高三数学一轮 1.1 集合的概念与运算导学案 理 北师大版

§1.1集合的概念与运算
2014高考会这样考 1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力．复习备考要这样做 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解．
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．2．集合间的关系
(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B(或B A)．
(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅ B(B≠∅)．
(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．
(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
3．集合的运算
并集的性质：
A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
交集的性质：
A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩
B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .
补集的性质：
A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A .
[难点正本 疑点清源] 1． 正确理解集合的概念
正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误． 2． 注意空集的特殊性
空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ⊆B ，则需考虑A ＝∅和A ≠∅两种可能的情况．
3． 正确区分∅，{0}，{∅}
∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．∅⊆{0}，∅⊆{∅}，∅∈{∅}，{0}∩{∅}＝∅.
1． (2012·江苏)已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝________.
答案 {1,2,4,6}
解析 A ∪B 是由A ，B 的所有元素组成的．
A ∪
B ＝{1,2,4,6}．
2． 已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤1＋a }，B ＝{x |x 2
－5x ＋4≥0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取
值范围是________． 答案 (2,3)
解析 集合B 中，x 2
－5x ＋4≥0，∴x ≥4或x ≤1. 又∵集合A 中a －1≤x ≤1＋a .
∵A ∩B ＝∅，∴a ＋1<4且a －1>1，∴2<a <3.
3． 已知集合A ＝{－1,2}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若A ∪B ＝A ，则m 的可能取值组成的集合为
________．
答案 ⎩
⎨⎧⎭⎬⎫0，1，－12
解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ∴当B ＝∅时，m ＝0； 当－1∈B 时，m ＝1；
当2∈B 时，m ＝－1
2.
∴m 的值为0,1，－1
2
.
4． (2012·江西)若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元
素的个数为
( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
答案 C
解析 当x ＝－1，y ＝0时，z ＝x ＋y ＝－1； 当x ＝1，y ＝0时，z ＝x ＋y ＝1； 当x ＝－1，y ＝2时，z ＝x ＋y ＝1； 当x ＝1，y ＝2时，z ＝x ＋y ＝3，
由集合中元素的互异性可知集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }＝{－1,1,3}，即元素的个数为3.
5． (2011·北京)已知集合P ＝{x |x 2
≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围为( )
A ．(－∞，－1]
B ．[1，＋∞)
C ．[－1,1]
D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
答案 C
解析 由P ＝{x |x 2
≤1}得P ＝{x |－1≤x ≤1}． 由P ∪M ＝P 得M ⊆P .又M ＝{a }，∴－1≤a ≤1.
题型一 集合的基本概念
例1 (1)下列集合中表示同一集合的是
( )
A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}
B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2}
C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}
D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}
(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫
0，b a
，b ，则b －a 等于
( )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
思维启迪：解决集合问题首先要考虑集合的“三性”：确定性、互异性、无序性，理解集合中元素的特征．
答案 (1)B (2)C
解析 (1)选项A 中的集合M 表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N 表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M 与N 不是同一个集合．选项C 中的集合M 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点组成的集合，集合N 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点的纵坐标组成的集合，即N ＝{y |x ＋y ＝1}＝R ，故集合M 与N 不是同一个集合．选项D 中的集合M 有两个元素，而集合N 只含有一个元素，故集合M 与N 不是同一个集合．对选项B ，由集合元素的无序性，可知M ，N 表示同一个集合． (2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫
0，b
a
，b ，a ≠0，
所以a ＋b ＝0，得b
a
＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.
探究提高 (1)用描述法表示集合时要把握元素的特征，分清点集、数集；(2)要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最容易被忽视，因此要对计算结果进行检验，防止所得结果违背集合中元素的互异性．
若集合A ＝{x |ax 2
－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________.
答案 0或9
8
解析 ∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素． 当a ＝0时，x ＝2
3
符合要求．
当a ≠0时，Δ＝(－3)2
－4a ×2＝0，∴a ＝98.故a ＝0或98.
题型二 集合间的基本关系
例2 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．
思维启迪：若B ⊆A ，则B ＝∅或B ≠∅，要分两种情况讨论． 解 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．
则⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1
，解得2<m ≤4.
综上，m 的取值范围为m ≤4.
探究提高 (1)集合中元素的互异性，可以作为解题的依据和突破口；(2)对于数集关系问题，往往利用数轴进行分析；(3)对含参数的方程或不等式求解，要对参数进行分类
讨论．
已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
答案 4
解析由log2x≤2，得0<x≤4，
即A＝{x|0<x≤4}，
而B＝(－∞，a)，
由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.
题型三集合的基本运算
例3 设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁U A)∩B＝∅，则m的值是________．
思维启迪：本题中的集合A，B均是一元二次方程的解集，其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m，需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据(∁U A)∩B＝∅对集合A，B的关系进行转化．
答案1或2
解析A＝{－2，－1}，由(∁U A)∩B＝∅，得B⊆A，
∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两
式不能同时成立，∴B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，
由这两式得m＝2.
经检验知m＝1和m＝2符合条件．
∴m＝1或2.
探究提高本题的主要难点有两个：一是集合A，B之间关系的确定；二是对集合B中方程的分类求解．集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过Venn图进行直观的分析不难找出来，如A∪B＝A⇔B⊆A，(∁U A)∩B＝∅⇔B⊆A 等，在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法．
设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．
(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；
(2)若(∁R A)∩B＝B，求实数a的取值范围．
解 (1)∵A ＝{x |1
2≤x ≤3}，
当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}，
∴A ∩B ＝{x |1
2≤x <2}，A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}．
(2)∁R A ＝{x |x <1
2
或x >3}，
当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅. ①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；
②当B ≠∅，即a <0时，B ＝{x |－－a <x <－a }， 要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－1
4≤a <0.
综上可得，实数a 的取值范围是a ≥－1
4.
题型四 集合中的新定义问题
例4 (2011·广东)设S 是整数集Z 的非空子集，如果∀a ，b ∈S ，有ab ∈S ，则称S 关于数
的乘法是封闭的．若T ，V 是Z 的两个不相交的非空子集，T ∪V ＝Z ，且∀a ，b ，c ∈T ，有abc ∈T ；∀x ，y ，z ∈V ，有xyz ∈V ，则下列结论恒成立的是
( )
A ．T ，V 中至少有一个关于乘法是封闭的
B ．T ，V 中至多有一个关于乘法是封闭的
C ．T ，V 中有且只有一个关于乘法是封闭的
D ．T ，V 中每一个关于乘法都是封闭的
思维启迪：本题是一道新定义问题试题，较为抽象，题意难以理解，但若“以退为进”，取一些特殊的数集代入检验，即可解决． 答案 A
解析 不妨设1∈T ，则对于∀a ，b ∈T ，∵∀a ，b ，c ∈T ，都有abc ∈T ，不妨令c ＝1，则ab ∈T ，故T 关于乘法是封闭的，故T 、V 中至少有一个关于乘法是封闭的；若T 为偶数集，V 为奇数集，则它们符合题意，且均是关于乘法是封闭的，从而B 、C 错误；若T 为非负整数集，V 为负整数集，显然T 、V 是Z 的两个不相交的非空子集，T ∪V ＝Z ，且∀a ，b ，c ∈T ，有abc ∈T ，∀x ，y ，z ∈V ，有xyz ∈V ，但是对于∀x ，y ∈V ，有xy >0，
xy ∉V ，D 错误．故选A.
探究提高 本题旨在考查我们接受和处理新信息的能力，解题时要充分理解题目的含义，进行全面分析，灵活处理．
已知集合S ＝{0,1,2,3,4,5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x －1
∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4个元
素的子集共有________个． 答案 6
解析 由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0,1,2,3}，{0,1,3,4}，{0,1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{2,3,4,5}，这样的集合共有6个．
对集合中的元素特征认识不明致误
典例：(5分)(2012·课标全国)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，
则B 中所含元素的个数为
( )
A ．3
B ．6
C ．8
D ．10
易错分析 本题属于创新型的概念理解题，准确地理解集合B 是解决本题的关键，该题解题过程易出错的原因有两个，一是误以为集合B 中的元素(x ，y )不是有序数对，而是无序的两个数值；二是对于集合B 的元素的性质中的“x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A ”，只关注“x ∈A ，y ∈A ”，而忽视“x －y ∈A ”的限制条件导致错解．
解析 ∵B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，A ＝{1,2,3,4,5}，∴x ＝2，y ＝1；x ＝3，
y ＝1,2；x ＝4，y ＝1,2,3；x ＝5，y ＝1,2,3,4.
∴B ＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴B 中所含元素的个数为10. 答案 D
温馨提醒 判断集合中元素的性质时要注意两个方面：一是要注意集合中代表元素的字母符号，区分x 、y 、(x ，y )；二是准确把握元素所具有的性质特征，如集合{x |y ＝f (x )}表示函数y ＝f (x )的定义域，{y |y ＝f (x )}表示函数y ＝f (x )的值域，{(x ，y )|y ＝f (x )}表示函数y ＝f (x )图像上的点．
遗忘空集致误
典例：(5分)若集合P ＝{x |x 2
＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，则由a 的可取值组
成的集合为__________．
易错分析 从集合的关系看，S ⊆P ，则S ＝∅或S ≠∅，易遗忘S ＝∅的情况． 解析 (1)P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ； 当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1
a
，
为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1
a
＝2，
即a ＝13或a ＝－12
.
故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
0，13，－12.
答案 ⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
0，13，－12
温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略对空集的讨论，如S ＝∅时，a ＝0；二是易忽略对字母的讨论．如－1
a
可以为－3
或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.
方法与技巧
1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．
2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．
3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图．这是数形结合思想的又一体现． 失误与防范
1．空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系． 3．解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
4．Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．
5．要注意A ⊆B 、A ∩B ＝A 、A ∪B ＝B 、∁U A ⊇∁U B 、A ∩(∁U B )＝∅这五个关系式的等价性．
A 组 专项基础训练
(时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1． 2012·广东)设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，则∁U M 等于
( ) A ．U B ．{1,3,5} C ．{3,5,6} D ．{2,4,6}
答案 C
解析 ∵U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，∴∁U M ＝{3,5,6}．
2． (2011·课标全国)已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
答案 B
解析 ∵M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，∴M ∩N ＝{1,3}． ∴M ∩N 的子集共有22
＝4个．
3． (2012·山东)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )
A ．{1,2,4}
B ．{2,3,4}
C ．{0,2,4}
D ．{0,2,3,4}
答案 C
解析 ∵∁U A ＝{0,4}，B ＝{2,4}，∴(∁U A )∪B ＝{0,2,4}． 4． 已知集合M ＝{x |
x
x －1≥0，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3x 2
＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于 ( ) A ．∅
B ．{x |x ≥1}
C ．{x |x >1}
D ．{x |x ≥1或x <0}
答案 C
解析 由x
x －1≥0，得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ≠1，
x x －1 ≥0，
∴x >1或x ≤0，∴M ＝{x |x >1或x ≤0}，N ＝{y |y ≥1}，
M ∩N ＝{x |x >1}．
二、填空题(每小题5分，共15分)
5． 已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2
－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝__________.
答案 －1或2
解析 由a 2
－a ＋1＝3，得a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2
－a ＋1＝a ，得a ＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a ＝－1或2.
6． 已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B
＝__________.
答案 {(0,1)，(－1,2)}
解析 A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．
7． (2012·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝
(－1，n )，则m ＝________，n ＝________. 答案 －1 1
解析 A ＝{x |－5<x <1}，因为A ∩B ＝{x |－1<x <n }，
B ＝{x |(x －m )(x －2)<0}，所以m ＝－1，n ＝1.
三、解答题(共22分)
8． (10分)已知集合A ＝{x |x 2
－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2
－2mx ＋m 2
－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．
(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围． 解 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，
B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．
(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨
⎪
⎧
m －2＝0，m ＋2≥3.
∴m ＝2.
(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，∵A ⊆∁R B ， ∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3.
9． (12分)设符号@是数集A 中的一种运算：如果对于任意的x ，y ∈A ，都有x @y ＝xy ∈A ，
则称运算@对集合A 是封闭的．设A ＝{x |x ＝m ＋2n ，m 、n ∈Z }，判断A 对通常的实数的乘法运算是否封闭？
解 设x ＝m 1＋2n 1，y ＝m 2＋2n 2，那么xy ＝(m 1＋2n 1)×(m 2＋2n 2)＝(m 1n 2＋m 2n 1)2＋m 1m 2＋2n 1n 2.
令m ＝m 1m 2＋2n 1n 2，n ＝m 1n 2＋m 2n 1，则xy ＝m ＋2n ， 由于m 1，n 1，m 2，n 2∈R ，所以m ，n ∈R . 故A 对通常的实数的乘法运算是封闭的．
B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)
一、选择题(每小题5分，共15分)
1． (2012·湖北)已知集合A ＝{x |x 2
－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条
件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案 D
解析 用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数．由x 2
－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．
由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
2． (2011·安徽)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的
集合S 的个数是
( )
A ．57
B ．56
C ．49
D ．8 答案 B
解析 由S ⊆A 知S 是A 的子集，又∵A ＝{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件S ⊆A 的S 共有26
＝64(种)可能．又∵S ∩B ≠∅，B ＝{4,5,6,7,8}，∴S 中必含4,5,6中至少一个元素，而在满足S ⊆A 的所有子集S 中，不含4,5,6的子集共有23＝8(种)，∴满足题意的集合S 的可能个数为64－8＝56.
3． 若集合A 具有以下性质：
(Ⅰ)0∈A,1∈A ；
(Ⅱ)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1x
∈A . 则称集合A 是“好集”．下列命题正确的个数是
( )
(1)集合B ＝{－1,0,1}是“好集”；
(2)有理数集Q 是“好集”； (3)设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A .
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案 C
解析 (1)集合B 不是“好集”，假设集合B 是“好集”，因为－1∈B,1∈B ，所以－1－1＝－2∈B ，这与－2∉B 矛盾．
(2)有理数集Q 是“好集”，因为0∈Q,1∈Q ，对任意的x ∈Q ，y ∈Q ，有x －y ∈Q ，且x ≠0
时，1x
∈Q ，所以有理数集Q 是“好集”．(3)因为集合A 是“好集”，所以0∈A ，若x ∈A ，y ∈A ，则0－y ∈A ，即－y ∈A ，所以x －(－y )∈A ，即x ＋y ∈A .
二、填空题(每小题5分，共15分)
4． (2012·陕西改编)集合M ＝{x |lg x >0}，N ＝{x |x 2
≤4}，则M ∩N ＝____________.
答案 (1,2]
解析 M ＝{x |lg x >0}＝{x |x >1}， N ＝{x |x 2≤4}＝{x |－2≤x ≤2}，
∴M ∩N ＝{x |1<x ≤2}．
5． 已知M ＝{(x ，y )|y －3x －2
＝a ＋1}，N ＝{(x ，y )|(a 2－1)x ＋(a －1)y ＝15}，若M ∩N ＝∅，则a 的值为____________．
答案 1，－1，52
，－4 解析 集合M 表示挖去点(2,3)的直线，集合N 表示一条直线，因此由M ∩N ＝∅知，点
(2,3)在集合N 所表示的直线上或两直线平行，由此求得a 的值为1，－1，52
，－4. 6． 设A ＝{x ||x |≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }，若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是__________．
答案 (－∞，－3)
解析 A ＝{x |－3≤x ≤3}，B ＝{y |y ≤t }，
由A ∩B ＝∅知，t <－3.
三、解答题
7． (13分)已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)>0}，B ＝{y |y ＝12x 2－x ＋52
，0≤x ≤3}． (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；
(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A )∩B .
解 A ＝{y |y <a 或y >a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．
(1)当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋1≥4，a ≤2， ∴3≤a ≤2或a ≤－ 3.
(2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0，
依题意Δ＝a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2.∴a 的最小值为－2.
当a ＝－2时，A ＝{y |y <－2或y >5}．
∴∁R A ＝{y |－2≤y ≤5}，∴(∁R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}．。