材料力学(资料例题)

材料力学
（一）轴向拉伸与压缩
【内容提要】
材料力学主要研究构件在外力作用下的变形、受力与破坏、失效的规律。

为设计既安全可靠又经济合理的构件，提供有关强度、刚度与稳定性分析的基本理论与方法。

【重点、难点】
重点考察基本概念，掌握截面法求轴力、作轴力图的方法，截面上应力的计算。

【内容讲解】
一、基本概念
强度——构件在外力作用下，抵抗破坏的能力，以保证在规定的使用条件下，不会发生意外的断裂或显著塑性变形。

刚度——构件在外力作用下，抵抗变形的能力，以保证在规定的使用条件下不会产生过分的变形。

稳定性——构件在外力作用下，保持原有平衡形式的能力，以保证在规定的使用条件下，不会产生失稳现象。

杆件——一个方向的尺寸远大于其它两个方向的尺寸的构件，称为杆件或简称杆。

根据轴线与横截面的特征，杆件可分为直杆与曲杆，等截面杆与变截面杆。

二、材料力学的基本假设
工程实际中的构件所用的材料多种多样，为便于理论分析，根据它们的主要性质对其作如下假设。

(一)连续性假设——假设在构件所占有的空间内均毫无空隙地充满了物质，即认为是密实的。

这样，构件内的一些几何量，力学量(如应力、位移)均可用坐标的连续函数表示，并可采用无限小的数学分析方法。

(二)均匀性假设——很设材料的力学性能与其在构件中的位置无关。

按此假设通过试样所测得的材料性能，可用于构件内的任何部位(包括单元体)。

(三)各向同性假设——沿各个方向均具有相同力学性能。

具有该性质的材料，称为各向同性材料。

综上所述，在材料力学中，一般将实际材料构件，看作是连续、均匀和各向同性的可变形固体。

三、外力内力与截面法
(一)外力对于所研究的对象来说，其它构件和物体作用于其上的力均为外力，例如载荷与约束力。

外力可分为：表面力与体积力；分布力与集中力；静载荷与动载荷等。

当构件(杆件)承受一般载荷作用时，可将载荷向三个坐标平面(三个平面均通过杆的轴线，其中两个平面为形心主惯性平面)内分解，使之变为两个平面载荷和一个扭转力偶作用情况。

在小变形的情况下，三个坐标平面内的力互相独立，即一个坐标平面的载荷只引起这一坐标平面内的内力分量，而不会引起另一坐标平面内的内力分量。

此即小变形条件的叠加法。

(二)内力与截面法
内力在外力作用下，构件发生变形，同时，构件内部相连各部分之间产生相互作用力，由于外力作用，构件内部相连两部分之间的相互作用力，称为内力。

截面法将构件假想地截(切)开以显示内力，并由平衡条件建立内力与部分外力间的关系或由部分外力确定内力的方法，称为截面法。

由连续性假设可知，内力是作用在切开面截面上的连续分布力。

称连续分布内力。

将连续分布内力向横截面的形心C简化，得主矢与主矩。

为了分析内力，沿截面轴线建立轴，在所切横截面内建立轴和轴，并将主矢与主矩沿x、y、z三轴分解，得内力分量，以及内力偶矩分量。

这些内力及内力偶矩分量与作用在保留杆段上的部分外力，形成平衡力系，并由相应的平衡方程，建立内力与部分外力间的关系，或由部分外力确定内力。

内力分量及内力偶矩分量，统称为内力分量。

(三)应力正应力与剪应力
为了描述内力的分布情况，引入内力分布集度即应力的概念。

平均应力在截面m—m上任一点K的周围取一微面积△A，设作用于该面积上的内力为△P，则△A内的平均应力：
单元体(微体)围绕某点(如K)．切取一无限小的六面体，称为单元体(或微体)。

为全面研究一点处在不同方位的截面上的应力(称为一点的应力状态)而切取的研究对象之一。

四、轴向拉伸与压缩的力学模型
轴向拉伸与压缩是杆件受力或变形的一种最基本的形式。

受力特征作用于等直杆两端的外力或其合力的作用线沿杆件的轴线，一对大小相等、矢向相反。

变形特征受力后杆件沿其轴向方向均匀伸长(缩短)即杆件任意两横截面沿杆件轴
向方向产生相对的平行移动。

拉压杆以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向受力杆。

作用线沿杆件轴向的载荷，称为轴向载荷
五、轴力轴力图
㈠轴力
拉压杆横截面上的内力，其作用线必是与杆轴重合，称为轴力。

用N_表示。

是拉压杆横截面上唯一的内力分量。

轴力N符号规定拉力为正，压力为负。

根据截面法和轴力N正负号规定，可得计算拉压杆轴力N的法则：横截面上的轴力N，在数值上等于该截面的左侧(或右侧)杆上所有轴向外力的代数和。

无论左侧或右侧杆上，方向背离截面的轴向外力均取正值：反之则取负值。

(二)轴力图
表示沿杆件轴向各横截面上轴力变化规律的图线。

称为轴力图或N图。

以x轴为横坐标平行于杆轴线，表示横截面位置，以N轴为纵坐标，表示相应截面上的轴力值。

六、拉压杆横截上、斜截面上的应力
(一) 拉压杆横截上的应力
(二)拉压杆斜截面上的应力
由拉压杆横截面上的应力均匀分布，可推断斜截面上的应力，也为均匀分布，且其方向必与杆轴平行。

斜截面上
剪应力符号规定：将截面外法线，沿顺时方向旋转900，与该方向同向的剪应力为正。

七、材料拉压时力学性能强度条件
㈠破坏(失效)许用应力
由于脆性材料均匀性较差，且断裂又是突然发生的，其达到极限应力时的危险性要比塑性材料大的多，因此，在普通荷载作用下，比大，一般取 =1.5～2.0；对脆性材料规定取 =2.5～3.0，甚至更大。

㈡强度条件
利用上述条件，可解决以下三类问题。

1．校核强度_
当已知拉压杆所受外力，截面尺寸和许用应力，通过比较工作应力与许用应力大小，以判断该杆在所受外力作用下能否安全工作。

2．选择截面尺寸
若已知拉压杆所受外力和许用应力，由强度条件确定该杆所需截面面积。

对于等截面拉压杆，其所需横截面面积为
3．确定承载能力
若已知拉压杆截面尺寸和许用应力，由强度条件可以确定该杆所能承受的最大轴力，其值为
八、轴向拉压变形轴向拉压应变能
当杆件承受轴向载荷后，其轴向与横向尺寸均发生变化，杆件沿轴向方向的变形称为轴向变形或纵向变形；垂直于轴向方向的变形称为横向变形。

与此同时，杆件因变形而贮存的能量，称为应变能。

(一)轴向变形与胡克定律
试验表明：轴向拉伸时，轴向伸长，横向尺寸减小；轴向压缩时，轴向缩短，横向尺寸增大，即横向线应变与轴向线应变恒为异号。

且在比例极限内，横向线应变与轴向线应变成正比。

比例系数用表示，称为泊松比。

它是一个常数，其值随材料而异，由试验测定。

材料的弹性模量E、泊松比v与剪变模量G之间存在如下关系：
当已知任意两个弹性常数，即可由上式确定第三个弹性常数，可见各向同性材料只有两个独立的弹性常数。

(三)轴向拉压应变能
应变能在外力作用下，杆件发生变形，力在相应的位移上作功，同时在杆内贮存的能量称为应变能。

用W表示外力功，用U表示相应应变能。

在线弹性范围内，在静载荷作用下，杆内应变能等于外力功
轴向拉压应变能：
【例题1】等直杆承受轴向载荷如图，其相应轴力图为（）。

A. (A)
B. (B)
C. (C)
D. (D)
答案:A
【例题5】在相距2m的AB两点之间，水平地悬挂一根直径d=1mm的钢型在中点C逐渐增加荷载P。

设钢丝在断裂前服从虎克定律，E=2x 1O5MPa，在伸长率达到0.5%时拉断，则断裂时钢丝内的应力和C点的位移分别为( )
A．26.5
B. 51
C. 63.6
D. 47.1
答案:B
【例题8】低碳钢拉伸经过冷作硬化后，以下四种指标中得到提高为在（）。

A. 强度极限
B. 比例极限
C. 断面收缩率
D. 伸长率(延伸率)
答案:B
(二）剪切
【内容提要】
本讲主要讲连接件和被连接件的受力分析，区分剪切面与挤压面的区别，剪切和挤压的计算分析，剪力互等定理的意义及剪切虎克定律的应用。

【重点、难点】
本讲的重点是剪切和挤压的受力分析和破坏形式及其实用计算，难点是剪切面和挤压面的区分，挤压面积的计算。

一、实用(假定)计算法的概念
螺栓、销钉、铆钉等工程上常用的连接件及其被连接的构件在连接处的受力与变形一般均较复杂，要精确分析其应力比较困难，同时也不实用，因此，工程上通常采用简化分析方法或称为实用(假定)计算法。

具体是：
1．对连接件的受力与应力分布进行简化假定，从而计算出各相关部分的“名义应力”；2．对同样连接件进行破坏实验，由破坏载荷采用同样的计算方法，确定材料的极限应力。

然后，综合根据上述两方面，建立相应的强度条件，作为连接件设计的依据。

实践表明，只要简化假定合理，又有充分的试验依据，这种简化分析方法是实用可靠的。

二、剪切与剪切强度条件
当作为连接件的铆钉、螺栓、销钉、键等承受一对大小相等、方向相反、作用线互相平行且相距很近的力作用时，当外力过大；其主要破坏形式之一是沿剪切面发生剪切破坏，如图2-1所示的铆钉连接中的铆钉。

因此必须考虑其剪切强度问题。

连接件(铆钉)剪切面上剪应力r：假定剪切面上的剪应力均匀分布。

于是，剪应力与相应剪应力强度条件分别为
（2-1）
（2-2）
式中：为剪切面上内力剪力；为剪切面的面积；[ ]为许用剪应力，其值等于连接件的剪切强度极限除以安全系数。

如上所述，剪切强度极限值，也是按式(2-1)由剪切破坏载荷确定的。

需要注意，正确确定剪切面及相应的剪力。

例如图2-1(a)中铆钉只有一个剪切面，而图2-1(b) 中铆钉则有两个剪切面。

相应的剪力值均为P。

三、挤压与挤压强度条件
在承载的同时，连接件与其所连接的构件在相互直接接触面上发生挤压，因而产生的应力称为挤压应力。

当挤压应力过大时，将导致两者接触面的局部区域产生显著塑性变形，因而影响它们的正常配合工作，连接松动。

为此必须考虑它们的挤压强度问题。

如图2—2所示的铆钉连接中的铆钉与钢板间的挤压。

连接件与其所连接的构件，挤压面上挤压应力。

：假定挤压面上的挤压应力均匀分布。

于是；挤压应力，与相应的挤压强度条件分别为
式中：Pc为挤压面上总挤压力；Ac为挤压面的面积。

当挤压面为半圆柱形曲面时取垂直挤压力方向直径投影面积。

如图2—2所示的取Ac=dt。

[]为许用挤压应力其值等于挤压极限应力除以安全系数。

在实用（假定）计算中的许用剪应力[]、
许用挤压应力[ ]，与许用拉应力[]之间关系有：对于钢材
[ ]=（0.75～0.80）[ ]
[]=（1.70～2.00）[]
四、纯剪切与剪应力互等定理
(一) 纯剪切：若单元体上只有剪应力而无正应力作用，称为纯剪切。

如图2-3(a)所示，是单元体受力最基本、最简单的形式之一。

在剪应力作用下．相邻棱边所夹直角的改变量．称为剪应变，用表示，其单位为rad。

如图2-3(b)所示。

(二)剪应力互等定理：在互相垂直的两个平面上，垂直于两平面交线的剪应力，总是大小相等，而方向则均指向或离开该交线(图2-3)，即
证明：设单元体边长分别为，单元体顶、底面剪应力为，左、右侧面的
剪应力为(图2-4a)则由平衡方程
得
同理可证，当有正应力作用时(图2-3b)，剪应力互等定理仍然成立
五、剪切胡克定律
试验表明，在弹性范围内，剪应力不超过材料的剪应力比例极限，剪应力与剪应变成正比，即
式中G称为材料的剪变模量。

上述关系称为剪切胡克定律。

试验表明，对于各向同性材料，材料的三个弹性常数，有下列关系
上述关系式同样可从纯剪切时应力、应变关系中导得。

所以，当知道任意两个弹性常数后，由上式可以确定第三个弹性常数。

即E、G、v间只有两个独立常数。

【例题1】如图所示圆截面杆件，承受轴向拉力P作用，设拉杆的直径为d，端部墩头的直径为D，厚度为，已知许用应力[ ]=120MPa，许用剪应力[]=90MPa，许用挤压应力[]=240MPa。

试根据强度方面要求，则D，d，三者间的合理比值为（）。

A．1：1：
1 B.1:1.223:0.335 C.1.223:1:0.335 D:0.335:1:1.223
答案:C
【例题2】如图所示光圆钢筋，一端置于混凝土中，另一端外伸端施加一拉力P。

(称钢筋与混凝土之间抗拔力试验)。

已知钢筋的直径d=14mm，埋置长度=300mm, P=20kN，则钢筋与混凝土接触面间平均剪应力为。

A. B. C.
D.
答案:D
【例题3】一外径为250mm，壁厚为lOmm的钢管柱，底部垫置直径为d 的圆钢板，立于混凝土底座上(如图所示)。

已知混凝土的许用挤压应力为15MPa，钢的许用挤压应力为150 MPa，管柱能够承受的最大荷载P及所需钢板的最小直径d分别为。

A.1000310
B.1130310
C.1200310
D. 1200300
答案:B
【例题4】矩形截面的钢板拉伸试件，如图所示。

为了使拉力P通过试件的轴线，在试件两端部，开有圆孔，孔内插入销钉，作用于试件设试件与销钉的材料相同,其许用剪应力[ ]=1OOMPa，许用挤压应力[]c=300MPa，许用拉应力[]=170MPa，试件拉伸时的强度极限=400MPa，为了使试件仅在中部被拉断，则该试件端部，所需尺寸
的大小为( )。

(试件中部横截面尺寸为20mm．5mm)．
A.16 40 70
B.27 40 70
C.27 40 74 C.16 40 80
答案:C
【例题5】如图所示铆钉连接，已知铆钉的直径d=20mm，许用剪应力[]=130MPa，许用挤压应力=300MPa，钢板的许用拉应力[ ]=170MPa，则该连接的许可荷载[P]为( )。

A.180
B. 238
C. 245
D. 306
答案:A
【例题6】如图所示对接式螺栓连接，主板厚=10mm，盖板厚=6mm，板宽均为
=250mm，已知螺栓直径d=20mm，许用剪应力[]=130MPa，设用挤压应力
300MPa，钢板的许用拉应力[]=170MPa，承受轴向拉力P=300kN，螺栓排列每列最多为二个，则该连接每边所需要的螺栓个数最少为( )。

A.3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个
答案:C
【例题7】如图所示一横截面边长为200mm的正方形混凝土柱，竖立在边长=1m的正方形混凝土基础板上。

柱顶上作用轴向压力P=100kN，设地基对混凝土板的支承压力为均匀分布，混凝土的许用抗剪应力[]=1.5MPa，则柱不会穿过混凝土板，板应有的最小厚度为( )。

A.70
B. 75
C. 80
D. 8 5
答案:C
【例题8】如图所所示摇臂，承受P1和P2作用。

已知载荷P1=50kN，轴销D材料的许用
剪应力[]=100MPa，许用挤压应力[ ]=240MPa，则轴销的最小直径d为( )。

A. 14
B. 15
C. 16
D.
17
答案:B
【例题9】一钢杆，直径为15mm，长度为5m，用直径为15mm的螺栓连接，固定在两墙之间。

(没有任何初应力)，如图所示，已知钢的，E=200GPa，若螺栓内产生的剪应力=60MPa时的温差△T0℃为（）。

A．30℃ B.40℃ C.50℃ D.60℃
答案:C
(三) 扭转
【内容提要】
扭转是杆件的又一种基本变形形式，本节主要学习杆件发生扭转时的受力和变形特点，熟悉传动轴的外力偶矩计算，掌握求扭矩和作扭矩图的方法。

掌握横截面上剪应力分布
规律和剪应力计算，了解斜截面上的应力计算，掌握剪应力强度条件的应用。

熟悉圆截面极惯性矩，抗扭截面系数计算公式的应用。

熟悉圆截面杆扭转角的计算和刚度条件的应用，了解受扭圆杆应变能的计算。

【重点、难点】
求扭矩和作扭矩图的方法，横截面上剪应力分布规律和剪应力计算，剪应力强度条件。

【内容讲解】
一、扭转的概念
受力特征：杆两端承受一对力偶矩相等．转向相反作用面与杆轴线相垂直的外力偶作用。

变形特征：杆件各横截面绕轴线作相对旋转。

截面间轴线的相对角位移，称为扭转角，用表示。

杆件表面上的纵向线同时倾斜了一个角，即剪应变。

以扭转变形为主要变形的直杆，简称为轴。

二、传动轴外力偶矩
传动轴所传递的功率、转速与外力偶矩之间关系
式中P为传递功率，常用单位为kW(千瓦)，为转速，常用单位为r／min(转每分)，T为外力偶矩，常用单位为N•m(牛•米)。

三、扭矩扭矩图
扭矩:受扭杆件横截面上产生的内力，是一个在横截面平面内的力偶，其力偶矩称为扭矩，用表示。

扭矩正负号规定扭矩以右手法则表示扭矩矢量方向，若该矢量方向与截面外向法线方向一致时为正，反之为负。

扭矩计算应用截面法和扭矩正负号的规定，可直接根据横截面左侧(或右侧)杆上作用的外力
偶矩，计算该横截面上的扭矩法则：某横截面上的扭矩，在数值上等于该截面的左侧(或右侧)杆上所有外力偶矩的代数和，外力偶矩矢量方向(按右手法则离开该横截面的均取正值，反之取负值。

扭矩图表示沿杆轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。

以横坐标轴表示横截面的位置．纵坐标表示相应横截面上扭矩。

根据平面假设，应用几何、物理与静力学三方面，可建立圆截面轴扭转剪应力，变形公式。

四、圆轴扭转剪应力与强度条件
(一)横截面上的剪应力
1．剪应力分布规律横截面上任一点的剪应力，其值与该点到圆心的距离成正比，方向垂直于该点所在的半径。

剪应力沿截面半径线性变化。

如下图所示。

2．剪应力计算公式横截面上距圆心为的任一点处剪应力。

横截面上最大剪应力，发生在横截面边缘各点处( )，其值为
上列两式中：为所要求剪应力的点所在横截面上的扭矩，称为截面的极惯性矩，
称为抗扭截面系数。

、是仅与横截面尺寸有关的几何量，分别为实心圆截面。

(直径为d)
空心圆截面(外径为D．内径为；
(二)圆轴扭转强度条件
为了保证圆轴扭转工作时，不致因强度不够而破坏，最大剪应力不得超过材料的扭转许用剪应力[]，即要求，强度条件：
对于等截面圆轴
式中[]为扭转(纯剪切)许用剪应力，其值与许用应力[ ]之间存在下述关系：对于塑性材料．﹝0.5～0.577﹞[]
对于脆性材料，﹝0.8～1.0﹞
式中，代表许用拉应力。

由上述强度条件，可对受扭圆轴进行强度校核、截面设计以及许可载荷的确定等三类问题的计算。

五、圆轴扭转变形与刚度条件
(一)圆轴扭转变形
单位长度的扭转角，即扭转角沿轴线的变化率．
对于在长度范围内，均为常量，则扭转角
上式表明，扭转角与扭矩轴长成正比，与成反比。

乘积表示圆轴抵抗扭转弹性变形的能力，称为圆轴抗扭刚度。

（二）圆轴扭转刚度条件
刚度条件圆轴扭转最大单位长度扭转角不得超过某一规定的迕用值[ ]。

即
对于等截面均质圆轴
上式中，[]代表单位长度许用扭转角。

对于一般传动轴，[]为～对于精密机器与仪表的轴，[]值可根据有关设计标准或规范确定。

六、扭转应变能
圆轴因扭转变形而贮存的能量，称为扭转应变能，用表示，其数值上等于外
力偶矩在相应的扭转角位移上所作之功。

在线弹性范围内扭矩与扭转角成正比。

于是，得扭转应变能
上式表明，应变能是扭矩的二次函数。

单位体积应变能，称为比能．用表示。

圆轴扭转单元体处于纯剪状态，在线弹性范围内，剪应力与剪应变成正比，于是比能
【小结】本节推导公式的理论基础是剪力互等定律和剪切虎克定律，其扭转剪应力和变
形的公式仅适用于圆形截面的构件，计算的基本公式是扭转剪应力公式：，
扭转变形公式：及其强度条件：，刚度条件=。

(四) 截面的几何性质
【内容提要】
本节主要了解静矩和形心、极惯性矩和惯性积的概念，熟悉简单图形静矩、形心、惯性矩和惯性积的计算，掌握其计算公式。

掌握惯性矩和惯性积平行移轴公式的应用，熟练掌握有一对称轴的组合截面惯性矩的计算方法。

准确理解形心主轴和形心主惯性矩的概念，熟悉常见组合截面形心主惯性矩的计算步骤。

【重点、难点】
重点掌握平行移轴公式的应用，形心主轴概念的理解和有一对称轴的组合截面惯性矩的计算步骤和方法
一、静矩与形心
(一)定义
设任意截面如图4-1所示，其面积为A，为截面所在平面内的任意直角坐标系。

c 为截面形心，其坐标为，。

则
截面对z轴的静矩
截面对轴的静矩
截面形心的位置
(二)特征
1．静矩是对一定的轴而言的，同一截面对不同轴的静矩值不同。

静矩可能为正，可能为负，也可能为零。

2．静矩的量纲为长度的三次方．即。

单位为或。

3．通过截面形心的坐标称为形心轴。

截面对任一形心轴的静矩为零；反之，若截面对某轴的静矩为零，则该轴必通过截面之形心。

4．若截面有对称轴，则截面对于对称轴的静矩必为零，截面的形心一定在该对称轴上。

5．组合截面(由若干简单截面或标准型材截面所组成)对某一轴的静矩，等于其组成部分对同一轴的静矩之代数和(图4-2)，即
合截面的形心坐标为：
二、惯性矩惯性积
(一)定义
设任意截面如图4-3所示，其面积为A，为截面所在平面内任意直角坐标系。

则
图4-3
截面对轴的惯性矩
截面对y 轴的惯性矩
截面对0点的极惯性矩
截面对轴的惯性积
(二)特征
1．惯性矩是对某一坐标轴而言的．惯性积是对某一对坐标轴而言的，同一截面对不同的坐标轴，其数值不同。

极惯性矩是对点(称为极点)而言的，同一截面对不同的点，其值也不相同。

惯性矩。

极惯性矩恒为正值，而惯性积可能为正，可能为负，也可能为零。

2．惯性矩、惯性积、极惯性矩的量纲均为长度的四次方，即。

，单位为m4或mm4 3．对某一点的极惯性矩恒等于以该点为原点的任一对直角坐标轴的惯性矩之和。

即
4．惯性积是对某一对直角坐标的．若该对坐标中有一轴为截面的对称轴，则截面对这一对坐标轴的惯性积必为零；但截面对某一对坐标轴的惯性积为零，则这对坐标中不一定有截面的对称轴。

5．组合截面对某一轴的惯性矩等于其组成部分对同一轴的惯性矩之和。

即
组合截面对某一对坐标轴的惯性积，等于其组成部分对同一对坐标轴的惯性积之和，即组合截面对某一点的极惯性矩，等于其组成部分对同一点极惯性矩之和，即
三、惯性半径
(一)定义设任意截面，其面积为A，则
截面对z轴的惯件半径
截面对y轴的惯性半径
(二)特征
1．惯性半径是对某一定坐标轴而言的。

2．惯性半径恒为正值。

3．惯性半径的量纲为长度一次方，即L，单位为m 或mm
四、惯性矩和惯性积的平行移轴公式
任意截面，面积为A，形心为C，如图4-3所示。

设z轴与形心轴平行，相距为；
y轴与形心轴平行，相距为，截面对z、y轴的惯性矩、惯性积分别为、
；截面对形心轴、。

的惯性矩，惯性积分别为，有如下结论
惯性矩的平行移轴公式
惯性积的平行移轴公式
分述如下：
截面对于任一轴的惯性矩．等于对其平行形心轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方之乘积。

截面对于任一直角坐标轴的惯性积．等于该截面对于平行形心坐标惯性积加上截面面积与其形心的坐标之乘积。