二建考试必备-建筑结构与设备(7) 杆件的基本变形与组合变形

第二节杆件的基本变形与组合变形
一、轴向拉伸与压缩
1．轴力与轴向变形
轴向拉（压）杆件横截面上的内力只有轴力，轴力可采用截面法求得。

轴力的正负号一般规定为：拉力为正，压力为负。

轴力沿杆轴方向的变化采用轴力图表示。

依据平面假设，轴向拉（压）杆件的变形沿整个横截面是均匀的，因而应力在横截面上也是均匀分布的（图3-8）。

横截面上应力的计算式为：
式中
N 一轴力；
A ―横截面面积。

在弹性变形范围内，轴向拉（压）杆的伸长（缩短）量与杆所受轴力、杆的长度成正比，与杆的抗拉（压）刚度EA 成反比，即
【例3-4】计算图3-9（a）时所示轴向受力杆件的内力，作出内力图，并判断整个杆件的变形是伸长还是缩短。

E A=常数。

在BC段内任一截面处截开，取右侧部分为隔离体（图3-9b ) ，由平衡条件
可得：
同理，在AB 段内任一截面处截开，取右侧部分为隔离体（图3 -9c），由平衡条件
可得
因整个杆件的EA=常数，AB 段的杆长虽为BC 段的一半，但其所受的拉力为BC 段的3 . 5 / 1 . 5 ≈2 . 3 倍，因此AB 段的伸长量大于BC 段的缩短量，整个杆件的变形是伸长的。

2．温度改变的影响
自然界中的物体普遍存在热胀冷缩的现象，杆件结构也是一样。

例如图 3 -10 ( a ）所示的杆件，若其温度升高Δt，因没有多余约束（即为静定），故杆件可以自由地伸缩，并不会产生内力或反力。

在温度改变作用下，杆件的伸长量△l 与杆长l及温度改变量△t 成正比，即：
式中α——材料的线膨胀系数。

对于图3 一10 ( b ）的杆件，若温度升高△t，由于杆件两端固定（即为超静定），阻止了杆件的自由伸缩，这样杆内将产生温度应力。

显然，如果该杆温度升高（△t＞0 ) ，则杆内将产生压力；若温度降低（△t < 0 ），则杆内将产生拉力。

二、剪切
当杆件的某一截面受一对相距很近，方向相反的横向力作用时，杆件在该截面处将发生剪切变形。

例如图3-11所示的螺栓连接件，当钢板受拉力P 作用时，螺栓将在截面m-m处承受剪力，并产生剪切变形。

在实用计算中，通常假设螺栓受剪面上各处的剪应力都相等，即名义剪应力等于受剪面所承受的剪力除以受剪面的面积。

当然，上述连接件除螺栓横截面上承受较大的剪应力外，螺栓和钢板的接触面上还承受较大的挤压应力，钢板的n 一n 截面上还承受较大的拉应力。

三、扭转
1 . 扭矩与扭矩图
当杆件受一对转向相反，作用在垂直于杆轴线的两个平面内的外力偶作用时，杆件将发生扭转变形（图 3 一12 ）。

受扭杆件的内力（扭矩）可采用截面法求得。

扭矩的正负号一般规定为：当扭矩按右手螺旋法则指向横截面外法线时为正，反之为负。

例如图3 -13 ( a ）所示的扭杆，为求AC 段的扭矩，在该段内用截面I-I将杆切开，取截面左侧部分为隔离体（图 3 -13b ) ，由静力平衡方程：
可得：
在CD 、DB 段内用截面将杆切开，利用同样方法可求得这两段的扭矩为
据此可作出扭矩图如图3 -13 （c）所示。

2．圆杆扭转时的应力和变形
圆杆（实心或空心）受扭时，各横截面只发生与其他横截面的相对转动，截面自身的形状、大小都不改变，仍保持为平面。

扭杆横截面上只有剪应力。

圆形扭杆横截面上任一点的剪应力与该点到圆心的距离成正比，方向
垂直于该点与圆心的连线。

因此，整个横截面上的剪应力沿截面半径成三角形分布，如图 3 -14 所示。

四、弯曲
1 ．纯弯梁的应力和变形
当杆件受一对方向相反、作用面位于杆的纵向对称平面内的力偶作用时，杆件将发生弯曲变形（图3 -15a ）。

受弯杆件常简称为梁。

梁发生纯弯时，其横截面上只有弯矩一种内力。

根据平截面假定，梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且仍垂直于挠曲后的梁轴线。

这样，梁横截面上的正应变和正应力都沿截面高度方向成线性分布（图 3 -15b ) ，应力和应变的计算式为
式中y——计算点到截面中性轴的距离；
I——截面对中性轴的惯性矩。

EI——梁的抗弯刚度。

中性轴是梁横截面上正应力和正应变均为零的点所组成的一条直线。

根据梁横截面上正应力合力为零的条件可以得到，中性轴不仅垂直于截面的纵向对称轴，而且通过截面形心。

上述纯弯梁的受力、变形特性以及应力、应变计算式，不仅适用于矩形截面梁，而且也同样适用于所有横截面对称于y 轴的梁，如圆形、工字形和T 形梁等（图 3 -16 ）。

2 ．受横向荷载作用的梁
受横向荷载作用的梁，其横截面上一般同时作用有弯矩和剪力。

这种梁除主要发生弯曲变形外，
其横截面还将产生横向剪切变形。

由弯矩引起的横截面上的正应力的分布及计算式均与纯弯梁时相同，即正应力沿截面高度方向成线性分布；由剪力引起的横截面上的剪应力的分布相对较为复杂。

对于矩形截面梁，横截面上剪应力的大小沿梁高按二次抛物线分布，剪应力在截面的上、下边缘处为零，在中性轴上达到最大值，如图 3 -17 所示。

五、截面图形的几何性质
在进行杆件的弯曲正应力、横向剪应力、扭转剪应力等计算中，要用到截面的惯性矩、极惯性矩、面积矩等物理量，这些量只与截面图形的几何形状、尺寸有关，因此称为截面图形的几何性质。

1．面积矩
平面图形对某一轴的面积矩S ，等于此图形中各微面积与其到该轴距离的乘积的代数和，也等于此图形的面积与此图形的形心到该轴距离的乘积。

平面图形对于任一通过其形心的轴的面积矩为零。

补充：
（1）静矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同坐标轴的静矩不同。

静矩可能为正、为负或为零。

（2）静矩的量纲为[长度]3，单位为m3。

（3）图形对任一形心轴的静矩为零；反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。

（4）若截面图形有对称轴，则图形对于对称轴的静矩必为零，图形的形心一定在此对称轴上。

2.惯性矩
平面图形对某一轴的惯性矩I，等于此图形中各微面积与其到该轴距离平方的乘积之和。

高度为h ，宽度为 b 的矩形截面对其形心轴z（即中性轴）的惯性矩为I z =bh3 / 12；直径为d 的圆形截面对其形心轴的惯性矩为I Z=πd4 / 64 。

对于矩形截面，因其惯性矩与截面高度的立方成正比，因此要提高矩形梁的抗弯刚度，应尽可能增大梁的高度（在保证梁的侧向稳定性的前提下）。

平面图形对于非形心轴的惯性矩可以利用惯性矩的平移公式求得。

平移公式表明：平面图形对任一轴的惯性矩，等于平面图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩，加上平面图形的面积与两轴间距离平方的乘积。

由平移公式可知，在所有互相平行的轴中，平面图形对其形心轴的惯性矩最小。

补充：
设任意形状截面图形的面积为A(图5—5—4)，形心为c ，图形对形心轴y c 、z c 的轴惯性矩分别为
c
c z y I I 、,惯性积为
c
c z
y I ，则图形对平行于形心轴的坐标轴y 、z 的惯性矩和惯性积分别为
【例3 -5】 求图 3 -18 所示 T 形截面对形心轴 z 0的惯性矩。

T 形截面的翼缘和腹板均为矩形。

设这两个矩形的面积分别为 A 1，、A 2，其形心到 z 轴的距离分别为y 1、y 2。

于是整个截面的形心 O 到 z 轴的距离为
截面对形心轴z0的惯性矩为
3 ．惯性积
平面图形对某一对相互垂直（即正交）的坐标轴（如y 、z 轴）的惯性积I yz，等于此图形中各微面积与该微面积的y 、z 坐标值的乘积的代数和。

容易验证，只要y 、z 两轴中有一轴是平面图形的对称轴，则该图形对y 、z 轴的惯性积I yz=0。

4 ．形心主轴和形心主惯性矩
当一对正交坐标轴绕坐标原点发生转动时，平面图形对这两坐标轴的惯性积将随转角的改变而发生连续变化。

这样，必定存在某一方向的一对坐标轴，使得平面图形对它的惯性积等于零，这一对坐标轴称为平面图形的主惯性轴，简称主轴。

平面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩。

当主轴通过平面图形的形心时称为形心主轴，平面图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。

如果平面图形有一个对称轴，则该对称轴与另一通过形心的相互垂直的轴就构成了该图形的形心主轴。

形心主惯性矩是平面图形对通过形心的各坐标轴的惯性矩中的极大值或极小值。

例如图 3 -19 所示的Z 形截面，它对形心主轴z0（强轴）的惯性矩I z0与是对所有过形心的轴的惯性矩中最大的，它对形心主轴y0（弱轴）的惯性矩I y0是对所有过形心的轴的惯性矩中最小的。

六、组合变形的概念
工程实际中，许多构件常处于两种或两种以上基本变形（轴向拉压、剪切、扭转和弯曲）的组合情况下，这种变形情况称为组合变形。

在小变形条件下，组合变形的总应力等于各基本变形的应力的叠加。

1 ．斜弯曲（双向弯曲）
图3 -20 所示的矩形截面檩条，过形心的对称轴为该截面的两个形心主轴。

作用在檩条上的荷载虽通过截面形心，但与两形心主轴都不重合。

此时梁的弯曲一般不会发生在荷载作用面内，这种由与截面形主轴成一角度的外力引起的梁的弯曲，称为斜弯曲（或双向弯曲）
为分析斜弯梁的受力情况，一般先将梁上的荷载沿两个形心主轴方向分解，求出这两组荷载单独作用时的截面内力、应力和变形，再对两组应力和变形进行叠加，就得到了梁在任一截面的总的应力和变形。

例如图3-21 所示的矩形截面悬臂梁，其自由端作用一与截面纵向形心主轴成夹角φ的集中荷载P。

将荷载P 沿y 、z 两个形心主轴方向分解，则有
P y、P z将使梁在xOy和xOz 两个主平面内同时发生弯曲。

P y使截面在z 轴以上部分产生拉应力，z 轴以下部分产生压应力；P z使截面在y 轴以左部分产生拉应力，y 轴以右部分产生压应力。

这样截面上的最大拉应力发生在左上角点1 处，最大压应力发生在右下角点 2 处。

P y、P z还将在横截面上引起剪应力τy、τz，合剪应力是这两个剪应力的几何叠加（矢量和）。

2 拉弯（或压弯）组合
( 1 ）轴向力和横向力联合作用
图3-22 ( a ）所示的矩形截面石柱，同时承受竖向自重和水平侧向荷载的作用。

显然自重将使石柱产生竖向压缩变形，而侧向荷载使石柱产生弯曲变形。

石柱任一截面上的内力有轴力（压力）、弯矩和剪力。

轴力使截面产生均匀的压应力，弯矩使截面左半部分产生压应力，右半部分产生压拉力。

这样整个截面在左侧边缘处压应力最大，而在右侧边缘处压应力最小（图 3 -22b、c）；当然，如果侧向荷载比较大的话，右侧边缘附近的正应力可能转化为拉应力（图3 -22d ）。

( 2 ）偏心压缩（或拉伸）当杆件受到与杆轴线平行但不通过其截面形心的集中压力（或拉力）P 作用时，杆就处于偏心压缩（或偏，合拉伸）的受力状态。

图3-23 ( a ）所示为单向偏心受压的情况。

此时偏心荷载P作用在截面的形心主轴Oy上，即只对形心主轴Oz 有偏心距e。

如果根据力的平移规则将偏心荷载P简化到形心O 上，则可得到一个轴心压力P 和对Oz 轴的力矩m= Pe 。

由截面法可知，该柱的任一横截面上将同时作用有轴向压力N = P 和弯矩M=Pe。

在轴力和弯曲联合作用下横截面上只有正应力，且沿截面高度成线性分布。

对于图 3 -23 的情形，最大压应力将出现在截面的右侧边缘处，而左侧边缘处的压应力最小。

当偏心距
较大时，左侧边缘处也可能出现拉应力。

图3 -23 ( b ）所示为双向偏心受压的情况，此时偏心荷载P 相对于两个形心主轴均有偏心距。

将偏心荷载向形心简化后，利用截面法可以得到，杆件的任一横截面上将同时作用有轴向压力N =P，绕Oy轴的弯矩M z=Pe 和绕Oz轴的弯矩My =Pey 。

3 ．弯扭组合
图3 -24 ( a ）所示为一端固定另一端自由的折杆，自由端 C 处作用一竖向集中荷载P。

取AB 杆进行分析（图3 -24b ) ，此时 B 端的作用力为一竖向集中力P和一力偶m= Pb 。

力偶m 的作用面垂直于AB 杆轴线，故为一扭矩，因此AB 杆属于弯曲和扭转的组合变形情况。

利用截面法可以得到，AB 杆的任一截面上将同时作用有弯矩、扭矩和竖向剪力。

弯矩沿杆轴线性变化，在固定端 A 处最大，而B 处为零；扭矩和剪力均沿杆轴保持不变。

因此，该杆横截面上同时作用有正应力和剪应力。

第三节结构计算简图
结构计算简图的选取，既要反映实际结构的主要性能，又要尽量简化，以便于计算。

计算简图中对结构的简化，一般包括杆件的简化、支座的简化和节点的简化等。

计算简图中，杆件通常用其轴线来表示；支座一般可简化为可动铰支座、固定铰支座、固定支座或定向支座；节点可简化为铰节点、刚节点或者部分刚接、部分铰接的组合节点（图3-25 ）。

【例3 -6】图 3 -26 ( a ）-（ d ）所示的支承情况，可分别简化为哪种支座形式。

图（ a ）所示的支承只能阻止杆端 A 沿竖向（垂直于支承面方向）的移动，沿水平方向的移动和绕 A 点的转动均没有约束，因此该支承可简化为一可动铰支座，它只有一个竖向反力R y，如图（e ）所示。

图（ b ）所示的支承不允许杆端 A 发生任何移动，而只能绕 A 点发生转动，故该支承可简化为一固定铰支座。

这种支座可用水平和竖向两个反力分量R x、R y，来表示，如图（f）所示。

图（c）所示的支承只允许杆端了。

故该支承可简化为一定向支座 A 发生水平移动，，可用竖向反力R , 而竖向移动与转动则被完全约束住和力矩M 来表示，如图（g ）所示。

图（d ）所示的支承不允许杆端 A 发生任何移动和转动，因此可简化为一固定支座；它可用水平和竖向反力Rx 、Ry ，以及反力矩M 来表示，如图（h ）所示。

第四节平面体系的几何组成分析
一、几何不变与几何可变体系
杆件体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料应变的情况下，其位置和几何形状若能保持不变，这样的体系称为几何不变体系；如果在不考虑材料应变的情况下，其位置或形状是可以改变的，这样的体系则称为几何可变体系。

瞬变体系是一种特殊的几何可变体系，它可以沿某一方向产生瞬时的微小运动，但瞬时运动后即转化为几何不变体系。

一般工程结构必须是几何不变体系，而不能采用几何可变（常变或瞬变）体系。

二、几何不变体系的基本组成规则
组成几何不变的平面体系的三个基本规则如下：
1 ．二元体规则在一个刚片上增加或撤去一个二元体，仍为几何不变体系，且没有多余约束（图3 -27a ）。

所谓二元体是指由两根不在同一直线上的链杆连接一个新结点的装置（图3 -27a ）。

2 ．两刚片规则
两个刚片用一个单铰（实铰或虚铰）和一根所在直线不通过该铰铰心的链杆相连，组成几何不变体系，且没有多余约束（图 3 -27b ）。

所谓虚铰（或称瞬铰）是指连接两个刚片的两根链杆在其交点处组成的一个假想铰（图3-27b ) ，它的作用相当于一个单铰。

3 ．三刚片规则
三个刚片用不在同一直线上的三个铰（实铰或虚铰）两两相连，组成几何不变体系，且没有多余约束（图3 -27c）。

上述三个基本组成规则的核心实际上只有一个，即铰接三角形规则。

在平面体系中，铰接三角形（图3-28 ）是一个稳定的平面组成形式。

将铰接三角形中的一根链杆、两根链杆及三根链杆分别替换为一个刚片（即任一几何不变部分）、两个刚片和三个刚片，同时将虚铰的作用与一个单铰同等看待，即可分别得到二元体规则、两刚片规则和三刚片规则。

应当指出，三个基本组成规则中所指的刚片是没有多余约束的刚片。

三、几何组成分析方法
平面体系几何组成分析的依据是三个基本组成规则。

具体分析时，通常采用以下几种方法。

( 1 ）先找出易于观察的几何不变部分作为刚片，并根据找到的刚片数目套用三个基本组成规则（例如找到了两个刚片，则考察它们之间的约束是否满足两刚片规则的要求），由此得到一个扩大的几何不变部分；再将该部分作为一个大的刚片进一步分析，直至分析完整个体系。

该方法通常称为扩大刚片法。

( 2 ）如果体系中存在二元体，可逐个撤除二元体，再对余下的部分进行分析。

这不会改变原体系的几何组成性质。

( 3 ）如果体系本身与基础之间只用三根既不完全平行也不完全交于一点的支座链杆（或一根链杆和一个不过该链杆的铰）相连，则可以将基础及支座链杆撤除，仅对体系本身进行分析。

换句话说，这种体系的几何组成性质仅取决于体系本身。

【例3 -7】分析图3 -29 和图3 -30 所示体系的几何组成。

对于图3 -29 所示的体系，将ABC 作为刚片I，基础作为刚片II ，两刚片通过铰 A 及支座链杆B 相连，根据两刚片规则组成几何不变部分，且无多余约束。

将该部分作为扩大的刚片，它与刚片DEF通过链杆CD及E、F 处的支座链杆相连，三链杆既不完全交于一点，也不完全平行，根据两刚片规则组成几何不变体系。

故原体系为几何不变体系，且没有多余约束。

对于图3 -30 所示的体系，将BE 作为刚片I，EFC 作为刚片II ，基础作为刚片III , 三刚片通过B 、E 、C三铰两两相连；因三铰不共线，故根据三刚片规则组成几何不变部分，且没有多余约束。

将该几何不变部分作为扩大的刚片，并将 A 处两支座链杆归于该刚片（视为增加一个二元体），在此基础上再增加二元体ADE 。

由此可见，体系为几何不变体系，且没有多余约束。

【例3 -8 】分析图3 -31 ( a ）所示体系的几何组成。

该体系本身与基础之间仅用三根既不完全平行也不完全交于一点的支座链杆（即一根链杆和一个不过该链杆的虚铰）相连，故可将基础及支座链杆撤除，仅对体系本身进行分析。

在体系本身中依次撤去二元体ABG 、FCH 和GDE ，得到的剩余部分如图 3 一31 ( b ）所示。

要使该部分成为几何不变，至少需添加三根链杆，如添加链杆AG 、EG 和AE （图中虚线所示），因此该体系缺少3
个约束，为几何可变（常变）体系。

四、静定结构与超静定结构
用作结构的杆件体系，必须是几何不变的。

几何不变体系又可分为无多余约束的和有多余约束的。

对于无多余约束的结构体系，其全部反力和内力均可由静力平衡条件求得，这种结构称为静定结构。

对于有多余约束的结构体系，其全部反力和内力不能仅依靠静力平衡条件求得，这类结构称为超静定结构。

例：
1.如图所示，悬臂柱顶受有力矩M作用，若不考虑柱自重，以下对柱根截面1-1内力和应力的论述中哪项完全正确?
(A)没有轴力，有正应力
(B)有弯矩，没有正应力
(C)有弯矩和剪力，没有正应力
(D)有轴力，有弯矩
【答案】A
【说明】将悬臂柱沿1-1截面截开，取上部为研究对象，由平衡条件，截面上只存在弯矩，没有轴力和剪力，而弯矩也能产生正应力。

2．如图所示平面力系P1、P2汇交在O点，其合力的水平分力和垂直分力分别为Px、Py，试判断以下Px、Py值哪项正确?
【答案】B
3.如图所示工字形截面梁，在y向外力作用下，其截面正应力和剪应力最大值发生在下列何点?（）
(A)1点正应力最大，2点剪应力最大
(B)1点正应力最大，3点剪应力最大
(C)4点正应力最大，2点剪应力最大
(D)4点正应力最大，3点剪应力最大
【答案】C
【说明】对于正应力，距离中性轴越远，应力越大；最大剪应力发生在中性轴上。

4．如图所示，由相同规格的普通热轧槽钢组成的不同形式的组合截面，其组合截面的惯性矩分别为：Ix1、Iy1、Ix2、Iy2、Ix3、Iy3，以下判断哪项正确?
(A) Ix1< Iy1，Ix1= Ix2
(B) Ix1= Ix2，Ix2< Ix3
(C) Ix2< Ix3，Iy1= Iy2
(D Ix2= Ix3，Iy2< Iy3
【答案】D
【说明】根据瞬性矩的定义，三种组合截面对于z轴的惯性矩均相等。

在面积相等的前提下，材料分布越远离轴线，惯性矩越大，所以三种组合截面对于y轴的惯}生矩，有Iy3>Iy2>Iy2。

5．不对称工字钢截面梁的截面形状如图3—13所示，该梁在对中和轴的弯矩作用下，1～5点中，纵向应力绝对值最大的是哪一点?
(A)点1
(B)点2
(C)点4
(D)点5
【答案】D
6.如图所示管道支架承受均布荷载q，A、B、D为铰节点，确定BD杆的内力：
(A)12kN；
(B)12√3kN；
(C)16kN；
(D)16√3kN
【答案】C
【说明】对A点取矩：，得
7.如图所示的一旗杆，受均布风荷载q=0．1kN／m作用，旗杆高为20m，其根部弯矩的正确值为哪项?
(A)10kN·m (B)20kN·m；(C)40kN·m (D)80kN·m
【答案】B。