甘肃省兰州市城关区2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题文

2016-2017学年2学期期末考试试题
高二数学（文）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟
第I 卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数()23z i i =+的实部与虚部之和为（ ）
A. 1
B. 1-
C. 5
D. 5-
2．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ）
A ．64
B ．81
C ．128
D ．243 3．已知0,0,lg 2lg 4lg 2x
y
x y >>+=，则
( ) A. 6 B. 5
C.
D. 4．()cos 1y x =+图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是（ ）
A.
B. π
C. 2
D. 5．参数方程1,
2
x t t y ⎧
=+⎪⎨⎪=-⎩（t 为参数）所表示的曲线是 （ ）
A ．一条射线
B ．两条射线
C ．一条直线
D ．两条直线
6．如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）
A. 4k ≥?
B. 5k ≥?
C. 6k >?
D. 5k >?
7．已知关于的不等式a 2-+b ≥0的解集为[-2，1]，则关于的不等式b 2-+a ≤0的解集为（ ）
A. [-1，2]
B. [-1，
12] C. [-12，1] D. [-1，-1
2
] 8
．圆5cos ρθθ=-的圆心极坐标是（ ）
A ．5(5,
)3π B ．(5,)3π- C ．(5,)3π D ．5(5,)3
π- 9的图象，只要将函数sin2y x =的图象（ ） A
B
C
D
10．若02
π
α＜＜
，02π
β-
＜＜，1cos()43πα+=
，cos()423πβ-=
，则c os()2
β
α+=（ ） A
B
． C
． D
11．设集合}{
10,1,1x A x
B x x x ⎧-⎫
=≤=≤⎨⎬+⎭⎩
则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,3,3811811=-=-S S a a 则使0>n a 的最小正整数n
的值是（ ）
A ．11
B ．10 C. 9 D ．8
第Ⅱ卷(共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．
13．若非零向量,a b 满足32a b a b ==+,则,a b 夹角的余弦值为_______. 14．对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下：
若已求得它们的回归方程的斜率为6.5，则这条直线的回归方程为 . 15．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：
甲说：我不是第三名； 乙说：我是第三名； 丙说：我不是第一名．
若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第一名的是__________． 16．数列{}n a 满足+1=31n n a a +，且11a =，则数列{}n a 的通项公式n a = ____． 三、解答题本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.
17．（本题满分10分）ABC ∆的三个内角C B A ，，对应的三条边长分别是c b a ,,,
且满足
sin cos 0c A C =．
（Ⅰ）求C 的值； （Ⅱ）若5
3
cos =
A , 35=c ，求
B sin 和b 的值． 18．（本题满分12分）某中学将100名高二文科生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50
人．陈老师采用A ，B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验．为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图(如下图)．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．
（Ⅰ）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表；
（Ⅱ）判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关？
附：.
)
19．（本题满分12分）已知函数()4cos sin()16
f x x x π
=+
-．
（Ⅰ）求()x f 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求()x f 在区间,64ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的最大值和最小值． 20．（本题满分12分）设对于任意实数x ，不等式71x x m ++-≥恒成立.
（Ⅰ）求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：32212x x m --≤-.
21．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，1C
的参数方程为1,2
1,x y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，2C 的极坐标方程
22cos 30ρρθ--=．
（Ⅰ）说明2C 是哪种曲线，并将2C 的方程化为普通方程； （Ⅱ）1C 与2C 有两个公共点,A B ，顶点P
的极坐标4π⎫
⎪⎭
，求线段AB 的长及定点P 到,A B 两点的距离之积．
22．（本题满分12分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足
2
144
1,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列. (Ⅰ)
证明2a =(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅲ) 证明对一切正整数n ,有1223
11111
2
n n a a a a a a ++++
<.
高二数学（文）参考答案
1．B
【解析】()2332z i i i =+=-+，复数的实部和虚部之和是321-+=-，故选B. 2．A 【解析】
试题分析：由122336a a a a +=+=，解方程组得6
1711,264a q a a q ==∴==
考点：等比数列通项 3．C
【解析】22lg2lg4lg2lg2
lg2lg2x
y
x
y
x y ++=+==，即21x y +=，那么
()11112
2333y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭ ，
等号成立的条件是2y x
x y
= ，故最小值是3+ C. 4．A
【解析】函数的周期2T π= ，相邻最高点和最低点的横坐标间的距离为π ，根据勾股
，故选A.
5．B
【解析】12x t t =+≥或12x t t
=+≤-，所以表示的曲线是两条射线. 考点：参数方程. 6．D
【解析】由题意可知输出结果为41S = 第1次循环, 11,9;S K == 第2次循环, 20,8;S K == 第3次循环, 28,7;S K == 第4次循环, 35,6;S K == 第5次循环, 41,5;S K ==
此时S 满足输出结果,退出循环,所以判断框中的条件为5K >.故选.D 7．C
【解析】由题意得2,1- 为方程2
0ax x b -+= 的根,且0a < ,所以
121,211,2b
a b a a
-+=
-⨯=⇒=-= ,因此不等式
b 2-+a ≤0为
21
21012
x x x --≤⇒-≤≤ ,选C.
8．A 【解析】略 9．C
【解析】分析：根据平移的性质，28
π
−−−−→变量变化
，根据平移法则“左加右减”可
知向右平移
解答：解：∵y=sin28
π
−−−−
→向右平移
故选：C 10．D 【解析】略 11．C 【解析】
试题分析：{}
11A x x =-<≤，{}
11B x x =-≤≤，∵A B Ü,选C. 考点：1、分式不等式和绝对值不等式的解法；2、充分条件和必要条件. 12．B
【解析】解：∵a 11-a 8=3d =3，∴d =1， ∵S 11-S 8=a 11+a 10+a 9=3a 1+27d =3，∴a 1=-8， ∴a n =-8+（n -1）＞0，解得n ＞9， 因此最小正整数n 的值是10． 故选B ．
13．【答案】1
3
- . 14． 6.517.5y x +＝ 【解析】
试题分析：由题意，245683040605070
55055
x y ++++++++==＝
，＝∵回归直线
方程的斜率为6.5，∴50 6.5517.5a a =-⨯∴=，∴回归直线的方程为 6.517.5y x +＝. 考点：线性回归方程．． 15．乙
【解析】若甲的预测准确，则：
甲不是第三名；乙不是第三名；丙是第一名．
很明显前两个预测说明丙是第三名，后一个预测说明丙是第一名，矛盾，则假设不成立. 若乙的预测准确，则：
甲是第三名；乙是第三名；丙是第一名． 很明显前两个预测矛盾，则假设不成立. 若丙的预测准确，则：
甲是第三名；乙不是第三名；丙是第一名． 推理得甲是第三名；乙是第二名；丙是第一名． 综上可得，获得第一名的是乙. 16．1(31)2
n
n a =-． 【解析】
试题分析：由题意+1=31n n a a +可得：为首项，公比为3的等比数列．所以113322
n n a -+
=⨯，即1
(31)2n n a =-．故应填
1(31)2
n
n a =
-． 考点：1、数列递推式求通项公式． 17．（1）3
2π
=C ；（2）10433sin -=B ，433-=b ．
【解析】
试题解析：（1）因为sin cos 0c A C +=由正弦定理得：
0sin sin 32sin sin 2=+C A R A C R 由0sin ≠A .......................................... 3分
所以3tan -=C ，),0(π∈C ；3
2π
=∴C ................................ 5分 （2）由53cos =
A ，)2,0(π∈A 则5
4
cos 1sin 2=-=A A ，
C A C A C A C A B sin cos cos sin )sin()sin(sin +=+=--=π
10
4
332353)21(54-=
⨯+-⨯=
由
C c B b sin sin =，433sin sin -==C
B
c b ................................ 10分
18．
【解析】：（Ⅰ）由频率分布直方图可得，甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12,38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4,46.
（Ⅱ）能判定，根据列联表中数据，2的观测值
由于4.762>3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：
“成绩优秀”与教学方式有关．................................ 12分
19．（Ⅰ）最小正周期为π ，单调递增区间是,,3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
； （Ⅱ）最大值2，最小值1-． 【解析】
（Ⅰ）因为()4cos sin f x x =()16
x π
+
-
1cos 21
sin 23cos 4-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅=x x x 222cos 12cos22sin 26x x x x x π⎛
⎫=+-=+=+ ⎪⎝
⎭，
故()f x 最小正周期为π
2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
得3
6
k x k π
π
ππ-
≤≤+
故()f x 的增区间是,,3
6k k k Z π
πππ⎡⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
．................................ 6分
（Ⅱ）因为6
4
x π
π
-
≤≤，所以226
6
3
x π
π
π
-
≤+
≤
． 于是，当26
2
x π
π
+=
，即6
x π
=
时，()f x 取得最大值2；
当26
6
x π
π
+
=-
，即6
x π
=-
时，()f x 取得最小值1-．...............................12分
20．（Ⅰ）8m ≤；（Ⅱ）13x x ⎧
⎫≥-⎨⎬⎩⎭
. 【解析】
（Ⅰ）71x x ++-可以看做数轴上的点x 到点7-和点1的距离之和. ∴()
71min 8x x ++-=，∴8m ≤................................6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得m 的最大值为8,原不等式等价于：324x x --≤. ∴有3324x x x ≥⎧⎨
--≤⎩或3
32 4.
x x x <⎧⎨--≤⎩
从而3x ≥或1
33
x -
≤<， ∴原不等式的解集为13x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭
................................12分
21．（Ⅰ）
2
C 是圆，
()2
214
x y -+=
（Ⅱ）
AB =3
PA PB =．
【解析】（Ⅰ）
2
C 是圆，
2
C 的极坐标方程
2
2cos 30ρρθ--=， 化为普通方程：22
230x y x +--=即：()2
214x y -+=．................................4分
（Ⅱ）的极坐标平面直角坐标为在直线
1
C 上，
将1C
的参数方程为1,21,2x y ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
（t 为参数）代入22
230x y x +--=中得：
2
2
112130⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化简得：
230t +-=．设两根分别为12,t t ，
由韦达定理知：12123,t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩
所以AB
定点P 到,A B 两点的距离之积123PA PB t t ==．................................12分 考点：直线参数方程几何意义，极坐标方程化为直角坐标方程
22．【答案】(Ⅰ)当1n =时,22
1221
45,45a a a a =-=+,20n a a >∴=................................3分 (Ⅱ)当2n ≥时,()214411n n S a n -=---,22
114444n n n n n a S S a a -+=-=--
()222
1442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+
∴当2n ≥时,{}n a 是公差2d =的等差数列.
2514,,a a a 构成等比数列,25214a a a ∴=⋅,()()2
222824a a a +=⋅+,解得23a =, 由(Ⅰ)可知,2
12145=4,1a a a =-∴=
21312a a -=-=∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列. ∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. ................................8分
(Ⅲ)()()122311111111
1335572121n n a a a a a a n n ++++=+++
+⋅⋅⋅-+
1
1111111123355721211111.
2212n n n ⎡⎤
⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦ (12)
分。