江西省九江市第三中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

江西省2025届九年级期中综合评估
数学
▶上册◀
说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间120分钟.
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内错选、多选或未选均不得分.
1.若关于的函数是二次函数，则的值为（ ）
A.1
B.2
C.0
D.32.以下是几种化学物质的结构式，其中文字上方的结构式图案属于中心对称图形的是（ ）
A.甲醛
B.
甲烷 C.水 D.乙酸3.已知关于的一元二次方程有一个根为，则另一根为（ ）
A.7
B.3
C.
D.4.如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，则的度数是
（ ）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，将抛物线绕顶点旋转得到新抛物线，再将新抛物线沿轴翻折得到抛物线，则，，的值分别是（ ）
A.2，，11
B.2，，5
C.，，11
D.，8，56.某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口.要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“保”（分别记作点，，，）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，，，如图2所示，则点到的距离为（ ）
图1 图
2
21.124.1~x 31m
y x x =-+m x 2520x x m -+=2-7-3-ABCD O OA OC 86AOC ∠=︒ADC ∠94︒127︒
136︒137︒285y ax x =-+P 180︒x
2
2y x bx c =++a b c 8-8-2-8-2-A B C D BC BC AD ∥E BC 0.6m 2m BC =4m AD =C AD
A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7.一元二次方程的解为______.
8.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______.9.如图，是半圆的直径，，为的中点，连接，，则的度数为______.
10.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何.”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲走了步（步为古代长度单位，类似于现在的米），根据题意可列方程：____________.（结果化为一般式）
11.在平面直角坐标系中，若抛物线向左平移2个单位长度后经过点，则的最大值为______.
12.如图，在矩形中，连接，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，当时，的周长为______三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.（1）解方程：.
（2）如图，将绕点逆时针旋转得到，若，且于点，求的度数.
14.某件夏天T 恤的售价为100元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为81元，求平均每次降价的百分率.
15.自古以来，景德镇就是中国陶瓷文化的象征，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地.
如图，这是景德镇
2m 1.8m 2.4m 1.5m
2
90x -=()2,4-BC O
AB AC =D AC OD BD BDO ∠x ()()2
20y a x c a =-+≠()1,6-ac ABCD AC 1AB =60BAC ∠=︒AB B ()0180a α︒<≤︒BP CP DP 1
2
PCB BAC ∠=∠DPC △()()()2131x x x x +=++ABC △A 28︒AB C ''△40C ∠'=︒AB BC '⊥E BAC ∠
生产的某种瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，.已知，碗深，求的长.
16.如图，是的直径，点，点在上，，，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）.
（1）如图1，在上作一点，使得是以为底边的等腰三角形.
（2）如图2，在上方作一点，使得为等边三角形.
图1
图217.在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴没有交点.（1）求的取值范围.（2）请直接写出抛物线顶点所在的象限.四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点.（1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标.
（2）当时，请利用图象，直接写出的取值范围.
（3）当时，请利用图象，直接写出的取值范围.
19.如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，.
（1）求证：点，，在同一条直线上.
（2）若，，求的面积
.
AB O D AB OD AB C OA OB 18cm AB =6cm CD =OA AB O C D O 60COA ∠=︒OD AB ⊥OD E OCE △OC AB F ABF △214
y x x c =-
++x c 22
2y x xc c c =-+-2
4y x mx =-++()3,4A -m 20x -≤≤y 0y ≤x ABC △135BCA ︒∠=ACB △A 90︒ADE △CD CE B C D 2BC
=AC =CDE △
20.某主播销售一种商品，已知这种商品的成本价为20元/个，规定销售价格不低于成本价，且不高于成本价的2倍，通过前几天的销售发现，该商品每天的销售量（单位：个）与销售价格（单位：元/个）之间满足一次函数关系，部分对应数据如下表：/（元/个） (23252811)
/个…540500440…
（1）求出关于的函数关系式，并直接写出的取值范围.
（2）求销售该商品每天的最大利润.
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.追本溯源
题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并解答题（2）.
（1）如图1，，比较与的长度，并证明你的结论.方法应用
（2）如图2，，是的两条弦，点，分别在，上，连接，，且，是的中点.
①求证：.
②若圆心到的距离为3，的半径是6，求的长.
图1 图2
22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点和点（点在点的
左侧），与轴相交于点，点与点关于轴对称，为该抛物线上一点，连接，，，.
（1）求该抛物线的解析式.
（2）若的面积与的面积相等，请直接写出点的横坐标.
y x x y y x x AD BC = AB CD
MB MD O A C MB
MD AB CD AB CD =M AC BM DM =O DM O DM 25y x bx =-++x A ()5,0B A B y C D A y E AC CD DE BE BDE △ACD △E
（3）当点在第一象限时，连接，设的面积为，求的最大值.
六、解答题（本大题共12分）
23.综合与实践
如图，是等边内一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接.
初步感知
（1）如图1，的延长线与交于点，求的度数.
特例应用
（2）如图2，作点关于的对称点，若点在的角平分线上.
①当点与点重合时，的长为______；
②当点与点不重合时，判断四边形的形状，并证明.
拓展延伸
（3）如图2，在（2）的条件下，取的中点，记为，当点从点运动到点时，请直接写出点运动的路径长.
图1图
2
E CE ECD △S S P ABC △2AB =CP CP C 60︒CE AE BP AE Q AQB ∠E AC
F P ABC △BD P F BP P F BPEF FP
G P B D G
江西省2025届九年级期中综合评估
数学参考答案
1.B
2.C
3.A
4.D
5.A 提示：由旋转和翻折可知，，
抛物线的顶点的坐标为.
点关于轴的对称点的坐标为，
最后得到的抛物线的解析式为，
.故选A.
6.B 提示：建立如图所示的平面直角坐标系.
由题意易知点的坐标为，点的坐标为，
则点的坐标为，
故设抛物线的解析式为，
将点的坐标代入上式，得，
抛物线的解析式为.
点的横坐标为2，
点的纵坐标为，
点到的距离为.故选B.
7.8.9.
10.11.9
12.3或或 提示：，，，，，.
如图1，当时，此时.易证得为等边三角形，
的周长为
；2a =8b =-∴2285y x x =-+P ()2,3- ()2,3P -
x ()2,3∴
()222232811y x x x =-+=-+11c ∴=C ()1,0B ()1,0-E ()0,0.6()()11y a x x =+-E 0.6a =-∴()()0.611y x x =-+- D ∴D ()()0.62121 1.8-⨯+⨯-=-∴C AD 1.8m 3x =±()2,4-22.5︒240
200
49x x -=2+3+1AB = 90ABC ∠=︒60BAC ∠=︒1CD ∴=22AC AB ==BC ∴==60α=︒1
302PCB BAC ∠=︒=∠DPC △DPC ∴△33CD =
如图2，当时，此时，，.易证得，，的周长为；
如图3，当时，此时，，，
.
的周长为.
综上所述，的周长为3或或.
图1 图2 图3
13.（1）（解法不唯一）解：，
，，.
（2）解：将绕点逆时针旋转得到.
，.
又，，
.
14.解：设平均每次降价的百分率为.
由题意得，
解得，（舍去）.
答：平均每次降价的百分率为.15.解：是的中点，，.设，则.
在中，由勾股定理得
，120α=︒1302
PCB BAC ∠=︒=
∠30PBC PCB ∴∠=∠=︒1PC BP ∴==DCP BPC ≌△
△DP BC ∴==DPC ∴
△2CD PC DP ++=+180a =︒1302
PCB BAC ∠=︒=∠2PC AC ∴==22AP AB =
=
DP ∴===
DPC ∴
△123CD PC DP ++=+=
+DPC △2
+3+()()()2131x x x x +=++ ()()1230x x x ∴+--=11x ∴=-23x = ABC △A 28︒AB C ''△28BAE ∴∠=︒40C C ∠'=∠=︒AB BC '⊥ 9050EAC C ∴∠=︒-∠=︒285078BAC BAE EAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒x ()2
100181x -=10.110%x ==2 1.9x =10%D
AB OD AB ∴⊥19cm 2
AC BC AB ∴===cm OA r =()6cm OC r =-Rt OAC △222
OC AC OA +=
即，解得，
的长为.16.解：（1）如图1，即所求.
（2）如图2，即所求.
图1 图2
17.解：（1）抛物线与轴没有交点，
，即，解得.
（2）第二象限.
提示：，该抛物线的顶点坐标为.
，
，
点在第二象限.
18.解：（1）把代入，得，解得.
，抛物线的顶点坐标为.（2）当时，的取值范围是.（3）当时，的取值范围是或.
19.解：（1）证明：是由绕点顺时针旋转得到的，，，
，
.()22269r r -+=394
r =OA ∴39cm 4
OCE △ABF △ x 240b ac ∴∆=-<10c +<1c <-()2222y x xc c c x c c =-+-=-- ∴(),c c -1c <- 1c ∴->∴(),c c -()3,4A -2
4y x mx =-++9344m --+=3m =-223253424y x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭
∴325,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
20x -≤≤y 2544
y ≤≤0y ≤x 4x ≤-1x ≥ADE
△ACB △A 90︒ACB ADE ∴≌△△90CAD ∠=︒AC AD ∴=()1180452
ACD ADC CAD ∴∠=∠=︒-∠=︒
又，
，
点，，在同一条直线上.
（2）由（1）可知，，
.
，
.
，
.20.解：（1）设关于的函数关系式为.
将，代入上式.得解得.
（2）设销售该商品每天的利润为元.
由题意得.，，当时，取得最大值，且最大值为4500.答：销售该商品每天的最大利润为4500元.
21.解：（1）.证明：，，，即.（2）①证明：是的中点，.，，，，.②如图，过点作，是垂足，连接
.
135BCA ∠=︒ 13545180BCA ACD ∴∠+∠=︒+︒=︒∴B C D 90CAD ∠=︒AC AD
=6CD ∴===135ADE BCA ︒∠=∠= 90CDE ADE ADC ︒∴∠=∠-∠=2DE BC == 1162622
CDE S CD DE ∴=⋅=⨯⨯=△y x y kx b =+()23,540()25,50023540,25500,k b k b +=⎧⎨+=⎩20,1000,
k b =-⎧⎨=⎩()2010002040y x x ∴=-+≤≤W ()()()22202010002014002000020354500W x x x x x =--+=-+-=--+200-< 203540<<∴35x =W AB CD
=AD BC = AD BC
∴= AD AC BC AC ∴+=+ AB CD
=M AC AM CM
∴=AB CD = AB CD
∴= AB AM CM
CD ∴+=+ BM
DM ∴=BM DM ∴=O ON MD ⊥N OM
在中，，，
22.解：（1）∵抛物线与轴相交于点和点，，解得，
该抛物线的解析式为.
（2
.（3），令，即，
解得，，点的坐标为.
点与点关于轴对称，点的坐标为.
设点的坐标为.
设直线的解析式为.
由点，的坐标可知，解得直线的解析式为.
如图，过点作轴，交于点.
当时，，
点的坐标为，， Rt OMN △3ON =6OM =MN ∴==2DM MN ∴==2
5y x bx =-++x A ()5,0B 25550b ∴-++=4b =∴245y x x =-++245y x x =-++ ∴0y =2450x x -++=11x =-25x =∴A ()1,0- D A y ∴D ()1,0-E ()2,45m m m -++CE y kx t =+()0,5C ()
2,45E m m m -++25,45,t mk t m m =⎧⎨+=-++⎩4,5,
k m t =-+⎧⎨=⎩∴CE ()45y m x =-++D DF y ∥CE F 1x =()459y m m =-++=-+∴F ()1,9m -+9DF m ∴=-
则，当时，
的值最大，且最大值为，故的最大值为.23.解：（1），
，即.
又，，（SAS ），.
，
.
（2
②四边形为平行四边形.
证明：如图1，连接.
图1
在等边中，平分，.
又，关于对称，
，，
，.
在等边中，，，
.
在等边中，，，
，，
，，.
平分，
，
，
，为等边三角形，
()2111981922228
E S D
F x m m m ⎛⎫=⋅⋅=-=--+ ⎪⎝⎭∴92m =S 818
S 818
60ACB PCE ∠=∠=︒ ACB ACP PCE ACP ∴∠-∠=∠-∠BCP ACE ∠=∠BC AC = CP CE =BCP ACE ∴≌△△CBP CAE ∴∠=∠CBP ACB CAE AQB ∠+∠=∠+∠ 60AQB ACB ︒∴∠=∠=BPEF CF ABC △BD ABC ∠BD AC ∴⊥E F AC AF AE ∴=CF CE =AC EF ∴⊥EF BP ∴∥ PCE △60PCE ∠=︒PC CE PE ==CF PC ∴= ABC △AC BC =60ACB ∠=︒ACB PCE ∴∠=∠PCB ACE ∴∠=∠()SAS BCP ACE ∴≌△△CAE CBP ∴∠=∠BP AE =BD ABC ∠30CBP ︒∴∠=30CAE FAC CBP ∴∠=∠=∠=︒60FAE ∴∠=︒AFE ∴△
，.
，，
四边形为平行四边形.
（3
.提示：将图1中与的交点记为.
由（2）易知.
，，，即，
易求得，
，.
如图2，当点从点运动到点时.
图2
，点的运动路径为图2中的长，为的中点，连接，.
，同理可得，是等边三角形.
是的中点，，易求得.AE EF ∴=BP EF ∴=BP EF ∥BP EF =∴BPEF AF BP M BP AF =30FAB ABP ∠=∠=︒ AM BM
∴=BP BM AF AM ∴-=-PM FM =∴30MPF ∠=︒MPF ABP ∴∠=∠PF AB ∴∥P B D PF AB ∥∴G GH H AB DH HF 112
DF AB == 1DH HF ==DFH ∴△G DF 1DH DF ==∴GH =。