人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题一(含答案) (48)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等
的判定考试复习题一（含答案)
按要求画图，并解答问题
（1）如图，取BC边的中点D，画射线AD；
（2）分别过点B、C画BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F；
（3）BE和CF的位置关系是；通过度量猜想BE和CF的数量关系是．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）BE∥CF，BE＝CF．
【解析】
【分析】
（1）根据中点的定义和射线的概念作图即可；
（2）根据垂线的概念作图即可得；
（3）根据平行线的判定以及全等三角形的判定与性质进行解答即可得．【详解】
解：（1）如图所示，射线AD即为所求；
（2）如图所示BE、CF即为所求；
（3）由测量知BE∥CF且BE＝CF，
∵BE⊥AD、CF⊥AD，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴BE∥CF，
又∵∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴BE＝CF，
故答案为：BE∥CF，BE＝CF．
【点睛】
本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握中点、射线、垂线的概念、平行线的判定及全等三角形的判定与性质等知识点．
72．已知：如图，∠1＝∠2，AD＝AB，∠AED＝∠C，求证：△ADE≌△ABC．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据AAS证明△ADE≌△ABC．
【详解】
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC，
在△ADE 和△ABC 中，
∵DAE BAC AED C AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ADE ≌△ABC （AAS ）．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定定理AAS ，根据图形的特点选择恰当的判定定理是解题的关键.
73．在△ABC 中，AB 、AC 边的垂直平分线分别交BC 边于点M 、N
（1）如图①，若∠BAC ＝110°，则∠MAN ＝ °，若△AMN 的周长为9，则BC ＝
（2）如图②，若∠BAC ＝135°，求证：BM 2+CN 2＝MN 2；
（3）如图③，∠ABC 的平分线BP 和AC 边的垂直平分线相交于点P ，过点P 作PH 垂直BA 的延长线于点H ．若AB ＝5，CB ＝12，求AH 的长
【答案】（1）40；9；（2）见详解；（3）3.5
【解析】
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质得到AM ＝BM ，NA ＝NC ，根据等腰三角形的性质得到BAM ＝∠B ，∠NAC ＝∠C ，结合图形计算即可；
（2）连接AM 、AN ，仿照（1）的作法得到∠MAN ＝90°
，根据勾股定理
证明结论；
（3）连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E，根据线段垂直平分线的性质得到AP＝CP，根据角平分线的性质得到PH＝PE，证明Rt△APH≌Rt△CPE 得到AH＝CE，证明△BPH≌△BPE，得到BH＝BE，结合图形计算即可．【详解】
解：（1）∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，
∵AB边的垂直平分线交BC边于点M，
∴AM＝BM，
∴∠BAM＝∠B，
同理：NA＝NC，
∴∠NAC＝∠C，
∴∠MAN＝110°﹣（∠BAM+∠NAC）＝40°，
∵△AMN的周长为9，
∴MA+MN+NA＝9，
∴BC＝MB+MN+NC＝MA+MN+NA＝9，
故答案为：40；9；
（2）如图②，连接AM、AN，
∵∠BAC＝135°，
∴∠B+∠C＝45°，
∵点M 在AB 的垂直平分线上，
∴AM ＝BM ，
∴∠BAM ＝∠B ，
同理AN ＝CN ，∠CAN ＝∠C ，
∴∠BAM+∠CAN ＝45°，
∴∠MAN ＝∠BAC ﹣（∠BAM+∠CAN ）＝90°，
∴AM 2+AN 2＝MN 2，
∴BM 2+CN 2＝MN 2；
（3）如图③，连接AP 、CP ，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，
∵BP 平分∠ABC ，PH ⊥BA ，PE ⊥BC ，
∴PH ＝PE ，
∵点P 在AC 的垂直平分线上，
∴AP ＝CP ，
在Rt △APH 和Rt △CPE 中，
PA PC PH PE =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △APH ≌Rt △CPE （HL ），
∴AH ＝CE ，
在△BPH 和△BPE 中，
BHP BEP PBH PBE BP BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△BPH ≌△BPE （AAS ）
∴BH ＝BE ，
∴BC ＝BE+CE ＝BH+CE ＝AB+2AH ，
∴AH ＝（BC ﹣AB ）÷2＝3.5．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
74．如图，点A 、F 、C 、D 在同一条直线上，已知AC ＝DF ，∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，求证：BC ∥EF
【答案】见详解
【解析】
【分析】
由全等三角形的性质SAS 判定△ABC ≌△DEF ，则对应角∠ACB ＝∠DFE ，故证得结论．
【详解】
证明：在△ABC 与△DEF 中，
AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABC ≌△DEF （SAS ），
∴∠ACB ＝∠DFE ，
∴BC ∥EF ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件．
75．已知：如图，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2，AB ＝AD ，求证：BC ＝DE ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
先利用ASA 证明△ABC ≌△ADE ，再根据全等三角形的性质即得结论．
【详解】
证明：∵∠1＝∠2，∴∠DAC +∠1＝∠2+∠DAC
∴∠BAC ＝∠DAE ，
在△ABC 和△ADE 中，
B D AB AD
BAC DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ABC ≌△ADE （ASA ），
∴BC ＝DE ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，属于基础题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答的关键．
76．(l)观察猜想：如图①，点B 、A 、C 在同一条直线上，DB BC ⊥，EC BC ⊥ 且90DAE ︒∠=，AD AE = ，则ADB ∆和EAC ∆是否全等？__________（填是或否），线段,,,AB AC BD CE 之间的数量关系为__________
（2）问题解决：如图②，在Rt ABC ∆中，
90ABC ∠=︒
，AC = ，6AB = ，以AC 为直角边向外作等腰Rt DAC ∆ ，连接BD ，求BD 的长。

（3）拓展延伸：如图③，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒ ,5AB =
,2
AD = ,DC DA =，CG BD ⊥于点G ．求CG 的长．
【答案】（1）是，AB AC BD CE +=+；（2
）BD =（3
）CG =
【解析】
【分析】
（1）根据垂直的定义，直角三角形的性质证得∠D=∠CAE ，即可利用AAS 证明△BAD ≌△CEA ，即可得到答案；
（2）过D 作DE AB ⊥ ，交BA 的延长线于E ，利用勾股定理求出BC ，根据（1）得到ABC DEA ∆∆≌，再利用勾股定理求出BD ；
（3）过D 作DE BC ⊥ 于E ，作DF AB ⊥ 于F ，连接AC ，利用勾股定理求出BC ，证明CED AFD ∆∆≌得到四边形BEFD 是正方形，即可求出CG.
【详解】
（1）∵DB BC ⊥，EC BC ⊥,
∴∠B=∠C=90DAE ︒∠=,
∴∠BAD+∠D=∠BAD+∠CAE=90︒，
∴∠D=∠CAE ，
∵AD AE =,
∴△BAD ≌△CEA ，
∴AB=CE ，BD=AC ，
故答案为：是，AB AC BD CE +=+；
（2）问题解决
如图②，过D 作DE AB ⊥ ，交BA 的延长线于E
，
由（1）得：ABC DEA ∆∆≌ ，
在Rt ABC ∆ 中,由勾股定理得：12BC =
612DE AB AE BC ∴====， ，
Rt BDE 中，18BE BA AE =+= ，
由勾股定理得： BD =
（3）拓展延伸
如图③，过D 作DE BC ⊥ 于E ，作DF AB ⊥ 于F ，连接AC
∵90ABC ADC ∠=∠=︒，DC DA =，2AD =
∴AC=13，
∵5AB =，
∴BC=12，
∵DE BC ⊥,DF AB ⊥,
∴∠DEB=∠DFB=90︒，
∴四边形BEFD 是矩形，
∴∠EDF=90︒，
∴∠EDC=∠ADF,
∴CED AFD ∆∆≌ ，
∴ED=DF,
∴四边形BEFD 是正方形，
∴45CBD ∠=︒，
∴2B C C G ==.
【点睛】
此题是三角形全等的规律探究题，考查三角形全等的判定及性质，勾股定理，根据猜想得到解题的思路是关键，利用该思路解决其他问题.
77．如图，A D ∠=∠，AE DE =，求证：AB CD =．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
根据ASA 证明ABE DCE ∆∆≌即可得到结论.
【详解】
证明：在ABE ∆和DCE ∆中，A D AE DE AEB DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴()ABE DCE ASA ∆∆≌，
∴AB CD =．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键.
78．如图，ABC ∆是等边三角形，E F ，分别是边AB AC ，上的点，且AE CF =，
且CE BF ，交于点P ，且EG BF ⊥，垂足为G ．
(1)求证: ACE CBF
∠=∠;
(2)若1
PG=，求EP的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）2
【解析】
【分析】
（1）证明△ACE≌△CBF（SAS），即可证得结论；
（2）利用由（1）知∠ACE=∠CBF，求出∠BPE=60°，又EG⊥BF，即
∠PGE=90°，得到∠GEP=30°，根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．
【详解】
∵△ABC为等边三角形，
∴AC =BC，∠A=∠BCF=60°，
在△ACE和△CBF中，
AE CF
A BCF
AC BC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ACE≌△CBF（SAS），
∴∠ACE=∠CBF；
（2）由（1）知∠ACE=∠CBF，又∠ACE +∠BCE=∠ACB=60°，
∴∠CBF +∠BCE =60°，
∵∠CBF +∠BCE =∠BPE，
∴∠BPE=60°，
∵EG⊥BF，即∠PGE=90°，
∴∠GEP=30°，
∴在Rt△BCE中，
PE=2PG=2．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、直角三角形的性质，解决本题的关键是证明△ACE≌△CBF．
79．“我们应该讨论一般化、特殊化和类比这些过程本身，他们是获得发现的伟大源泉”——乔治·波利亚．
（1）观察猜想
如图1，在△ABC中，CA=CB，90
ACB︒
∠=．点D在AC上，点E在BC 上，且CD=CE．则BE与AD的数量关系是______，直线BE与直线AD的位置关系是______；
（2）拓展探究
如图2，在△ABC 和△CDE 中，CA=CB ，CD=CE ，90ACB DCE ︒∠=∠=．则BE 与AD 的数量关系怎样？直线BE 与直线AD 的位置关系怎样？请说明理由；
（3）解决问题
如图3，在△ABC 中，CA=CB ，90ACB ︒∠=，BD 是△ABC 的角平分线，点M 是AB 的中点．点P 在射线BD 上，连接PM ，以点M 为中心，将PM 逆时针旋转90°，得到线段MN ，请直接写出点A ，P ，N 在同一条直线上时CPM ∠的值．
【答案】（1） , BE AD BE AD =⊥；（2）BE BC =，理由见解析；（3）
135,45 【解析】
【分析】
（1）利用等量线段相减的关系得到BE=AD ；由直线BE 与直线AD 的夹角90ACB ︒∠=得BE ⊥AD ；
（2）先利用SAS 证明E ACD BC ∆∆≌，由此得到,BE AD CAD CBE =∠=∠，再根据三角形的内角和及对顶角相等的性质得到90AFB ACB ∠=∠=，由此证得BE AD ⊥；
（3）分两种情况，连接CP ，证明△AMN ≌△CMP ，即可求出
∠CPM=∠ANM ，得到答案.
【详解】
（1）,;BE AD BE AD =⊥
∵CA=CB,CD=CE,
∴CA-CD=CB-CE,
∴BE=AD ；
∵直线BE 与直线AD 的夹角90ACB ︒∠=，
∴BE ⊥AD ；
故答案为：BE=AD ，BE AD ⊥；
（2）BE=AD ，BE AD ⊥；
设直线,BE AD 交于点F .
∵90ACB DCE ∠∠==，
DCA ECB ∴∠=∠，
,AC BC CD CE ==.
()ACD BCE SAS ∴∆∆≌.
,BE AD CAD CBE ∴=∠=∠.
CAF AFB CBE ACB ∠+∠=∠+∠,
90AFB ACB ∴∠=∠=.
即BE AD ⊥；
（3）如图①，连接CM ，
∵CA=CB，90
∠=，
ACB︒
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵M是AB的中点，
∴CM=AM=BM,∠AMC=90︒，
由旋转得：MN=MP,∠PMN=90︒，
∴∠AMN=∠CMP,∠MNP=∠MPN=45︒，
∴△AMN≌△CMP，
∴∠CPM=∠ANM=180︒-45︒=135︒；
如图②连接CM，
∵CM=AM，∠AMN=∠CMP，MN=MP，
∴△AMN≌△CMP，
∴∠CPM=∠ANM=45︒.
【点睛】
此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，
等腰直角三角性的判定，是三角形知识部分一道综合题.
80．如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.
（1）当点D在AC上时,如下面图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出结论，不需要证明.
（2）将下面图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°),如下图2,上述关系是否成立？如果成立请说明理由.
【答案】（1）,
=⊥；（2）成立，见解析
BD CE BD CE
【解析】
【分析】
（1）根据SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的性质得出BD=CE，∠ABD=∠EAC，然后在△ABD和△CDF中，由三角形内角和定理可以求得
△CFD=90°，即BD△CE；
（2）根据SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的性质得出BD=CE，∠ABF=∠ECA，作辅助线BH构建对顶角，再根据三角形内角和即可得解.
【详解】
（1）BD=CE，BD⊥CE；理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAD-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE
延长BD交EC于F，如图所示：
由△ABD≌△ACE，得∠ABD=∠EAC
∵∠ADB=∠CDF
∴∠CFD=∠DAB=90°
∴BD⊥CE；
（2）成立；理由如下：
延长BD交AC于F，交CE于H，如图所示：
∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAD-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE 在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE
在△ABF与△HCF中，
∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC
∴∠CHF=∠BAF=90°
∴BD⊥CE
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定与性质以及旋转的性质，熟练掌握，即可解题.。