2023-2024学年四川省眉山市仁寿县高二下册期末数学(理)质量检测试题(含解析)

2023-2024学年四川省眉山市仁寿县高二下册期末数学（理）质量
检测试题
一、选择题
1、已知复数213i z z -=-，其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z =（）
A ．1i
+B ．1i
-C ．1i
-+D ．1i
--2、
《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）
A ．0.5
B ．0.6
C ．0.7
D ．0.8
3.随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()400E X =，()300D X =，则p 等于()
A ．
1
4
B ．
12
C ．
13
D ．
34
4、将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有一个小球，且每个盒子里的小球个数都不相同，则不同的放法有A ．15种
B ．18种
C ．19种
D ．21种
5.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的初中生中近视人数分别为（
）
A ．100，28
B ．200，28
C ．100，40
D ．200，40
6、若2022
220220122022(12)
x a a x a x a x -=+++⋯+，则下列结果错误的是（
）
A ．01220221a a a a +++⋯+=
B ．2022
0242022
132
a a a a ++++⋯+=
C ．
202212
22022
0222a a a ++⋯+=D ．20212322320224044
a a a a +++⋯+=7、如图是一个计算：2019−2017+2015−2013+⋅⋅⋅−5+3的算法流程图，若输入=
2019，则由上到下的两个空白内分别应该填入（）
A ．12
(1)n S S n -=--⋅，2
n n =-B ．1
(1)
n S S n -=--⋅，1n n =-C ．1
(1)
n S S n -=+-⋅，2
n n =-D ．1
(1)
n S S n -=+-⋅，1
n n =-8.国庆节前夕，甲、乙两同学相约10月1日上午8:00到8:30之间在7路公交赤峰二中站点乘车去红山公园游玩，先到者若等了10分钟还没有等到后到者，则需发短信联系．假设两人的出发时间是独立的，在8:00到8:30之间到达7路公交赤峰二中站点是等可能的，则两人不需要发短信联系就能见面的概率是A ．1
2
B ．
34
C ．
59
D ．
56
9、函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（
）
A ．1
2
x =
为函数()f x 的零点B ．2x =为函数()f x 的极大值点C ．函数()f x 在1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减
D ．()2f -是函数()f x 的最小值
10、已知()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()()f x f x '>恒成立，则下列不等式成立的是（）
A ．e (1)(2)
f f >B ．()()
e 10
f f -<C ．()()
e 21
f f ->-D ．()()
2
e 11
f f ->11、已知函数()||2
e x
f x x =-，若()ln 4a f =，21ln e b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()
1.12c f =，则a ，b ，c 的大
小关系为（）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c a b
>>D ．c b a
>>12.已知函数()()3
2
ln f x x a x x
=--，若不等式()0f x >有且只有三个整数解，则实数a
的取值可以为（）
①
ln5100
②
ln225
③
ln224④
ln524
A.①②
B.①③
C.②④
D.②③二、填空题
13、7
12x ⎫-⎪⎭的展开式中含5x 项的系数为______.
14.甲乙两名实习生每人各加工一个零件，若甲实习生加工的零件为一等品的概率为，乙
实习生加工的零件为一等品的概率为，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两
个零件中恰好有一个一等品的概率为
．
15、已知函数1
()sin 2cos 2
f x x x =，该函数的最大值为__________．
16.已知变量()12,0,x x m ∈(m >0)，且12x x <，若2112x x
x x <恒成立，则m 的最大值________．
三、解答题
17.第19届亚运会组委会消息，亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.为此某校举办了以“迎亚运”为主题的篮球和排球比赛，每个学生只能报名参加一项，某调研组在校内参加报名的学生中随机选取了男生､女生各100人进行了采访，其中参加排球比赛的归为甲组，参加篮球比赛的归为乙组，调查发现甲组成员96人，其中男生36人.
甲组
乙组
合计
男生女生合计
（1）根据以上数据，补充上述22⨯列联表，并依据小概率值0.001α=的独立性检验，分析学生喜欢排球还是篮球是否与“性别”有关；
（2）现从调查的男生中，按分层抽样选出25人，从这25人中再随机抽取3人发放礼品，
发放礼品的3人在甲组中的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.
参考公式.()()()()
2
2
(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-=
=+++++++参考数据：
α
0.10.050.010.0050.001x α
2.706
3.841
6.635
7.841
10.828
18、某公司生产医用外科口罩，由于国内疫情得到了较好地控制，口罩的销量有所下降，因此该公司逐步调整了口罩的产量，下表是2021年5～11月份该公司口罩产量（单位：万箱）：月份x
567891011产量y （万箱）
3
2.62
2.38
2.09
1.8
1.66
1.36
由散点图可知产量y （万箱）与月份x 具有线性相关关系．（1）求线性回归方程，并预测12月份的产量；
（2）某单位从该公司共购买了6箱口罩（其中有4箱5月份生产，2箱为6月份生产），随机分发给单位研发部门和销售部门使用，其中研发部门4箱，销售部门2箱，使用中发现5月份生产的口罩不符合质量要求，单位要求该公司给予更换，求分发给销售部门的2箱口罩中至多有1箱需要更换的概率．
附：()()(
)
1
1
2
2
21
1
n
n
i
i
i i
i i n
n
i i i i x x y
y
x y nx y
b
x x
x nx
====---==
--∑∑∑∑ ， a
y bx =- ；参考数据：7
1
14.91i i y ==∑，7
1
111.86i
i
i x y
==∑，7
21
476i i x ==∑．
19、已知函数21
()()x f x alnx a R x
-=-∈．（1）当5
2
a =时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，212()x x x <，证明：2121220x x alnx alnx --+<．
20、某技术部门对工程师进行达标等级考核，需要进行两轮测试，每轮测试的成绩在90分及以上的定为该轮测试通过，只有通过第一轮测试的人员才能进行第二轮测试，两轮测试的
(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当e m =时，直线2
b
y ax =+
是曲线()y f x =的切线，求a b +的最小值．22、已知函数()x f x e =，2()g x mx =．R m ∈，e 为自然对数的底数．（1）如果函数()()()h x f x g x =-在(0，+∞)上单调递增，求m 的取值范围；（2）若直线1y kx =+是函数()y f x =图象的一条切线，求实数k 的值；（3）设12x x ，R ∈，且12x x <，求证：
122121
()()()()
2f x f x f x f x x x +->-．
数学答案
1、
【正确答案】B
2、【正确答案】C
某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》
且阅读过《红楼梦》的学生共有60
位，作出维恩图，得：
∴该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：＝0.7．故选：C．
3.【正确答案】A
X服从二项分布~(,)
X B n p，且()400
E X=，()300
D X=，则
400
(1)300
np
np p
=
⎧
⎨
-=
⎩
，解得
1
4
p=．故选A．
4、【正确答案】B
5.根据图1可得出学生的总人数为：2000+4000+4000＝10000，样本容量为10000×2%＝200，抽取的初中生人数为：4000×2%＝80，根据图2得初中近视眼人数为：80×50%＝40，故选：D．
6、【正确答案】C
7、【正确答案】A
8.【正确答案】C
设两人分别于x时和y时到达约见地点，则
1
2
{
1
2
x
y
<<
<<
，要使两人不需发短信即可见面，则
必需
11
66
x y
-≤-≤，又两人到达地铁站的所有时刻(),x y的各种可能结果可用图中的正方形
内（包括边界）中的点来表示，两人不需发短信即可见面的所有时刻(),x y 的各种可能结果
用图中的阴影部分（包括边界）来表示，所以，所求概率2
11543194
S P S ⎛⎫- ⎪
⎝⎭
=
==阴影正方形
，故选C
．
9、【正确答案】C
由()f x '的图象可得，当<2x -时，'()0f x <，当1
22x -<<
时，'()0f x >，当122
x <<时，'()0f x <，当2x >时，'()0f x >所以()f x 在12,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭和()2,+∞上单调递增，在(),2-∞-和
1,22⎛⎫
⎪
⎝⎭
上单调递减，所以2x =为()f x 的极小值点，所以B 选项错误，C 选项正确；12x =是()f x '的零点，但不一定是()f x 的零点，所以A 错误；()2f -是函数()f x 的极小值，但不
一定是最小值，所以D 错误.故选：C 10、【正确答案】B
由题意，构造函数()
()e x f x g x =，x ∈R 则2()e e ()()()()(e )e x x x x
f x f x f x f x
g x ''--'==因为不等式
()()f x f x '>恒成立，所以()0g x '>，即()g x 在R 上单调递增，对于A 选项，因为(1)(2)g g <，
即
2(1)(2)e e
f f <，即e (1)(2)f f <，故A 选项错误对于B 选项，因为(1)(0)
g g -<，即10(1)(0)
e e
f f --<，
即e (1)(0)f f -<，故B 选项正确对于C 选项，因为(2)(1)g g -<-，即21(2)(1)
e e
f f ----<，即e (2)(1)f f -<-，故C 选项错误对于D 选项，因为(1)(1)
g g -<，即
1
(1)(1)e e
f f --<，即2e (1)(1)f f -<，故D 选项错误；故选：B 11、
【正确答案】D 因为()()()2
||||2e e x x f x x x f x --=--=-=，可得函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，则
()2e x f x x =-，可得()e 2x f x x '=-，构建()()x f x ϕ'=，则()e 2x x ϕ'=-，令()0x ϕ'<，解
得0ln 2x ≤<；令()0x ϕ'>，解得ln 2x >；
所以()x ϕ在[)0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，可得
()()()ln 221ln 20x ϕϕ≥=->，即()0f x ¢>在[)0,∞+上恒成立，故()f x 在[)0,∞+上单调递增，又因为()()21ln 22e b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭
，且 1.122ln 40>>>，所以()
()()1.1
22ln 4f f f >>，
即c b a >>.故选：D.12.【正确答案】A 因为()(
)32
ln f x x a x x =--定义域为()0,∞+，由()0f x >，
可得
()2ln 1x a x x >-，即不等式()2ln 1x
a x x
>-有且只有三个整数解，令()2ln x
g x x =，则()2
12ln x g x x
-'=
，所以当0x <<时()0g x '>，
当x >
()0g x '<，则()g x
在(
上单调递增，在
)
+∞上单调递减，
又()10g =，所以当01x <<时()0g x <，当1x >时()0g x >，易知函数()1y a x =-()0x >的图象恒过点()1,0，在同一平面直角坐标系中作出()1y a x =-()0x >与()2
ln x
g x x =
的图象如下图所示：由题意及图象可知0a >，要使不等式
()2ln 1x
a x x
>-有且只有三个整数解，则()()()()414515a g a g ⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩，即ln 4316
ln 5425a a ⎧<⎪⎪⎨⎪≥
⎪⎩
，解得ln 5ln 210024a <≤，
故符合题意的有①②.故选：A.
13、【正确答案】358
-
7
12x ⎫⎪⎭
的展开式中，通项公式为7
772
1711C C 22r r
r
r
r
r r T x x +-+⎛⎫⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
令752r +=，求得3r =，可得展开式中含5x 项的系数3
3781C 235⎛⎫⋅- =-⎪⎝⎭
.故35
8
-
．14.
【正确答案】
根据题意可得这两个零件中恰好有一个一等品的概率为：
＝
．故．
15、
由题意，函数()()223
sin cos sin 1sin =sin sin f x x x x x x x ==--，令sin x t =且[]1,1t ∈-，则
3()y g t t t ==-，
从而(
)(
)()
2
1311g t t '=-=-+，令()0g t '=，
解得1t =
23t =，
当13
t -<<时，()0g t '<；
当33t <<时，()0g t '>；
当13t <<时，
()0g t '<，所以()g t
在(1,3-
上单调递减；在33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递增；在,13⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减．因为()10g -=
，(
39
g =
，所以()f x
故答案为
16.【正确答案】e
不等式两边同时取对数得2
1
12ln ln x x x x <，即x 2lnx 1＜x 1lnx 2，又()12,0,x x m ∈即
12
12
ln ln x x x x <成立，设f （x ）＝ln x
x
，x ∈（0，m ），∵x 1＜x 2，f （x 1）＜f （x 2），则函数f （x ）在（0，m ）上为增函数，
函数的导数22
1
x ln x
1ln x x ()x x f x '⋅--==
，由f ′（x ）＞0得1﹣lnx ＞0得lnx ＜1，得0＜x ＜e ，
即函数f （x ）的最大增区间为（0，e ），则m 的最大值为e 故e 17.（1）列联表补充如下：
甲组
乙组
合计
男生3664100女生6040100合计
96
104
200
零假设为0H ：学生选择排球还是篮球与性别无关.
根据列联表中的数据，经计算得到()()()()
2
2
()n ad bc a b c d a c b d χ-=
++++2200(36406064)15011.538109610410010013
⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.
0.001828x =，依据小概率值0.001α=的独立性检验，推断0H 不成立，
即认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关.
（2）按分层抽样，甲组中男生9人，乙组中男生16人，则X 的可能取值为0,1,2,3，
()()312
16916
332525C C C 28540,1C 115C 115P X P X ======()()21639169332525C C C 14421
2,3C 575C 575
P X P X ======，
X ∴的分布列为X 0
1
2
3
P
281155411514457521575
数学期望()2854144216210123115115575575575
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=18、
【正确答案】(1) 0.265 4.25y x =-+；预测12月份的产量为1.07万箱(2)
3
5(1)()1
56789101187
x =⨯++++++=，711114.91 2.1377i i y y ===⨯=∑，
所以7
1
7
2
2
21
7111.8678 2.130.26547678
7i i
i i i x y
xy
b
x x
==--⨯⨯==
=--⨯-∑∑ ， ()2.130.2658 4.25a y bx =-=--⨯= ，
所以 0.265 4.25y x =-+．所以当12x =时 0.26512 4.25 1.07y =-⨯+=，故预测12月份的产量为1.07万箱．
(2)从6箱中抽取2箱共有2615C =种，即基本事件总数为15，
至多有1箱为5月份生产的事件数为1124229C C C +=，故所求概率93155
P ==．19、（1）由22225112()1025202x x a f x x x x x x x -+'=--=-<⇒-+>⇒>或102
x <<，()f x ∴的单调减区间为1(0,),(2,)2+∞；由1()022
f x x '>⇒<<，()f x ∴的单调增区间为1[,2]2
．（2）证明：当0a
时，()0f x '<，()f x ∴单调递减，无极值点，不满足条件．
当02a < 时，2222211()1010,40a x ax f x x ax a x x x
-+'=--=-=⇒-+==-<，()0f x '<，()f x ∴单调递减，无极值点，不满足条件．
当2a >时，222
11()10a x ax f x x x x -+'=--=-=，即210x ax -+=，△240a =->的两根为1x ，2x ．由韦达定理得1212
1x x a x x +=⎧⎨⋅=⎩，12x x < ，1201x x ∴<<<，满足条件．
要证2121220x x alnx alnx --+<，即证
21122122x x x x a lnx lnx -+<=-，即证221122121211
2(1)2(),1x x x x x lnx lnx ln x x x x x --<-<++，令21(1,)x t x =∈+∞则只需证
2
22
222214(1)(),(1,)()011(1)(1)t t t lntg t lnt t g t t t t t t ---'<=-∈+∞⋅=-=>++++，()g t ∴在(1,)+∞单增，()g t g >（1）0=，得证．
（2）当e m =时，()ln e f x x x =+，设切点为000(,ln e )x x x +，则切线斜率()00
1e k f x x ==+'，切线方程为00001(ln e )e ()y x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，即001e ln 1y x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，01e a x ∴=+，02ln 2b x =-，00
12ln e 2a b x x +=++-，令1()2ln e 2g x x x =++-，221221()(0)x g x x x x x '-=-+=>，令()0g x '<，可得102
x <<，令()0g x '>，得12x >
，∴可得()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，min 1()e 2ln 22g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
，即a b +的最小值为e 2ln 2.
-22、（1）()2x h x e mx =-，()'2x h x e mx
=-要使()h x 在()0,+∞上单调递增，则()'0h x ≥在()0,+∞上恒成立.
∴20x
e mx ->，∴min 2x e m x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，令()2x e p x x =，()()21'2x e x p x x -=当01x <<时，()'0p x <，()p x 单调递减，当1x >时，()'0p x >，()p x 单调递增∴当x=1时，()p x 有最小值为()12e p =，∴2e m ≤（2）∵()x
f x e =，∴()'x f x e =，设切点为()00,x x e ，则0001x x e kx k e
⎧=+⎨=⎩∴()ln 100k k k k -+=>，令()ln 1p k k k k =-+，()'ln p k k
=∴01k <<时，()'0p k <，()p k 单调递减，当k ＞1时，()'0p k >，()p k 单调递增∴k ＝1时，()min 0p k =，∴()0p k =时，k ＝1.∴实数k 的值为1.
（3）要证()()()()()12212121
2f x f x f x f x x x x x +->>-只要证()12212121
2x x x x e e e e x x x x +->>-，两边同时除以1x e 得：212121112x x x x e e x x --+->-，令210t x x t =->，得：112t t e e t
+->，所以只要证：()220t t e t -++>，
令()()22
t p t t e t =-++∴()()'11t p t t e =-+，()''0t p t te ⎡⎤=>⎣⎦
，∴()()00p t p >=即()220t t e t -++>，∴原不等式成立.。