【数学】福建省厦门市2020届高三毕业班3月线上质量检查(一)数学(文)(PDF版)

厦门市2020届高中毕业班线上质量检查（一）
数学（文科）参考答案
一、选择题．
DBCCD BBDAD CA
11．提示：如图，过P 作抛物线E 的准线的垂线PQ ，则215
7PF PQ PF ==，又122PF PF a -=，∴127,5PF a PF a
==在12PF F ∆中，由余弦定理得2
22
211211212
+2cos PF PF F F PF F F PF F =-⋅∠即2222549420a a c ac =+-，∴22650
a ac c -+=∴(3)(2)0a c a c --=，∴32
e e ==或又2b a >，∴222245b a c a >>，即，
∴e >C
12．研究函数()sin(1)1f x x x =-++的性质
可得()y f x =是增函数，且过(1,0)
-故要使得不等式()()0f x ax b ⋅-≥恒成立
则y ax b =-必过(1,0)-且0a >，可得到0a b +=，故选A
二、填空题．
13．214．415．,02π
⎛⎫ ⎪⎝⎭
16．3
4
16．提示1：12122222(1)2(1)
n n n n a a n n a a n n +++⎧
+=
⎪+⎪⎨⎪+=+++⎪⎩，得222460(43)(2)n n n a a n n n n +-
--=<+++∴数列{}n a 的奇数项和偶数项分别为递减数列，由2331412a a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得
234
a =，由1222
334
a a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得1112a =-，∴max 23()
4
n a a ==提示2：11111211n n a a n n n n ++=--++++，得111
11112n n a a n n n n +⎡
⎤
⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦
∴数列()11n a n n ⎧⎫⎪⎪-⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
是公比为1-的等比数列，又31
17
3412a ⎛⎫
--=- ⎪⎝⎭，()()
711121n n a n n =⨯-++∴数列{}n a 的奇数项和偶数项分别为递减数列，又17
1
112212a =-+=-，27131264
a =+=，
∴()2max 34
n a a ==三、解答题．
17．本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式等基础知识；考查推理论证、运算求解等能力；考查函数与方程、化归与转化、数形结合等思想．满分12分．
解：（1）7
cos cos 5c A a C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ，7
sin sin cos sin cos 5C C A A C ∴-=------------1分
7
sin sin cos sin cos 5C A C C A ∴=+，()7sin sin +sin 5
C A C B ∴==-------------------3分75c b ∴=，5c ∴=--------------------------------------------------------------------------------------5分法二：7cos cos 5c A a C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ，2222
22
7522b c a a b c c a bc ab ⎛⎫+-+-∴-=⨯ ⎪⎝⎭----------2分
()222222145bc b c a a b c ∴-+-=+-，2
1425bc b ∴=，5c ∴=--------------------------5分
（2）3
B π
= 22222cos 25+25cos 3b a c ac B a a π
∴=+-=-⨯⨯-------------------------------------------6分
25240a a ∴--=，0a > ，8a ∴=------------------------------------------------------------8分 在ABD ❒中，3B π
=，AD AB =，ABD ∴❒是等边三角形----------------------------9分
5BD AB ∴==，3ADB π∠=，23ADC π
∴∠=，3DC =-------------------------------11分
112
cos 35sin 223ADC S DC AD ADC π∴=⨯⨯⨯∠=⨯⨯=❒分
18．本题考查直线与平面的位置关系；考查空间想象、推理论证、运算求解等能力；考查数形结合、化归与转化等思想．满分12分．
解：（1）法一AD BC ，AD BCF ⊄面，BC BCF
⊂面
AD BCF ∴面 ------------------------------------------------------------------------------------------1分,,ED B ABCD AB D F C ⊥⊥ 平面平面ED BF ∴ ---------------------------------------2分又ED BCF ⊄面，BF BCF ⊂面，ED BCF ∴面 ----------------------------------------3分=AD ED D ，AED BCF ∴面面 ------------------------------------------------------------4分又AE AED ⊂面，AE BCF ∴面 ----------------------------------------------------------------5分法二：取CG 中点H ，连接,BH EH
,,
ED C ABCD AB D G C ⊥⊥ 平面平面// =ED CH ∴，EHCD ∴四边形为平行四边形---------------------------------------------------1分//// ==EH CD BA ∴，EHBA ∴四边形为平行四边形
AE BH ∴ -----------------------------------------------------------------------------------------------3分,,HC B ABCD AB D F C ⊥⊥ 平面平面HC BF ∴ ，,,,B C H F ∴四点共面BH BCF ∴⊂面-----------------------------------------------------------------------------------------4分又AE BCF ⊄面，AE BCF ∴面 ----------------------------------------------------------------5分
（2）法一：连接AC ，BD 交于点M
D ED ABC ⊥ 面，AC ABCD ⊂面，ED AC ∴⊥------------------------------------------6分又AC BD ⊥，BD ED D
= AC BDF ∴⊥面------------------------------------------------------------------------------------------8分
在等边ABD ❒中，2BD =，AM AB ==分
D ED ABC ⊥ 面，BF ABCD ⊥面ED BF ∴ ，又ED BF =，ED BD ⊥∴四边形EDBF 为矩形-------------------------------------------------------------------------------10分∴1
12DEF S DE EF =⨯⨯=❒-------------------------------------------------------------------------11分1
3D AEF A DEF DEF V V S AM --∴==⨯=❒分
法二：D ED ABC ⊥ 面，BF ABCD ⊥面，ED BF ∴ ，
又ED ADE ⊂面，BF ADE
⊄面BF ADE ∴面 ------------------------------------------------------------------------------------------7分取AD 中点M ，连接BM
D ED ABC ⊥ 面，BM ABCD ⊂面，ED BM ∴⊥----------------------------------------8分在等边ABD ❒中，BM AD
⊥又AD ED D = ，BM ADE ∴⊥面---------------------------------------------------------------9分F ∴到面ADE
的距离即为BM 10分又1
1212ADE S =⨯⨯=❒--------------------------------------------------------------------------------11
分13D AEF F ADE
ADE V V S BM --∴==⨯=❒12分19、本小题主要考查频数分布表、分层抽样等基础知识；考查数据处理能力，运算求解能力；考查统计概率思想．满分12分．
解：（1）依题意得1297100
74292
m n n ++++=
⎧⎪+⎨=⎪⎩------------------------------------------------------2分
解得12
51m n =⎧⎨=⎩-----------------------------------------------------------------------------------------------4分∴所抽取的100个龙眼干中特级品的频率为517
0.58100+=∴用样本频率估计总体分布得，这批龙眼干中特级品的比例为58%-----------------------6分
（2）农场选择方案A 获得的收入为16050030000y =⨯=（元）-------------------------7分设农场选择方案B 获得的收入为2y 元，则
依题意得500千克龙眼干共可以分装1000袋，用样本频率估计总体分布得特级品有58
1000580100⨯=袋，一级品有291000290100
⨯=袋，二级品有121000120100⨯=袋，三级品有1
100010100⨯=袋．------------------------------9分
∴2405803029020120101034400y =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）---------------------------11分 21y y >，∴农场应选择方案B ．----------------------------------------------------------------12分
(注：用加权平均的计算方法得出正确答案同样给分)
20．命题意图：本题考查曲线与方程，直线与圆锥曲线的位置关系等知识；考查数形结合，化归与转化思想；考查学生逻辑推理，数学运算等核心素养．满分12分
解：（1）设点P 的坐标为(,)x y ，
1213PA PA k k ⋅=- ，1
3----------------------------------------------------2分
化简得：22312x y +=，又x ≠±
故动点P 的轨迹Γ的方程为22
1(124x y x +=≠±--------------------------------------------4分
（2）设直线:1l y kx =-与曲线Γ的交点为1122(,),(,)
C x y
D x y 由2
2312
1x y y kx ⎧+=⎨=-⎩得2
2(13)690k x kx +--=，--------------------------------------------------6分又0∆>，12122269
,1313k
x x x x k k +=⋅=-++---------------------------------------------------8分法一：要证2CD BE =，即证BC BD ⊥，即证0BC BD ⋅= ①，-----------------------9分11(,1)BC x y =- ，22(,1)
BD x y =-
BC BD ∴⋅ 1212(3)(3)x x kx kx =+-⋅-----------------------------------------------------------10分2
22212122229(1)18927(1)3()90
131313k k k k x x k x x k k k -++=+-++=-=+++故①式成立，则命题得证．---------------------------------------------------------------------------12分法二：点E 坐标为2231
(,)1313k k k -++----------------------------------------------------------------9分则222
22222
9(63)(13)(13)k k BE k k +=+++422
222229(451)9(41)(1)
(13)(13)k k k k k k ++++==++----------------------------------------------------------10分2222
2222223636(13)36(1)(14)
(1)(13)(13)k k k k CD k k k ++++=+⋅=++----------------------------------11分故224CD BE =，则命题得证．------------------------------------------------------------------12分
21．本题考查函数的单调性、导数及其应用、不等式等知识；考查推理论证、运算求解等能力；考查函数与方程、化归与转化、分类与整合等思想．满分12分
解：（1）依题意得()210x x f x e ae '=-+≥在R 上恒成立----------------------------------2分得1
x x a e e ≤+，1
2x x e e +≥ （当0x =时等号成立）
∴a 的取值范围为(],2-∞------------------------------------------------------------------------------4分
（2）令()210x x f x e ae '=-+=，设(0)x t e t =>，则210t at -+=（*）
当2a >时，240a ∆=->，设方程（*）的两个实根为()
1212,t t t t <则122t t a +=>，121t t =，1201t t ∴<<<------------------------------------------------------6分()()()
2121=x x x x f x e ae e t e t '∴=-+--当()1,ln x t ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增
当()12ln ,ln x t t ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减
当()2ln ,x t ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增
()f x ∴有两个极值点()112212=ln ,ln 0x t x t x x =<<-----------------------------------------8分()222222
134ln 2
f x x t at t ∴+=-+()()2221222222114ln 4ln 1122
t t t t t t t t =-++=-+->-------------------------------------10分令()2
14ln 1(1)2h x x x x =-+->，()2
44x h x x x x
-'∴=-+=当()1,2x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；
当()2,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减．----------------------------------------------11分()()max 234ln 20h x h ∴==-+<，()22+30f x x ∴<，即()
22
3f
x x <-．----------12分
22．本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合、函数与方程思想．满分10分．
（1） 22cos ,
2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）
∴曲线1C 的普通方程为()2
224x y -+=，即2240x y x +-=-----------------------------2分 cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴24cos 0
ρρθ-=∴曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=--------------------------------------------------------------5分
数学（文科）参考答案第7页，共7页（2）依题意设1(,)A ρθ，2(,)B ρθ，
∴由4cos θαρθ=⎧⎨=⎩得14cos ρα=．由4sin θα
ρθ=⎧⎨=⎩得24sin ρα=． 04π
α<<，∴12ρρ>．∴124cos 4sin AB OA OB ρραα=-=-=-．-------------------------------------------7分 OM 是圆1C 的直径，∴2OAM π
∠=．
∴在直角OAM ❒中，4sin AM α=--------------------------------------------------------------8分 在直角BAM ❒中，4
AMB π
∠=∴AB AM =，即4cos 4sin 4sin ααα-=---------------------------------------------------9分∴4cos 8sin αα=，即1
tan 2α=．--------------------------------------------------------------10分23．本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想．满分10分．
解：（1）()62f π
> ，2316a a ∴+-+->，即314a a -+->--------------------------1分
当3a ≥时，不等式化为314
3a a a -+->⎧⎨≥⎩，4a ∴>-----------------------------------------------2分
当13a <<时，不等式化为()()314
13a a a ⎧-+->⎪⎨<<⎪⎩，此时a 无解----------------------------------3分
当1a ≤时，不等式化为()()314
1a a a ⎧-+->⎪⎨≤⎪⎩，0
a ∴<-------------------------------------------4分
综上，原不等式的解集为{|0a a <或4}a >--------------------------------------------------------5分
（2）要证R x ∀∈，1
()3+1f x a a ≥--恒成立
即证R x ∀∈，1
2sin 1+1x a a ≥---恒成立-------------------------------------------------------6分
2sin x 的最小值为2-，∴只需证1
21+1a a -≥---，即证1
1+12a a -+≥------------8分
又1
1
1
11+1112
a a a a a a a a -+≥-++=+=+≥1
1+12a a ∴-+≥成立，∴原题得证---------------------------------------------------------------10分。