北京市顺义区高三数学第一次统练(一模)试题 文

北京市顺义区2016届高三数学第一次统练（一模）试题 文
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项.
1.设i 为虚数单位，则(1)+=i i ( ) （A ） 1-i （B ）1-+i （C ）1--i （D ）1+i
2.已知集合2{|1}=<A x x ，{|21}=<x B x ，则A B =I （ ） （A ）(1,0)- （B ）(1,1)- （C ）(,0]-∞
（D ）(,1)-∞
3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ） （A ）2-=x y （B ）3=+y x x （C ）1
=-
y x
（D ）ln =y x 4.已知点(2,1)-P 为圆22(1)25-+=x y 的弦AB 的中点,则直线AB 的方程为 （ ） （A ）30--=x y
（B ）230+-=x y
（C ）10+-=x y
（D ）250--=x y
5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是 ( ) A. 15 B. 21 C. 24 D. 35
6.已知,∈a b R ，则“2≥ab ”是“2
2
4+≥a b ”成立的 （ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件
（D ）既不充分又不必要条件
7.在平面直角坐标系中，若不等式组10,10,10+-≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
x y x ax y （a 为常数）表示的区域面积等于3，
则a 的值为 （ ） （A ） 5- （B ） 2- （C ）2 （D ）5 8.如图，矩形ABCD 与矩形ADEF 所在的平面互相垂直， 将DEF V 沿FD 翻折，翻折后的点E (记为点P )恰好落在BC 上. 设1=AB ，=FA x (1)>x ，=AD y .
则以下结论正确的是 （ ） （A ）当2=x 时，y 有最小值
433 （B ）当2=x 时，y 有最大值 43
3
（C ）当2=x 时，y 有最小值 2 （D ）当2=x 时，y 有最大值 2
第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9.已知向量(2,1)=r a ，(1,)+=r r
a b k ，若⊥r r a b ，则实数_________.=k
10.抛物线2
8=y x 的准线与双曲线22
:184
-=x y C 的两条渐近线所围成的三角形面积为
_________.
11.在V ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2sin =a b A ，则___________.=B 12.已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆，
根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是
________（单位:2cm ）.
13.国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售.据市场调查预测，某地区今年Q 型电动汽车的的销售将以每月10%的增长率增长；R 型电动汽车的销售将每月递增20辆.已知该地区今年1 月份销售Q 型和R 型车均为50辆，据此推测该地区今年Q 型汽车销售量约为_______辆；这两款车的销售总量约为_______辆.（参考数据：111.1 2.9,≈121.1 3.1,≈ 131.1 3.5≈）
14.设集合3|12⎧⎫+≤≤≤⎨⎬⎩⎭
b a b a 中的最大和最小元素分别是M m 、,则__,=M __=m . 三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）
已知函数2()sin 22cos =-f x x x ，∈x R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在[0,
]2
π
上的最大值与最小值.
16.（本小题满分13分）
某农业科研实验室，对春季昼夜温差大小与某蔬菜种子发芽多少之间的关系进行研究，分别记录了3月1日至3月6日的每天昼夜温差与实验室每天每100粒种子浸泡后的发芽数，得到如下数据： 日 期 3月1日
3月2日
3月3日
3月4日
3月5日
3月6日
昼夜温差()︒C 9 11 13 12 8 10 发芽数（粒）
23
25
30
26
16
24
（Ⅰ）求此种蔬菜种子在这6天的平均发芽率；
（Ⅱ）从3月1日至3月6日这六天中,按照日期顺序从前往后任选2天，记发芽的种子数分别为
,m n ，用(,)m n 的形式列出所有基本事件，并求满足2530
2530≤≤⎧⎨
≤≤⎩
m n 的事件A 的概率. 17.（本小题满分13分 )
已知等差数列{}n a ，23=a ，59=a . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（Ⅱ）令=n a n b c ，其中c 为常数，且0>c ，求数列{}n b 的前n 项和n S .
18.（本小题满分13分）
如图，已知⊥AB 平面ACD ，⊥DE 平面ACD ， V ACD 是等边三角形，22===AD DE AB ， ,F G 分别为,AD DC 的中点. （Ⅰ）求证：⊥CF 平面ABED ； （Ⅱ）求四棱锥-C ABED 的体积；
（Ⅲ）判断直线AG 与平面BCE 的位置关系，并加以证明.
19.（本小题满分14分 )
已知函数2()21=+++x f x xe ax x 在1=-x 处取得极值. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()1=--y f x m 在[2,2]-上恰有两个不同的零点，求实数m 的取值范围.
20.（本小题满分14分 )
已知椭圆:E 22
221x y a b
+=(0)a b >>的一个焦点(2,0)F ，点A 为椭圆上一点.
（Ⅰ） 求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设,M N 为椭圆上两点，若直线AM 的斜率与直线AN 的斜率互为相反数. 求证：直线MN 的斜率为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,V AMN 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值； 若不存在，请说明理由.
顺义区2016届高三第一次统练数学试卷（文科）
参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1. B ；
2. A ；
3. B ；
4. A ；
5. C ；
6. A ；
7. D ；
8. C.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 3； 10.22；11.
6π或 56
π ; 12. 43+π ； 13.1050,2970；14. 5,23 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由已知2
()sin 22cos =-f x x x sin 2cos 212sin(2)14
=--=
--x x x π
【4分】
∴()f x 的最小正周期为π 【6分】
（Ⅱ）02π≤≤Q x ，32444πππ∴-≤-≤x ， 【7分】 ∴当244ππ
-=-x ，即0=x 时， min ()2=-f x 【10分】
当242
ππ-=x ， 即38π
=x 时， max ()21=-f x 【13分】
16.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）这6天的平均发芽率为：
232530261624
100100100100100100100%24%6
+++++
⨯=，
∴这6天的平均发芽率为 24% 【6分】
（Ⅱ）(,)m n 的取值情况有
(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(23,24),(25,30),(25,26),(25,16),(25,24),(30,26),(30,16),(30,24),(26,16),(26,24),(16,24),
事件数为15 【9分】
设2530
2530
≤≤⎧⎨
≤≤⎩m n 为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25,30),(25,26)(30,26)
∴所求概率31
155
=
=P 【13分】
17.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知11
3
49+=⎧⎨
+=⎩a d a d ， 【2分】
解得12,1==d a 【4分】
∴数列{}n a 的通项公式为21=-n a n . 【6分】 （Ⅱ）由（Ⅰ）知21-==n
a n n
b c
c 【7分】
当 1=c 时，1=n b ， ∴.=n S n 【9分】 当 1≠c 时，Q
121
+-+==n n a a n n
b c c b ， ∴{}n b 是1=b c ，公比为2c 的等比数列； 【11分】 ∴22
(1)
1-=
-n n c c S c 【13分】 18.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）Q F 为等腰V ACD 的边AD 的中点，∴⊥CF AD Q ⊥AB 平面ACD ，⊂AB 平面ABED ∴ 平面⊥ACD 平面ABED ，且交线为AD .
由⊂CF 平面ACD ， ⊥CF AD ，∴⊥CF 平面ABED 【4分】 （Ⅱ）Q 1
(21)232
=⋅+⋅=V ABED S ，3=CF ∴1
33
-=
⋅=C ABEF ABEF V S CF 【8分】 （Ⅲ）结论：直线AG ∥平面BCE . 证明： 取CE 的中点H ，连结,GH BH ， Q G 是CD 的中点， ∴GH ∥DE ，且 GH =1
2
DE 由已知⊥AB 平面ACD ，⊥DE 平面ACD ，
∴GH ∥AB ，且GH =1=AB ，∴四边形ABHG 为平行四边形，【11分】
∴AG ∥BH ，又⊄AG 平面BCE ，⊂BH 平面BCE
∴AG ∥平面BCE . 【13分】
19.解：（本小题满分14分）
（Ⅰ）'()22=+++x x
f x e xe ax ，
Q ()f x 在 处取得极值，∴'(1)0-=f ，解得1=a .经检验1=a 适合.【2分】
∴2()21=+++x f x xe x x ，'()(1)(2)=++x f x x e
当(,1)∈-∞-x 时， '()0<f x ，∴()f x 在(,1)-∞-递减；
当(1)∈-+∞x 时， '()0>f x ，∴()f x 在(1,)-+∞递增. 【6分】 （Ⅱ）函数()1=--y f x m 在[2,2]-上恰有两个不同的零点， 等价于220++-=x xe x x m 在[2,2]-上恰有两个不同的实根，
等价于22++=x xe x x m 在[2,2]-上恰有两个不同的实根. 【8分】 令2()2=++x g x xe x x ，∴'()(1)(2)=++x g x x e ，
由（Ⅰ）知()g x 在(,1)-∞-递减； 在(1,)-+∞递增.
()g x 在[2,2]-上的极小值也是最小值；
min 1
()(1)1=-=--g x g e . 【11分】
又22(2),-=-g e
2
(2)82(2)=+>-g e g
∴2121--<≤-m e e ， 即212
(1,]∈---m e e
【14分】
20.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知2=C ，
Q A 在椭圆上， ∴
22
42
1+=a b ， 【2分】 又 2
2
2
=+a b c ，解得2
2
4,8==b a ，∴所求椭圆方程为22
184
+=x y 【4分】 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，直线AM 的斜率为k ，则直线AN 的斜率为-k ，
∴22(2)
18
4⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩y k x x y 消去y
得2222(12)(8)840+--+--=k x k x k
Q 曲线E 与直线l 只有两个公共点，∴0>V ， 【6分】
且
1,2
x是方程的二根，
∴
2
12
84
2
12
--
=
+
k
x
k
，
∴
2
12
42
12
--
=
+
k
x
k
，
∴
2
112
4
(2)
12
-
==
-+
-+
+
k
y k x
k
【7分】
同理
2
22
42
12
+-
=
+
k
x
k
，
2
22
4
12
+
+
=
-k
y
k
∴
21
21
2
-
===
-
MN
y y
k
x x
为定值. 【9分】
( Ⅲ )不妨设过,
M N
的直线方程为：=+
y x m
由
22
2
1
84
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
y x m
x y
，消去y
得2240
+-=
x m，
由0
>
V，解得28
<
m，
12
,
+=
x x2
12
4
=-
x x m
，
计算得：A点到直线MN
的距离=
d
∴
1
||
2
=⋅⋅=
V AMN
S d MN
1
2
==
∴当24,
=
m即2
=±
m
时，
max
()=
AMN
S
V
【14分】。