热学-第三章气体分子热运动速率和能量分布

物理意义： 速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数
的概率，或概率密度。
dN f (v)dv N
dN ＝ f (v )dv N v1
v2
表示速率分布在v→v+dv内的 分子数占总分子数的概率 表示速率分布在v1→v2内的分 子数占总分子数的概率

N
0
dN f v dv 1 N 0
dω＝ 4πv2dv
麦克斯韦速率分布律
将dω＝dvxdvydvz代入
dN m e N 2 kT
x y
3 2 2 2 m ( v v v 2 x y z) 2 2 kT
v dv dv dv x y z
麦克斯韦 速率分布 分布律
2 2 2 2 且： v v v v z
3 2
麦克斯韦 速率分布函数 f(v)
m 4 f v e kT 2
3 2 mv 2 2 kT 2
v
f(vP)
m——分子的质量 T——热力学温度 k——玻耳兹曼常量 面积= dN/N 曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于 分布在此速率区间 内的分子数占总分 子数的概率dN/N 。. v
第三章 气体分子热运动速率和能量分布
§3.1气体分子的速率分布律
§3.2用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布 §3.3珀尔兹曼分布率 重力场中微粒按高度的分 布 §3.4能量按自由度均分定理
3－1 麦克斯韦气体速率分布律
第一章我们引入了平衡态和温度的概念，但在热力学范围内不 能得到深刻的认识。第二章以分子运动论为基础，认识了压强 和温度的微观本质，对平衡态下分子热运动的规律有了初步认 识，我们有一个基本的统计公理（假设）。这个公理只解决了 分子热运动速度方向的几率问题，并没有涉及分子热运动速率 大小取值的概率，无法作进一步的定量分析。分子热运动情况 是分子物理的重要研究对象，我们必须讨论速率大小取值的概 率问题。由于分子数目如此巨大，速率的取值从0到∞，这个 取值区间非常大，分子在任何一个微小速率范围内的取值其概 率都不会大，但到底有多小却不易判断。所以，这是一个大数 量偶然微观运动的集体效应的问题，既统计的问题，对应的规 律就是一个统计规律。一般地研究这个问题比较复杂，我们以 理想气体为基础来开展讨论。
速度取向的概率问题。速度是矢量，必须解决有关大小取值的 概率问题。首先我们容易想到这样两个事实：1。由于分子受 到频繁的碰撞，每个分子热运动的速率是变化的，要某一分子 具有多大的运动速率没有意义，所以只能估计在某个速率间隔 内出现的概率；2。哪怕是相同的速率间隔，例如都是100ms-1， 但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如，100-200 ms-1 和500-600 ms-1有相同的速率间隔，但第一个间隔总的来说速 率较低，第二个间隔总的来说速率较大，其概率是不等的。比 如，速率接近为0的可能性很小，速率非常大的可能性也很小， 而居中速率的可能性则较大。根据这个两个事实，我们自然要 问，在不同速率间隔取值的概率有没有规律？肯定是有的，这 个规律能用一个函数定量表示出来。为此，我们引入速率分布 函数来描述分子热运动在不同速率间隔取值的概率规律。

P
（２）0

1 2 mv f vdv表示______________． 2
分布在速率区间vP 的分子数在总分子数中占 的百分率 分子平动动能的平均值
练习4．已知分子总数为 N，它们的速率分布函数 为 f (v ) ，则速率分布在区间 v1 v2 内的分子的 平均速率为
（Hale Waihona Puke ）v2v1
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831——1879)
•他提出了有旋电场和位移电流概念，建 立了经典电磁理论，预言了以光速传播 的电磁波的存在。
•1873年，他的《电磁学通论》问世，这 是一本划时代巨著，它与牛顿时代的 《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它 是人类探索电磁规律的一个里程碑。 •在气体动理论方面，他还提出气体分子 按速率分布的统计规律。
vP
v v+dv
麦克斯韦速率分布曲线
dN f vdv N
O
f (v )
N v2 f v dv v 1 N
v
dv v p v 1 v 2
在f(v)~v整个曲线下的面积为 1 ----归一化条件。
分子速率的三个统计值
最概然速率
平均速率 方均根速率
最概然速率(the most probable speed)
vf v dv
Nvfvdv
（B）
v2
v1 v2 v1
vf v dv f v dv
（C）

v2
v1
（D）
v2 v1
vf v dv N
（B）
2.麦克斯韦速度分布律
在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以 d v的分子 忽略时，分布在速度区间 v ~ v 数占总分子数的比率为
dN Ndv ，这样，比
定义：处于一定温度下的气体，分布在速率 v附近的 单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比只是 速率v的函数，称为速率分布函数。
dN f (v) Ndv
理解分布函数的几个要点：
速率分布函数
1.条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统，T和m是一定的； 2.范围：（速率v附近的）单位速率间隔，所以要除以dv； 3.数学形式：（分子数的）比例，局域分子数与总分子数之比。
dN m e N 2 kT
3 2 2 2 m ( v v v 2 x y z) 2 2 kT
v dv dv dv x y z
麦克斯韦速度分布律
3.麦克斯韦速率分布律
在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以 d v 也就是 忽略时，分布在速度区间 v ~ v 分布在vx~vx+dvx/vy~vy+dvy/vz~vz+dvz的分子数占总 分子数的比率为:
m 第三部分， 2 n k T
3 2
是归一化因子，这里也有一个值得注意的问题，指数衰减部分没 有单位，4v2dv具有速度立方的单位，分布律只是分子数的比值， 也没有单位，所以归一化因子必须具有速度负立方的单位。即
m 应该具有速度的量纲，的确如此，正是一个具有统计 2 n k T 特性的速率，后面知道，叫最可几速率。
归一化条件
应注意的问题: 分布函数是一个统计结果，以上各种讨论都是建立在众多分子微 观运动基础上的，分子的数目越大，结论越正确。所以： 1）少数分子谈不上概率分布
偶然事件少了，或分子数少了，就不能表现出稳定的统计特性。
例如，抛两分的硬币，抛的次数越多，币制和国徽朝上的次数才 更加接近相等，否者将有很大差异。
§1、气体分子的速率分布律
1、速率分布函数 速率分布函数的定义：
一定量的气体分子总数为N，dN表示速率分布在某区间 v~v+dv内的分子数， dN/N表示分布在此区间内的分子数占 总分子数的比率。 实验规律： •在不同的速率附近，给定的速率间隔dv内，比值dN/N是 不同的。容易想见，速率间隔越大， dN/N？ • dN/N 是 v 的函数； •当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， dN/N还应与 区间大小成正比。 为此，规定以单位速率间隔为比较标准，即 值 dN 就反映出了随速率v的改变而改变。为此我们规 Ndv 定 ；
Nf(v)dv 速率在v-v+dv内的分子数
v2
(3)
v1 v2

f (v )d v
速率在v1→v2内的分子数占总分子数的百分比
(4)
v1
Nf ( v ) d v
速率在v1→v2内的分子数
练习3．在平衡状态下，已知理想气体分子的麦克 斯韦速率分布函数为 f (v ) 、分子质量为 m 、最可几 速率为 v P ，试说明下列各式的物理意义： （１） v f v dv 表示________________；
3）“具有某一速率的分子有多少”是不恰当的说法
f (v)是针对v附近单位速率间隔的，离开速率间隔来谈分子
数有多少就没有意义了。
4）气体由非平衡到平衡的过程是通过分子间的碰撞来实现 的。
因此，分子间的碰撞是使分子热运动达到并保持确定分布的 决定因素。
课堂练习1．速率分布函数 f v 的物理意义为：
粒子总数
N N i
i
Ni i lim N N
概率 粒子在第 格中 出现的可能性大小 .
i
归一化条件
N i i 1 i i N
引言：
气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分 子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分 子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大 量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守 一定的统计规律——气体速率分布律。 气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦于1859年 在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学 中导出，1920年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦分子按速率 分布的统计规律。
3 2 2 mv 2 kT 2
得：dN m 4 e 得
N
kT 2
v dv
记忆这个公式分三部分： 第一部分，4v2dv是“球壳”的体积，而“球壳”全方位的高 度对称性正是分子热运动想各个方向几率均等的生动表现；
第二部分 ,
e
mv2 / 2kT
正是分子热运动速率取值不等几率的表现，值得注意，这个 指数衰减律的结果没有单位，mv2/2是分子热运动的动能，kT 既有能量的量纲，所以指数衰减的指数部分是热运动的动能 与体系能量状态特征量之比，对于大的速率，指数衰减的速 度比v2增加的速度快得多，二者共同影响的结果，分布函数 值必然较小。
小球在伽 尔顿板中的分 布规律 .
统计规律 当小球数 N 足够大时小球的分布具有 统计规律. . . . . . . . . . 设 N i 为第 i格中的粒子数 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2）统计规律表现出涨落
所谓涨落就是对稳定的统计结果的偏差，统计规律必然伴随着涨 落。例如，在某一速率v附近dv间隔内求出的比值dN/N是0.06， 表示有6%的分子，它们的速率取值分布在（v，v+dv）内，但并 不 是 说 ， 每 时 每 刻 就 一 定 是 0.06 ， 也 有 可 能 是 0.05998 ， 0.0601，…等等，但长时间的平均值仍是0.06。
19世纪伟大的英 国物理学家、数 学家。经典电磁 理论的奠基人， 气体动理论的创 始人之一。
统计规律性
分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分 子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动 （在动力学支配下）是无规则的，存在着极大 的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律 性。（例：理想气体压强） 人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为 的规律性称为统计规律性
dN m e N 2 kT
3 2 2 2 m ( v v v 2 x y z) 2 2 kT
v dv dv dv x y z
这个区间内的分子，它们的 速度矢量的端点都在一定的 体积元dω＝dvxdvydvz内
也就是满足这个条件的速度 矢量的端点都落在半径为v， 厚度为dv的球壳层内。这个 球壳层的体积等于其内壁的 面积4πv2乘以厚度dv ：
对于由大 量分子组成的 热力学系统从 微观上加以研 究时，必须用 统计的方法 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
（Ａ）具有速率 v 的分子占总分子数的百分比．
（Ｂ）速率分布在 v 附近的单位速率间隔中的分子 数占总分子数的百分比．
（Ｃ）具有速率 v 的分子数． （Ｄ）速率分布在 v 附近的单位速率间隔中的分子 数．
（Ｂ）
练习2、下列各式的物理意义分别为:
(1) (2)
f (v)dv
速率在v-v+dv内的分子数占总分子数的百分比