八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19.1矩形1矩形的性质课件新版华东师大版

5.如图，E，F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点， 且AE=DF.求证：BE=CF.
【证明】∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
AB=CD，∵AE=DF，∴OE=OF.
在△BOE与△COF中，
OB OC， BOE COF， OE OF，
∴△BOE≌△COF，∴BE=CF.
D.24
【解析】选A.因为△ABC的面积为 1 ×8×6=24．
2
又因为E，F是AC上的三等分点．
所以△BEF的面积为 1×24=8．
3
4.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BF∥DE.
若AD=12cm，AB=7cm，且AE∶EB=5∶2.则阴影部分EBFD的面积
为
cm2.
【解析】因为BF∥DE，AB∥CD，所以四边形BEDF是平行四 边形，又AB=7cm，AE∶EB=5∶2，得EB=2cm，所以阴影 部分面积为BE×ADபைடு நூலகம்2×12=24(cm2). 答案：24
(打“√”或“×”) (1)矩形的对角线相等且互相平分. ( √ ) (2)矩形的四个角都是直角. ( √ ) (3)矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. ( √ )
知识点 1 矩形的性质 【例1】(2013·宁夏中考)在矩形ABCD中，点E是BC上一点， AE=AD，DF⊥AE，垂足为F. 求证：DF=DC.
A.88mm C.80mm
B.96mm D.84mm
【解析】选B.如图，把主板转化为一个矩形后，还多余2个 4mm的边长，即主板的周长为2×(24+20)+4×2=96(mm).
3.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E，F是AC上的三等分点， 则△BEF的面积为( )
A.8
B.12
C.16
知识点 2 矩形性质的应用 【例2】如图，四边形ABCD为矩形纸片，AB=10，AD=8，把纸片 ABCD沿AF折叠，使点B恰好落在CD边E上.求折痕AF的长.
【思路点拨】由对称性→AB=AE→由勾股定理 →DE→EC→BF→AF.
【自主解答】∵△AEF和△ABF关于直线AF对称， ∴AE=AB=10，EF=BF，∠AEF=∠B=90°， 在Rt△ADE中，AD=8，AE=10，根据勾股定理， DE= AE2 AD2 102 82 6. ∴EC=10-6=4. 在Rt△EFC中，EC=4，设BF为x， 则FC=8-x，根据勾股定理，得方程(8-x)2+42=x2，解得x=5， 即BF=5， ∴AF= AB2 BF2 102 52 5 5.
5.如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD折叠，使C点落在E处，且BE 与AD相交于点O.判定△OBD的形状，并说明理由.
【解析】△OBD为等腰三角形. 理由： 根据对称性，∠CBD=∠EBD， ∵AD∥BC， ∴∠CBD=∠ADB， ∴∠EBD=∠ADB， ∴OB=OD， ∴△OBD为等腰三角形.
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第19章 矩形、菱形与正方形 19.1 矩 形 1.矩形的性质
1.了解矩形的定义，理解矩形与平行四边形的区别和联系.(重 点) 2.会用矩形的性质进行计算或证明.(重点、难点)
一、矩形的定义 有一个角是_直__角__的平行四边形. 二、矩形的性质 在矩形ABCD中，∠BAD=90°，对角线AC与BD相交于点O.
AD=AD， ∠BAD=∠CDA=90°， AB=CD， ∴△ABD≌△DCA，∴AC=BD.
【总结】矩形的性质： (1)矩形具有_平__行__四__边__形__的一般性质. (2)定理1：矩形的四个角都是_直__角__. (3)定理2：矩形的对角线_相__等__. (4)对称性：矩形既是_中__心__对__称__图形，也是轴对称图形， 对称轴为_通__过__对__边__中__点__的直线.
D.6
【解析】选A.∵∠ABC=90°， ∴AB= AC2－BC2 102－82 6， ∴CD=AB=6， ∵点E，F分别是OD，OC的中点， ∴EF=3.
3.(2013·资阳中考)在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于
点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB=
.
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB.
又∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形．
∴AB=OA1= AC=5.
2
答案：5
4.已知：如图，在矩形ABCD中，AC，BD是对角线，过顶点C作 BD的平行线与AB的延长线相交于点E. 求证：AC=CE.
【证明】∵BD∥EC，BE∥DC， ∴四边形BDCE是平行四边形，∴BD=EC. ∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∴AC=CE.
【思路点拨】连结DE，四边形ABCD是矩形， DF⊥AE→∠DEC=∠AED，∠DFE=∠C=90°→△DFE≌△DCE→ 结论.
【自主解答】连结DE. ∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE. ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠C=90°. ∴∠ADE=∠DEC，∴∠DEC=∠AED. 又∵DF⊥AE，∴∠DFE=∠C=90°. ∵DE=DE，∴△DFE≌△DCE. ∴DF=DC.
【总结提升】解决矩形中折叠问题的两个思路 (1)运用矩形的对边相等、对角线相等、四个角是直角等性质. (2)运用轴对称的性质，找出折叠前后相等的角、线段.
题组一：矩形的性质 1.(2013·宜昌中考)如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD 相交于点O，则图中等腰三角形的个数是( )
A.8
B.6
C.4
D.2
【解析】选C．∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=BO=CO=DO，∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是 等腰三角形.
2.如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，点E，F分 别是OD，OC的中点.如果AC=10，BC=8，那么EF的长为( )
A.3
B.4
C.5
【变式备选】在上面的题目中，保持条件不变，试判断 △AOB和△EDO面积的大小，说明理由. 【解析】△AOB和△EDO面积相等.理由： 根据矩形的中心对称性，△ABD和△CDB面积相等. 即S△ABD=S△CDB，即S△ABD=S△EDB， ∴S△ABD-S△OBD=S△EDB-S△OBD， ∴△AOB和△EDO面积相等.
【总结提升】矩形的性质 (1)矩形的性质为我们以后证明线段平行或相等、角的相等提 供了新的方法. (2)由边、角之间的相等关系，特别是有直角，可以将矩形中 的问题转化为直角三角形中有关边角的计算问题. (3)对角线将矩形分成了四个面积相等的等腰三角形，可以解 决有关等腰三角形的问题. (4)矩形既是中心对称图形，同时还是轴对称图形，为解决图 形的旋转和对折提供了依据.
题组二：矩形性质的应用 1.如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD， DA的中点．若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为( )
A.8
B.6
C.4
D.3
【解析】选C.阴影部分的面积为2×4-4× 1×2×1=4.
2
2.如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据 如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是( )
【思考】(1)由∠BAD=90°，可以推出∠ABC，∠BCD，∠CDA的 度数分别为多少？ 提示：因为矩形是特殊的平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，可得 ∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°.
(2)对角线AC，BD有怎样的数量关系？为什么？ 提示：AC=BD.在△ABD和△DCA中