D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21
()11
x g x x x -=
=+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。

应选C
⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于〔C 〕对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y =
分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称
偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称
()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称，
奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称
设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称
应选C
⒊以下函数中为奇函数是〔B 〕． A. )1ln(2
x y += B. x x y cos =
C. 2
x
x a a y -+= D. )1ln(x y +=
分析：A 、()()(
)()2
2
ln(1)ln 1y x x x
y x -=+-=+=，为偶函数
B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数 或者*为奇函数，cos*为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数
C 、()()2
x x
a a y x y x -+-=
=，所以为偶函数 D 、()ln(1)y x x -=-，非奇非偶函数
应选B
⒋以下函数中为根本初等函数是〔C 〕． A. 1+=x y B. x y -= C. 2
x
y = D. ⎩⎨
⎧≥<-=0,
10
,1x x y 分析：六种根本初等函数
（1） y c =〔常值〕———常值函数
（2） ,y x α
α=为常数——幂函数 （3） ()0,1x y a a a =>≠———指数函数 （4） ()log 0,1a y x a a =>≠———对数函数
（5） sin ,cos ,tan ,cot y x y x y x y x ====——三角函数
（6） [][]sin ,1,1,
cos ,1,1,
tan ,cot y arc x y arc x y arc x y arc x
=-=-==——反三角函数
分段函数不是根本初等函数，故D 选项不对 对照比拟选C
⒌以下极限存计算不正确的选项是〔D 〕．
A. 12lim 2
2
=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0
=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01
sin lim =∞→x
x x
分析：A 、()1
lim 00n x n x
→∞=>
B 、0
limln(1)ln(10)0x x →+=+=
初等函数在期定义域是连续的 C 、sin 1
lim
lim sin 0x x x x x
x →∞→∞==
x →∞时，1
x
是无穷小量，sin x 是有界函数，
无穷小量×有界函数仍是无穷小量
D 、1
sin
1lim sin lim
1
x x x x x x
→∞→∞=，令10,t x x =→→∞，则原式0sin lim 1t t t →== 应选D
⒍当0→x 时，变量〔C 〕是无穷小量．
A.
x x sin B. x 1
C. x
x 1
sin D. 2)ln(+x
分析；()lim 0x a
f x →=，则称()f x 为x a →时的无穷小量
A 、0sin lim
1x x
x
→=，重要极限
B 、01
lim
x x
→=∞，无穷大量 C 、01lim sin 0x x x →=，无穷小量x ×有界函数1
sin x 仍为无穷小量
D 、()0
limln(2)=ln 0+2ln 2x x →+=
应选C
⒎假设函数)(x f 在点0x 满足〔A 〕，则)(x f 在点0x 连续。

A. )()(lim 00
x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的*个邻域有定义
C. )()(lim 00
x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0
x f x f x x x x -+→→=
分析：连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即()()0
0lim x x f x f x →=
连续的充分必要条件()()()()()0
0000lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x f x →→+
→-
=⇔==
应选A
〔二〕填空题
⒈函数)1ln(3
9
)(2x x x x f ++--=
的定义域是{}|3x x >．
分析：求定义域一般遵循的原则
（1） 偶次根号下的量0≥ （2） 分母的值不等于0
（3） 对数符号下量〔真值〕为正
（4） 反三角中反正弦、反余弦符号的量，绝对值小于等于1
（5） 正切符号的量不能取()0,1,22
k k π
π±
=
然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域
)1ln(3
9
)(2x x x x f ++--=要求
2903010x x x ⎧-≥⎪-≠⎨⎪+>⎩
得3331
x x x x ≥≤-⎧⎪≠⎨⎪>⎩或－
定义域为 {}|3x x >
⒉函数x x x f +=+2
)1(，则=)(x f *
2
-*．
分析：法一，令1t x =+得1x t =-
则()()2
2
()11f t t t t t =-+-=-则()2
f x x x =-
法二，()()(1)(1)111f x x x x x +=+=+-+所以()()1f t t t =- ⒊=+
∞
→x
x x
)211(lim ． 分析：重要极限1lim 1x
x e x →∞
⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，等价式()1
0lim 1x x x e →+=
推广()lim x a f x →=∞则()
()
1lim(1)f x x a e f x →+
=
()lim 0x a
f x →=则()()
1lim(1)
f x x a
f x e →+=
⒋假设函数⎪⎩⎪
⎨⎧≥+<+=0,
0,)1()(1
x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．
分析：分段函数在分段点0x 处连续()()()000lim lim x x x x f x f x f x →+
→-
⇔==
()()()()00100lim lim 0lim lim 1x x x
x x f x x k k k
f x x e
→+
→+
→-
→-
=+=+==+= 所以k e =
⒌函数⎩⎨
⎧≤>+=0
,sin 0
,1x x x x y 的连续点是0x =．
分析：连续点即定义域不存在的点或不连续的点
初等函数在其定义域围都是连续的
分段函数主要考虑分段点的连续性〔利用连续的充分必要条件〕
()()()0000lim lim 1011
lim lim sin 0
x x x x f x x f x x →+→+→-
→-
=+=+===不等，所以0x =为其连续点
⒍假设A x f x x =→)(lim 0
，则当0x x →时，A x f -)(称为0x x →时的无穷小量．
分析：0
lim(())lim ()lim 0x x x x x x f x A f x A A A →→→-=-=-=
所以A x f -)(为0x x →时的无穷小量
〔三〕计算题
⒈设函数
求：)1(,)0(,)2(f f f -．
解：()22f -=-，()00f =，()1
1f e e ==
⒉求函数21
lg
x y x
-=的定义域． 解：21lg x y x -=有意义，要求21
x x x -⎧>⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩解得1020
x x x ⎧⎪⎪
><⎨⎪≠⎪⎩或
则定义域为1|02x x x ⎧
⎫<>⎨⎬⎩
⎭或
⒊在半径为R 的半圆接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形
的面积表示成其高的函数． 解： D
A R O h E
B C
设梯形ABCD 即为题中要求的梯形，设高为h ，即OE=h ，下底CD ＝2R
直角三角形AOE 中，利用勾股定理得
则上底＝2AE =
故(
(222h
S R R h R =
+=+ ⒋求x
x
x 2sin 3sin lim 0→．
解：000sin3sin33sin3333lim lim lim sin 2sin 2sin 22222x x x x x
x
x x x x x x x
x x
→→→⨯==⨯⨯＝133
122⨯=
⒌求)
1sin(1
lim 21+--→x x x ．
解：21111(1)(1)111
lim
lim lim 2sin(1)sin(1)sin(1)1
1
x x x x x x x x x x x →-→-→---+---====-++++ ⒍求x x
x 3tan lim 0→．
解：000tan3sin31sin311
lim lim lim 3133cos33cos31
x x x x x x x x x x x →
→→==⨯⨯=
⨯⨯=
⒎求x
x x sin
1
1lim 20-+→．
解：2
0001lim sin x x x x →→→-==
⒏求x
x x x )3
1(
lim +-∞
→． 解：1
1433
3111
1(1)[(1)]1lim()lim()lim lim 33311(1)[(1)]3
x x x x x x x x x x x e x x x e x e x x x
----→∞→∞→∞→∞-
-+--=====++++ ⒐求4
58
6lim 224+-+-→x x x x x ．
解：()()()()2244442682422lim lim
lim 54411413
x x x x x x x x x x x x x →→→---+--====-+----
⒑设函数
讨论)(x f 的连续性，并写出其连续区间． 解：分别对分段点1,1x x =-=处讨论连续性 〔1〕
所以()()11lim lim x x f x f x →-+
→--
≠，即()f x 在1x =-处不连续
〔2〕
所以()()()11lim lim 1x x f x f x f →+
→-
==即()f x 在1x =处连续
由〔1〕〔2〕得()f x 在除点1x =-外均连续
.
故()f x 的连续区间为()(),11,-∞--+∞
【高等数学根底】形考作业2答案：
第3章导数与微分
〔一〕单项选择题
⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim 0
→存在，则=→x
x f x )
(lim 0〔C 〕．
A. )0(f
B. )0(f '
C. )(x f '
D. 0cv*
⒉设)(x f 在0x 可导，则=--→h
x f h x f h 2)
()2(lim 000〔D 〕．
A. )(20x f '-
B. )(0x f '
C. )(20x f '
D. )(0x f '-
⒊设x
x f e )(=，则=∆-∆+→∆x
f x f x )
1()1(lim 0
〔A 〕．
A. e
B. e 2
C.
e 21 D. e 4
1 ⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f 〔D 〕．
A. 99
B. 99-
C. !99
D. !99-
⒌以下结论中正确的选项是〔 C 〕．
A. 假设)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导．
B. 假设)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导．
C. 假设)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限．
D. 假设)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 连续．
〔二〕填空题
⒈设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,
00
,1sin )(2
x x x
x x f ，则=')0(f 0． ⒉设x x x f e 5e )e (2+=，则=x x f d )(ln d x
x x 5ln 2+． ⒊曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是21
=k
⒋曲线x x f sin )(=在)1,4
π
(处的切线方程是)41(2222π-==x y ⒌设x x y 2=，则='y )ln 1(22x x x
+
⒍设x x y ln =，则=''y x
1
〔三〕计算题
⒈求以下函数的导数y '：
⑴x
x x y e )3(+=x
x
e x e x y 21
2
32
3)3(++='
⑵x x x y ln cot 2+=x x x x y ln 2csc 2
++-='
⑶x x y ln 2=x
x
x x y 2
ln ln 2+=' ⑷32cos x x y x
+=4
)
2(cos 3)2ln 2sin (x
x x x y x x +-+-=' ⑸x x x y sin ln 2
-=x
x x x x x x y 22sin cos )(ln )21(sin ---=' ⑹x x x y ln sin 4-=x x x
x x y ln cos sin 43
--='
⑺x
x x y 3sin 2+=x
x x x x x x y 2233
ln 3)(sin )2(cos 3+-+=' ⑻x x y x
ln tan e +=x
x e x e y x x 1cos tan 2++='
⒉求以下函数的导数y '：
⑴2
1e
x y -=
⑵3
cos ln x y = ⑶x x x y =
⑷3x x y +
=
⑸x
y e cos 2
= ⑹
2
e
cos x y =
⑺nx x y n
cos sin = ⑻2
sin 5
x y = ⑼x
y 2sin e
=
⑽2
2
e
x x x y +=
⑾
x
x
x
y e e e
+=
⒊在以下方程中，y y x =()是由方程确定的函数，求'y ： ⑴y
x y 2e
cos =
⑵x y y ln cos =
⑶y
x y x 2
sin 2=
⑷y x y ln +=
⑸2
e ln y x y =+
⑹y y x
sin e 12
=+ ⑺3
e e y x
y
-= ⑻y
x
y 25+=
⒋求以下函数的微分y d ： ⑴x x y csc cot +=
⑵x
x
y sin ln =
⑶x x
y +-=11arcsin
⑷311x
x
y +-=
两边对数得：[])1ln()1ln(3
1
ln x x y +--= ⑸x
y e sin 2= ⑹3
e tan x y =
⒌求以下函数的二阶导数： ⑴x x y ln = ⑵x x y sin = ⑶x y arctan = ⑷2
3x y =
〔四〕证明题
设)(x f 是可导的奇函数，试证)(x f '是偶函数． 证：因为f(*)是奇函数 所以)()(x f x f -=-
两边导数得：)()()()1)((x f x f x f x f =-'⇒'-=--' 所以)(x f '是偶函数。

【高等数学根底】形考作业3答案：
第4章 导数的应用
〔一〕单项选择题
⒈假设函数)(x f 满足条件〔D 〕，则存在),(b a ∈ξ，使得a
b a f b f f --=')
()()(ξ．
A. 在),(b a 连续
B. 在),(b a 可导
C. 在),(b a 连续且可导
D. 在],[b a 连续，在),(b a 可导 ⒉函数14)(2
-+=x x x f 的单调增加区间是〔D 〕． A. )2,(-∞ B. )1,1(- C. ),2(∞+ D. ),2(∞+-
⒊函数542
-+=x x y 在区间)6,6(-满足〔A 〕． A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升
⒋函数)(x f 满足0)(='x f 的点，一定是)(x f 的〔C 〕．
A. 连续点
B. 极值点
C. 驻点
D. 拐点
⒌设)(x f 在),(b a 有连续的二阶导数，),(0b a x ∈，假设)(x f 满足〔 C 〕，则)(x f 在0x 取到极小值． A. 0)(,0)(00=''>'x f x f B. 0)(,0)(00=''<'x f x f C. 0)(,0)(00>''='x f x f D. 0)(,0)(00<''='x f x f
⒍设)(x f 在),(b a 有连续的二阶导数，且0)(,0)(<''<'x f x f ，则)(x f 在此区间是〔 A 〕． A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的
〔二〕填空题
⒈设)(x f 在),(b a 可导，),(0b a x ∈，且当0x x <时0)(<'x f ，当0x x >时0)(>'x f ，则0x 是)(x f 的 极
小值 点．
⒉假设函数)(x f 在点0x 可导，且0x 是)(x f 的极值点，则=')(0x f 0． ⒊函数)1ln(2
x y +=的单调减少区间是)0,(-∞．
⒋函数2
e )(x x
f =的单调增加区间是),0(+∞
⒌假设函数)(x f 在],[b a 恒有0)(<'x f ，则)(x f 在],[b a 上的最大值是)(a f ． ⒍函数3
352)(x x x f -+=的拐点是*=0 ．
〔三〕计算题
⒈求函数2
(1)(5)y x x =+-的单调区间和极值．
令
)(5(2)5(2)1(2-=++='x x x x y
列表：
极大值：27)2(=f 极小值：0)5(=f
⒉求函数2
23y x x =-+在区间]3,0[的极值点，并求最大值和最小值． 令：）x x y 驻点(10
22=⇒=-=' ⒊试确定函数d cx bx ax y +++=2
3中的d c b a ,,,，使函数图形过点)44,2(-和点)10,1(-，且2-=x 是
驻点，1=x 是拐点．
解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-==++=-+-+-=b a c b a d c b a d x b b 26041201024844⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧-==-==⇒24
1631
d c b a
⒋求曲线x y 22
=上的点，使其到点)0,2(A 的距离最短．
解：上的点是设x y y x p 2),(2
=，d 为p 到A 点的距离，则：
⒌圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 设园柱体半径为R ，高为h ，则体积
⒍一体积为V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时外表积最小？ 设园柱体半径为R ，高为h ，则体积 答：当3
2πV R =34π
V
h =时外表积最大。

⒎欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底连长为*，高为h 。

则： 侧面积为：x
x xh x S 250
42
2
+=+= 令51250250
232
=⇒=⇒=-
='x x x x S
答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。

〔四〕证明题
⒈当0>x 时，证明不等式)1ln(x x +>．
证：由中值定理得：
)0(111
1)1(1ln )1ln()1ln(><+=-+-+=+ξξ x x x x
⒉当0>x 时，证明不等式1e +>x x
．
【高等数学根底】形考作业4答案：
第5章 不定积分
第6章 定积分及其应用
〔一〕单项选择题
⒈假设)(x f 的一个原函数是x
1
，则=')(x f 〔D 〕． A. x ln B. 21x - C. x 1D. 32
x
⒉以下等式成立的是〔D 〕． A
)(d )(x f x x f ='⎰ B. )()(d x f x f =⎰ C. )(d )(d x f x x f =⎰ D.
)(d )(d d
x f x x f x =⎰
⒊假设x x f cos )(=，则
='⎰x x f d )(〔B 〕．
A. c x +sin
B. c x +cos
C. c x +-sin
D. c x +-cos
⒋
=⎰x x f x x
d )(d d 3
2〔 B 〕． A. )(3x f B. )(32x f x C. )(31x f D. )(313
x f
⒌假设⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=x x f x
d )(1
〔B 〕． A. c x F +)( B. c x F +)(2 C. c x F +)2( D. c x F x
+)(1
⒍由区间],[b a 上的两条光滑曲线)(x f y =和)(x g y =以及两条直线a x =和b x =所围成的平面区域的面
积是〔C 〕． A.
⎰
-b a
x x g x f ]d )()([ B.⎰-b
a
x x f x g ]d )()([
C.
⎰
-b a
x x g x f d )()( D.
⎰
-b a
x x g x f ]d )()([
〔二〕填空题
⒈函数)(x f 的不定积分是dx x f ⎰)(．
⒉假设函数)(x F 与)(x G 是同一函数的原函数，则)(x F 与)(x G 之间有关系式）c x G x F 常数()()(=-．
⒊=⎰
x x
d e d 2
2
x e
⒋='⎰
x x d )(tan c x +tan ⒌假设⎰+=c x x x f 3cos d )(，则=')(x f )3cos(9x -
⒍
⎰-=+3
3
5
d )2
1(sin x x 3 ⒎假设无穷积分⎰∞+1d 1
x x
p 收敛，则0>p 〔三〕计算题
.
⒈c x x d x x x x +-=-=⎰⎰
1sin )1(1cos d 1
cos
2
⒉
⎰⎰
+==c e
x d e x x
x
x x
22d e
⒊⎰⎰+==c x x d x
x x x )ln(ln )(ln ln 1d ln 1
⒋c x x x xdx x x x x x ++-=+-=⎰⎰2sin 4
1
2cos 212cos 212cos 21d 2sin
⒌⎰⎰=+=++=+e 11e 121)ln 3(21)ln 3d()ln 3(d ln 3e x x x x x x
⒍414141212121d e 2102210210
2102+=--=+-=------⎰⎰e e e dx e x e x x x x x x
⒎41221ln 2d ln 211
2e 1+=-=
⎰⎰e xdx x x x x x e e ⒏⎰⎰+-=
--=+-=e e e e
x e dx x x x x x x 11
21e
1212
111ln 1d ln 〔四〕证明题
⒈证明：假设)(x f 在],[a a -上可积并为奇函数，则0d )(=⎰
-a
a
x x f ．
证:⎰⎰⎰
⎰
-----=-=--=-=a a
a
a
a
a
a
a
dt t f dt t f dt t f dx x f t
x )()()()(令
0)()()(=⇒-=⇒⎰⎰⎰---a
a
a a
a a
dx x f dx x f dx x f 证毕
⒉证明：假设)(x f 在],[a a -上可积并为偶函数，则⎰⎰
=-a
a
a
x x f x x f 0
d )(2d )(．
证：
⎰⎰⎰+=--a
a
a
a
x x f x x f x x f 0
0d )(d )(d )(
⒊证明：⎰⎰
-+=-a
a
a
x x f x f x x f 0d )]()([d )(
证：⎰⎰⎰⎰⎰
+--=+=--a
a
a
a
a
a
x x f x x f x x f x x f x x f 0
d )(d )(d )(d )(d )(
=
⎰⎰⎰
-+=+-a
a
a
x x f x f x x f x x f 0
d )]()([d )(d )(证毕。