2018-2019学年宁夏育才中学高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年宁夏育才中学高二上学期期末考试数学（理）试题
一、单选题
1．双曲线
22
145
x y -=的焦点坐标为（ ） A ．()0,1± B ．()1,0± C ．()0,3± D ．()3,0± 【答案】C
【解析】双曲线
22
145
y x -=中224,5a b ==，且焦点在y 轴上， 所以2229a b c +==，解得3c =.
所以双曲线
22
145
y x -=的焦点坐标为()0,3±. 故选C.
2．已知命题，，则命题的否定为（ ）
A ．，
B ．，
C ．，
D ．，
【答案】A
【解析】根据全程命题的否定是特称命题，这一规则书写即可. 【详解】
全称命题“，”的否定为特称命题，故命题的否定为“，
”.
故答案为：A. 【点睛】
这个题目考查了全称命题的否定的写法，换量词否结论，不变条件. 3．经过点
的抛物线的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．无法确定
【答案】C
【解析】分情况设出抛物线的方程，代入已知点即可得到具体方程。

【详解】
由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为或，将点
代入可得或，所以所求抛物线的标准方程为或.
故选.
【点睛】
这个题目考查了抛物线方程的求法，可称为待定系数法，较为基础.
4．已知空间向量，，则“”是“”的（）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据向量垂直的点积运算得到x的值，进而得到结果.
【详解】
，，或-3.故x=1是的充分不必要条件.
故答案为：B.
【点睛】
这个题目考查了向量垂直的坐标表示，也考查了充分必要条件的判断，题目基础. 判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
5．已知的周长为10，且，，则顶点的轨迹方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据椭圆定义可得到轨迹是椭圆，又因为三点不共线故去掉两个点.
【详解】
由题意可得|AB|=4，|MA|+|MB|=6,6>4，
故点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，，，
故，故椭圆的方程为，
又不共线，所以的轨迹方程为.故选.
【点睛】
求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细. 6．若命题是真命题，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据题干得到需满足，解出不等式即可.
【详解】
命题是真命题，则需满足，解得或.
故选.
【点睛】
这个题目考查了已知命题的真假，求参的问题.涉及二次函数在R上有解的问题，开口向上，只需要判别式大于等于0即可.
7．已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，且，则（）
A．1 B．17 C．1或17 D．18
【答案】B
【解析】根据渐近线的斜率为得到a值，再由双曲线定义得到结果.
【详解】
依题意，有，所以.因为，所以点在双曲线的左支上，故有
，解得.
故选.
【点睛】
这个题目考查了双曲线的标准方程的应用和概念的应用，较为简单.
8．在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】通过题干条件得到面的法向量，，求法向量和的夹角即可.
【详解】
由题知，为平面的一个法向量，又因为，所以.故答案为：C.
【点睛】
求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。

9．已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】试题分析：由渐近线是y=x得，抛物线y2=24x的准线为，
，方程为
【考点】双曲线标准方程及性质
点评：双曲线抛物线几何性质的综合考查
10．已知命题，使得；，使得．以下命题为真命题的为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】的解集为空集，故命题为假命题，
为真命题；，使得恒成立，故为真命题，为假命题；因为真命题，为真命题，故为真命题，答案为C。

11．如图，在三棱锥中，，平面，，，，
分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A．B．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】建立空间坐标系，求得两直线的方向向量即可得到夹角. 【详解】 以
为单位正交基底建立空间直角坐标系
，则
，
，
，
，，，异面直线与
所成角的余弦值为.
故选. 【点睛】
这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.
12．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，过椭圆C 的右
焦点作x 轴的垂线交直线AB 于点D ，若直线OD 的斜率是直线AB 的斜率的(4)k k >倍，其中， O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A ．1,14⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,3⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】由题意得直线AB 的方程为()b y x a a =+，当x c =时， bc
y b a
=+，所以点D 的坐标为
,bc c b a ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭。

因此直线OD 的斜率为ab bc ac +，由题意得ab bc b k ac a +=⋅，整理得4a c k c +=
>，∴3a c >，故13c e a =<，所以1
03
e <<。

选D 。

点睛：椭圆的几何性质中，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种： (1)求得,a c 的值，直接代入公式c
e a
=
求得； (2)列出关于,,a b c 的齐次方程(或不等式)，然后根据222
b a
c =-，消去b ，转化成关于
e的方程(或不等式)求解．
二、填空题
13．已知命题“若，则”，在其逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数是__________．
【答案】2
【解析】根据原命题和逆否命题真假性相同可得到逆否命题的真假；写出命题的否命题和逆命题可得到其真假性.
【详解】
易知命题“若，则”为假命题，故其逆否命题也为假命题；逆命题为“若，则”是真命题；否命题为“若，则”，也为真命题.
故答案为：2.
【点睛】
这个题目考查了命题的逆否命题和逆命题，和否命题的书写以及真假的判断，否命题既否条件又否结论，命题的否定是只否结论.
14．已知平面的一个法向量为，，，其中，，则点到平面的距离为__________．
【答案】
【解析】根据点面距离公式,再由向量的坐标运算得到结果即可.
【详解】
，平面的法向量为，
故所求距离.
故答案为：.
【点睛】
这个题目考查了点面距离的求法，方法一可以同这个题目一样建系解决；方法二可以通过等体积法得到点面距离；方法三，如果题中条件有面面垂直的条件，可由点做面的垂线，垂足落在交线上.
15．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为，，再由a,b,c的关系得到离心率.
【详解】
双曲线焦点到渐近线的距离为，，，，，.故答案为：.
【点睛】
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关
于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).
16．已知曲线，直线，则抛物线上一个动点到直线的距离与它到直线的距离之和的最小值为__________．
【答案】
【解析】根据抛物线的定义得到，点到直线的距离等于，所以点到直线与到直线的距离之和等于到直线的距离与之和。

【详解】
抛物线的标准方程为，焦点，所以点到直线的距离等于，所以点到
直线与到直线的距离之和等于到直线的距离与之和，其最小值为
.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义。

一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。

尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化.
三、解答题
17．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，根据下列条件分别求双曲线的标准方程.
（1）渐近线方程为，且过点；
（2）与双曲线的离心率相同，与共焦点.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设出双曲线的方程，代入已知点即可得到方程；（2）根据题意得到双曲线
的离心率为，焦点为，，由，，即可得到参数值.【详解】
（1）设双曲线的方程为，
将点代入可得，故双曲线的方程为，
故双曲线的方程为.
（2）由题意可知双曲线的离心率为，焦点为，，所以可设双曲线的标准方程为，则，，解得，
所以双曲线的标准方程为.
【点睛】
这个题目考查了双曲线的标准方程的求法，一般需要求出a,b，c的关系式，再由三者的关系式得到参数值.
18．已知关于的不等式
的解为条件p ，关于的不等式
的解为条件q.
（1）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）若
是
的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）
；（2）
【解析】(1)先解出命题p ，q 所对应的集合A 和B ，再由是的必要不充分条件，得到集合是集合的真子集，列式求解即可；（2）是
的必要不充分条件，则集合是集
合的真子集，所以求解即可.
【详解】
（1）设条件对应的集合为，则， 设条件对应的集合为，则
.
若是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，所以
解得
，所以实数的取值范围是
.
（2）若是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，所以
解得，所以实数的取值范围是
.
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键．P 是q 的充分非必要条件，则p 所对应的解集是q 所对应的解集的真子集. 19．如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中， PB AB ⊥.
（1）证明：平面PBC ⊥平面PCD ；
（2）若异面直线PC 与BD 所成角为60， PB AB =， PB BC ⊥，求二面角
B PD
C --的大小.
【答案】(1)证明见解析；(2) 60. 【解析】试题分析：
(1)由题意结合几何关系可证得CD ⊥平面PBC ，结合面面垂直的判断定理即可证得平面PBC ⊥平面PCD .
(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角B PD C --的大小是60. 试题解析：
（1）证明：由已知四边形ABCD 为矩形，得AB BC ⊥， ∵PB AB ⊥， PB BC B ⋂=，∴AB ⊥平面PBC . 又//CD AB ，∴CD ⊥平面PBC .
∵CD ⊂平面PCD ，∴平面PBC ⊥平面PCD .
（2）解：以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.
设1PB AB ==， (0)BC a a =>，则()0,0,0B ， ()0,0,C a ， ()1,0,0P ，
()0,1,D a ，
所以()1,0,PC a =-， ()0,1,BD a =，则•cos60PC BD
PC BD
=，即22
1
12a a =+， 解得1a =（1a =-舍去）.
设()111,,n x y z =是平面PBD 的法向量，则•0
{ •0
n BP n BD ==，即1110{ 0x y z =+=，
可取()0,1,1n =-.
设()222,,m x y z =是平面PCD 的法向量，则•0
{
•0m PD m CD ==即2222
0{ 0x y z y -++==，
可取()1,0,1m =，所以•1
cos ,2
n m n m n m =
=-， 由图可知二面角B PD C --为锐角，所以二面角B PD C --的大小为60. 20．已知抛物线，焦点到准线的距离为4.
（1）求抛物线的方程；
（2）若抛物线上存在两点关于直线对称，且两点的横坐标之积为2，求的
值.
【答案】（1）；（2）
【解析】(1)根据题干得到
，进而得到方程；（2）设存在两点分别为
，
，
则根据对称性得到直线的斜率为，代入AB 的中点坐标得到
，再由两根的和与积得到参数值.
【详解】
（1）由题意可得抛物线的焦点到准线的距离为，.
抛物线方程是
.
（2）设存在两点分别为，，则直线的斜率，
又
两点在抛物线上，
，
.
又的中点在直线上，
即，
.
，
即.
又，，
.
【点睛】
当题目中已知直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，可以设出直线和双曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程中，运用点差法，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．（2）“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题．
21．如图，已知四棱锥的底面是正方形，平面，，点分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）建立空间坐标系得到直线的方向向量和面的法向量，证得两个向量垂直，即可得到线面垂直；（2）求两个面的法向量，求解两个法向量的夹角或其补角，即二面角的大小。

【详解】
（1）证明：以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，设
，，，，，，，，
，，.
，
,.
又，
平面.
（2）解：，，，.设平面的一个法向量为，
即取，.
设平面的一个法向量为，
即取，
则.
设二面角的平面角为，
.
，.
【点睛】
传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.
22．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为6.（1）求椭圆的方程.
（2）过椭圆左顶点的两条斜率之积为的直线分别与椭圆交于点.试问直线是否过某定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）根据题意得到解得，再由a,b,c的关系得到结果；（2）设出
直线AM，联立直线和椭圆，表示出点M的坐标，设直线的斜率为，则，即
，把点坐标中的替换为，得到点N的坐标，利用两点坐标表示出直线MN 即可得到直线过定点.
【详解】
（1）由题意知解得.
又，
，
椭圆方程为.
（2）设左顶点，根据已知得直线的斜率存在且不为零，
设，代入椭圆方程，得，
设，则，即，，
即.
设直线的斜率为，则，即，把点坐标中的替换为，得
.
当的横坐标不相等，即时，，直线的方程为
，即，该直线恒过定点.
当时，、的横坐标为零，直线
也过定点.
综上可知，直线过定点
.
【点睛】
圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.。