双曲线综合大题高二数学必修第一册)(解析版)

专题12双曲线综合大题
目录
【题型一】轨迹：交轨法与代入法.................................................................................................1【题型二】常规韦达定理应用.........................................................................................................4【题型三】定点1：直线定点..........................................................................................................6【题型四】定点2：等角定点..........................................................................................................8【题型五】定点3：圆定点............................................................................................................10【题型六】定直线...........................................................................................................................13【题型七】定值...............................................................................................................................16【题型八】面积最值.......................................................................................................................18【题型九】参数最值与范围...........................................................................................................20【题型十】与双曲线有关的应用题...............................................................................................23培优第一阶——基础过关练...........................................................................................................25培优第二阶——能力提升练...........................................................................................................29培优第三阶——培优拔尖练.. (33)
【题型一】轨迹：交轨法与代入法
【典例分析】
已知反比例函数1
y x
=
的图象C 是以x 轴与y 轴为渐近线的等轴双曲线.(1)求双曲线C 的顶点坐标与焦点坐标；
(2)设1A 、2A 为双曲线C 的两个顶点，点
()00,M x y 、()00,N y x 是双曲线C 上不同的两个动点.求直线1A M 与2A N 交点的轨迹E 的方程；【答案】(1)顶点坐标()1,1，()1,1--
，焦点坐标
、((2)()
2221x y x +=≠±【分析】（1）分析可知双曲线C 的顶点和焦点均在=y x 上，联立直线=y x 与双曲线1
y x
=的方程，可求得双曲线C 的顶点坐标，进而可求得该双曲线焦点的坐标；
（2）设点(),P x y ，利用向量共线的坐标表示结合00
1
y x =化简可得出轨迹E 的方程.
（1）
解：因为反比例函数1
y x
=的图象在第一象限和第三象限，
第一、三象限的角平分线所在直线的方程为=y x ，所以，双曲线C 的顶点和焦点均在直线=y x 上，
联立1
=
=y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩可得=1=1x y ⎧⎨⎩或=1=1x y --⎧⎨⎩，故双曲线C 的顶点坐标()1,1、()1,1--.
所以该等轴双曲线的焦距为
4=，
设双曲线C 的焦点坐标为(),
m m
2
=，解得m =，因此，双曲线
C
的焦点坐标为
、(-.
（2）
解：因为点()00,M x y 、()00,N y x 是双曲线C 上不同的两个动点，则01x ≠±且01y ≠±，设交点(),P x y ，11//A M A P ，且()100=1,1A M x y --，()1=1,1A P x y --，所以，()()()()0011=11x y y x ----，①
22//A N A P ，且()2001,1A N y x =++，()21,1A P x y =++，
所以，()()()()001111y y x x ++=++，②因为点()00,M x y 在双曲线C 上，则001y x =，且01x ≠±，将00
1
y x =代入①式化简可得
()01
1=1y x x --
-，③将00
1y x =代入②式化简可得()011y x x +=+，④
③式与④式相乘可得221=1y x --，可得222x y +=，因此，轨迹E 的方程为()22
+=21x y x ≠±.
【变式训练】
1.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点()
2,0M ，AB 边所在直线的方程为36=0x y --，
点()11T -，在AD
边所在直线上．
(1)求AD 边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD 外接圆的方程；
(3)若动圆P 过点()2,0N -，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．【答案】(1)320x y ++=；(2)()2
2
28x y -+=；
(3)(22
122
x y x -=≤.
【分析】（1）根据AD 与AB 垂直可求出斜率，再由点斜式即可求出；
（2）可得M 即为外接圆圆心，根据直线AB 和AD 方程可求出点A 坐标，即可求出半径，得出圆的方程；
（3
）由题可得PM PN =+.
（1）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为
3-，又因为点()11
T -，在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为()131y x -=-+，即320
x y ++=（2）由36=03++2=0x y x y --⎧⎨
⎩，解得点A 的坐标为()0,2-，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为
()2,0M ，所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又
AM =，
从而矩形ABCD 外接圆的方程为()2
228x y -+=；
（3）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M
外切，所以PM PN =+
4
PM PN MN <=-=，故点P 的轨迹是以
M ，N 为焦点，实轴
长为的双曲线的左支，
可设双曲线的方程为()22
2210,0x y a b a b
-=>>，因为实半轴长a =
=2c ，
所以虚半轴长b ==
，从而动圆P 的圆心的轨迹方程为(22
1
22
x y x -=≤．
2..已知曲线C 上任意一点(),P x y 2=.
(1)求曲线C 的方程；
(2)若过点()3,0的直线1l 与曲线C 在y 轴右侧交点为E 、F ，求线段EF 中点G 的轨迹方程.
【答案】(1)22
12
y x -=；(2)()
22
2601x x y x --=≥【分析】（1）结合双曲线定义即可判断；
（2）设点()11,E x y ，()22,F x y ，(),G x y ，得22
2212
1
21,122
y y x x -=-=，两式作差，结合中点
坐标公式、斜率公式有1212203
y y x y y x x x --==--，即可求出G 的轨迹方程（1
）设()1F
，)
2F
2
=，等价于
1212
2PF PF F
F -=<，
∴曲线C 为以1F ，2F 为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为C 的方程为
22
12
y x -=；
（2）设点()11,E x y ，()22,F x y ，(),G x y 则
22
22
12121,122
y y x x -=-=，两式作差得()()()()121
2121202-+-+-=y y y y x x x x ，又G 为线段EF 中点，得12122,2x x y y
x y ++==，则
()()1212121220203
y y x y x x x y y y y x x x -----=⇒==--，即()22
2601x x y x --=≥，
故G 的轨迹方程为()22
2601x x y x --=≥.
【题型二】常规韦达定理应用
【典例分析】
已知点21A （，）在双曲线22
2:102x y C b b
-=>（）
上.(1)求双曲线C 的渐近线方程;
(2)设直线:1l y k x =-（）与双曲线C 交于不同的两点E F ，，
直线AE AF ，分别交直线3x =于
点M N ，.当AMN 时，求k 的值.
【答案】(1)2
2y x =±(2)35-【分析】（1）由双曲线的性质求解，
（2）由,E F 两点坐标表示||MN ，联立直线l 与双曲线方程，由韦达定理化简，再由AMN 列方程求解（1）
将点(2,1)A 代入方程22212x y
b -=，解得21
b =，
所以双曲线C 的方程为2212x y -=，渐近线方程为2
y x =±；
（2）
联立()22
112
y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪
⎩，整理得()2222
124220k x k x k -+--=，由题意2120Δ0k ⎧-≠⎨>⎩，得21k <且2
12k ≠，设点E ，F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，由韦达定理得
22121222422
,2121
k k x x x x k k ++==
--，直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--，令3x =，得
11112y y x -=+-，即1113,12y M x ⎛⎫
-+ ⎪-⎝⎭
，同理
可得2
213,12y N x ⎛⎫
-+ ⎪-⎝⎭，
12221
x x k -==-，
()()
2112
211221
21121122||2222y y x y x y x x y y MN x x x x -----+=-=--+--()()()()()()
12222111
1212112122kx x k x x kx x k x x x x ---+--+--=
--(
)12
21212|1||1|
24
1x x k k x x x x k -=-=-=-
++-所以
AMN
的面积1||122S MN
=
⨯⨯=|1|k =-，
解得1k =或35k =-，又21k <且2
12k ≠，所以k 的值为35
-.
已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为4．点P
在第一象限的双曲线上，过点P 作双曲线切线与直线1
2
x =
交于点Q ．(1)证明：22PF QF ⊥；
(2)已知斜率为2-的直线l 与双曲线左支交于,A B 两点，若直线PA ，PB 的斜率互为相反数，求2PQF 的面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)9
4
【分析】（1）由题知双曲线的标准方程为2
2
13
y x -=，进而设设0000(,),0,0P x y x y >>，在点
P 的切线方程为00()y k x x y =-+，再与双曲线方程联立，结合位置关系得0
3x k y =，进而得
00361,22x Q y ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，再根据向量数量积的坐标表示证明220PF QF ⋅=uuu r uuu r 即可；（2）设001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ，直线l 的方程为2y x t =-+，进而与双曲线方程联立，结合韦达定理与0PA PB k k +=化简整理得00003260x y tx ty +--=，进而得002,3x y ==，此时
结合（1）得1,02Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，()2,3P ，()22,0F ，再计算面积即可.
（1）解：因为双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为1F
，2F ，焦距为4，
所以，2
22
242c c a c b a
=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩
，解得2,1,c a b ===22
13y x -=，
因为过点P 作双曲线切线与直线1
2
x =交于点Q ，故切线的斜率存在，
所以，设0000(,),0,0P x y x y >>，在点P 的切线方程为00()y k x x y =-+，
联立方程0022()13y k x x y y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩
得222222
000000(3)(22)230.
k x k x ky x k x y kx y -+---+-=所以，0∆=，即2222
0000230.k x y kx y k +-+-=①
因为220013
y x =+，代入①式得202006930x k k y y -
++=，解得003.x k y =所以，在点P 的切线方程为0
000
3()x y x x y y =-+，所以点Q 的坐标为22
000
00331,22x y x Q y y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即00361,22x Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为0
20020
633(2,),(,22x PF x y QF y -=--=，
所以220033
330,22
PF QF x x ⋅=--+=所以，22.
PF QF ⊥（2）解：由题，设直线l 的方程为2y x t =-+，与双曲线方程2
2213y x t y x =-+⎧⎪
⎨-=⎪⎩联立得
22430x tx t -+--=，
设001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ，所以2
12124,3
x x t x x t +==+因为直线PA ，PB 的斜率互为相反数，所以0PA PB k k +=，所以，
0102
0102
0.y y y y x x x x --+=--整理得：[]00012012121222()2()4()0.x y x x x t y x x x x t x x --++-+-++=②
将2
12124,3x x t x x t +==+代入②整理得：00003260.x y tx ty +--=③
结合2
2
13y x -=可知002,3x y ==时，③式恒成立，所以，由（1）可知1,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()2,3P ，()22,0F ，所以，2139
3224PQF S =⨯⨯=所以2PQF 的面积94
.
【题型三】定点1：直线定点
【典例分析】
已知双曲线2
2:14
x C y -=．
(1)求双曲线C 的离心率；
(2)若直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于A ，B 两点（A ，B 均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】
(1)e =证明见解析，定点坐标为10,03⎛⎫- ⎪
⎝⎭【分析】（1）直接由双曲线标准方程得到,a c ，代入离心率公式即可.（2）联立双曲线与直线方程，根据以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，得到0AD BD ⋅=，再结合韦达定理即可求得m 与k 的关系，分别验算即可得到结果.
（1）由双曲线的方程可知2a =
，c ==
2c e a ==
．（2）设
()11,A x y ()22,B x y ，由22
14y kx m
x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()()222148410k x mkx m ---+=，
则()(
)
2
222
2140Δ64161410k m k k m ⎧-≠⎪⎨=+-+>⎪⎩
，122814mk
x x k +=-，()
2122
4114m x x k -+=
-()()()22
2
2
121212122
414m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -∴=++=+++=
-，∵以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点()2,0D -，∴0AD BD ⋅=，
∴()121212240y y x x x x ++++=，∴()222222
4141640141414m m k mk k k k -+-++=---，∴22316200m mk k -+=，解得2m k =或10
3
m k =．
当2m k =时，直线l 的方程为()2y k x =+，直线l 过定点()2,0-，与已知矛盾；
当103m k =
时，直线l 的方程为103y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直线l 过定点10,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，经检验符合题意
∴直线l 过定点，定点坐标为10,03⎛⎫- ⎪
⎝⎭．
.在平面直角坐标系中，动点(),M x y 与定点()5,0F 的距离和M 到定直线16
:5
l x =的距离的比是常数
5
4
，设动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设()2,0P ，垂直于x 轴的直线与曲线C 相交于,A B 两点，直线AP 和曲线C 交于另一点D ，求证：直线BD 过定点.
【答案】(1)22
1169
x y -=(2)证明见解析
【分析】（1）依题意由距离公式得到方程，整理即可得到动点的轨迹方程；
（2）设()11,A x y ，()11,B x y -，()22,D x y ，直线AP 方程为2x my =+，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，再表示直线BD 的方程，令0y =求出x 为定值，即可得解.（1）
54=，即2
22
162516(5)5x y x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭
，整理得221169x y -=；
（2）解：设()11,A x y ，()11,B x y -，()22,D x y ，显然直线AP 斜率不为0，设直线AP 方程为
2x my =+，
联立22
11692x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩
，消去x 并整理得()
22
916361080m y my -+-=，
由题设29160m -≠且()
22Δ(36)41089160m m =+⨯->，化简得2
43m >
且2169
m ≠，由韦达定理可得12236916m y y m -+=
-，12
2108
916y y m -=-，直线BD 的方程是()21
1121
y y y y x x x x ++=
--，令0y =得()()()211122121121
12
1212
22x x y y my y my x y x y x x
y y y y y y -++++=
+=
=
+++()1212121212221082222836my y y y y y m m y y y y m
++==⨯+=⨯+=++，所以直线BD 过定点()8,0.
【题型四】定点2：等角定点
【典例分析】
已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>
右焦点F
与点(M 的连线与其
一条渐近线平行.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)经过点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于点A ､B ，试问是否存在一定点P ，使OPA OPB ∠=∠
P 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)22
14y x -=(2)存在，P 【分析】（1）根据题意列出关于a,b 的等式，结合离心率即可求得a,b ，可得双曲线方程；（2）判断出符合题意的点存在，并判断其位于x 轴上；然后进行说明理由，设直线线方程，并联立双曲线方程，得到根与系数的关系，结合OPA OPB ∠=∠可得PA ､PB 的斜率之和为0，列出等式并化简即可求得参数的值，从而说明结论成立.
（1）设(F c ，0)，由条件知FM 的斜率等于b
a -
，
即b a ，
又
c
e a =
=，
2
22c a b =+,2b ∴=，1a =，
∴双曲线C 的方程为：2
2
14
y x -=.（2）存在点P 满足OPA OPB ∠=∠恒成立，且点P 在x 轴上.理由如下:设点(,0)P t ，l
过点
)F ，∴
设直线:l x my =,
由2
214x my y x ⎧=+⎪
⎨-
=⎪⎩,消去x
得
22(41)160m y -++=,264(1)0m ∆=+>,设11(,)A x y ，22(,)
B x y
由韦达定理得12241
y y m +=--，①,12
21641y y m ⋅=-，②OPA OPB ∠=∠，PA ∴､PB 的斜率之和为0，即
12
120y y x t x t +=--
，因为11x my =
22x my =
所以代入整理得：12122)()0my y t y y ⋅++=，③
将①②代入③可得
2
232)
0414
1
m t m m -=-，即81)0m -=,④④式对任意实数m 都成立，t ∴=
5
(
5
P ∴,即存在点
P 满足OPA OPB ∠=∠恒成立，且点P 在x 轴上.已知双曲线C ：()222210,0x y a
b a b -=>>的右焦点为(),0F
c ，离心率为2，直线2
a x c
=与双曲
线C 的一条渐近线交于点P ，且PF (1)求双曲线C 的标准方程；
(2)设Q 为双曲线右支上的一个动点，证明：在x 轴的负半轴上存在定点M ，使得
2QFM QMF ∠=∠．
【答案】(1)2
2
13
y x -=(2)证明见解析
【分析】（1）由双曲线的对称性可取渐近线b
y x a
=
，则可求出交点P 的坐标，
结合PF =与离心率为2，即可列出方程组，即可求出答案；
（2）设()()000,1Q x y x ≥，讨论当90QFM ∠=︒时求出点M ；当90QFM ∠≠°，设出点M ，
由2QFM QMF ∠=∠可知221QM QF QM
k k k -=
-，化简利用恒成立，即可求出点M 的坐标.
（1）根据双曲线的对称性，不妨设直线
2
a x c =
与渐近线b y x a =的交点为P ，由2
a x c
b y x
a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，得2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，因为PF =22203a ab c c c ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23b =，
又离心率为2，所以222224c a b a a +==，故21a =．所以双曲线C 的标准方程为2213
y x -=．
（2）由（1）知双曲线C 的右焦点为()2,0F ．设()()000,1Q x y x ≥，则2
20
13y x -=．
①当02x =时，03y =±．因为290QFM QMF ∠=∠=°，所以45QMF ∠=︒，
所以03MF QF y ===，所以()1,0M -，符合题意．②当02x ≠时，设()(),00M t t <．
00tan 2QF y QFM k x ∠=-=--，00tan QM y
QMF k x t ∠==-，因为2QFM QMF ∠=∠，
所以0
0020
00221y y x t x y x t ⨯--=-⎛⎫- ⎪
-⎝⎭
（结合正切倍角公式）．
（i ）当00y ≠时，上式化简为()222
00034440x y t x t t --+++=，
又2200
13
y x -=，所以2
0(44)340t x t t -++++=，对任意001,2x x ≥≠恒成立.
所以2
(44)0340t t t -+=⎧⎨++=⎩
，解得1t =-，即()1,0M -．（ii ）当00y =，1t =-时，即()1,0M -也能满足2QFM QMF ∠=∠．
综上，在x 轴的负半轴上存在定点()1,0M -，使得2QFM QMF ∠=∠．
【题型五】定点3：圆定点
【典例分析】
已知双曲线22
22:1x y C a b
-=经过点()2,3-，两条渐近线的夹角为60，直线l 交双曲线于,A B 两
点.
(1)求双曲线C 的方程.
(2)若动直线l 经过双曲线的右焦点2F ，是否存在x 轴上的定点(),0M m ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点？若存在，求实数m 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)2
2
13
y x -=(2)存在()1,0M -，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点
【分析】（1
）由渐近线夹角得b a ±=
，结合双曲线所过点可求得22,a b ，由此可
得双曲线方程；
（2）假设存在点(),0M m 满足题意，可知0MA MB ⋅=；假设直线l 方程，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，结合向量数量积的坐标运算可化简整理，根据等式恒成立的求解方法可得m 的值.（1）
两条渐近线的夹角为60，∴
渐近线的斜率b a ±=
，即b
或b =；
当b 时，由22491a b -=得：21a =，2
3b =，∴双曲线C 的方程为：2
213
y x -=；
当b =时，方程22491a b -=无解；综上所述：∴双曲线C 的方程为：2
2
13y x -
=.（2）由题意得：()22,0F ，假设存在定点(),0M m 满足题意，则0MA MB ⋅=恒成立；
方法一：①当直线l 斜率存在时，设():2l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，
由()22=2=13y k x y x ⎧-⎪⎨-⎪⎩
得：()()222234430k x k x k -+-+=，()
2
230Δ=361+>0k k ⎧-≠⎪∴⎨⎪⎩，212243k x x k ∴+=-，2122
43
3
k x x k +=-，()()()()()
2212121212121224MA MB x m x m y y x x m x x m k x x x x ∴⋅=--+=-+++-++()()()()()()2
2222
2
2
2
2121222
43142124433
k
k k k m k x x k m x x k m k k k +++=+-+++=-++--=0，()()()()()222222243142430k k k k m m k k ∴++-+++-=，整理可得：
()()22245330k m m m --+-=，
由22
45=033=0m m m ⎧--⎨-⎩
得：1m =-；∴当1m =-时，0MA MB ⋅=恒成立；②当直线l 斜率不存在时，:2l x =，则()2,3A ，()2,3B -，
当()1,0M -时，()3,3MA =，()3,3MB =-，0MA MB ∴⋅=成立；综上所述：存在()1,0M -，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.方法二：①当直线l 斜率为0时，:0l y =，则()1,0A -，()1,0B ，(),0M m ，()1,0MA m ∴=--，()1,0MB m =-，
210MA MB m ∴⋅=-=，解得：1m =±；
②当直线l 斜率不为0时，设:2l x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
由22=+2=13x ty y x ⎧⎪⎨-⎪⎩
得：()22311290t y ty -++=，()
22310Δ=123+3>0t t ⎧-≠⎪∴⎨⎪⎩，1221231
t y y t ∴+=-
-，122
9
31y y t =-，()()()21212121212MA MB x m x m y y x x m x x m y y ∴⋅=--+=-+++()()()2121212
2222ty ty m ty ty m y y =++-+++++
()()()22
12121244t y y t mt y y m m =++-++-+()()()()2222222
91122121594420313131t t t mt m t m m m t t t +--+=-+-+=+-=---；当12159
31
m -=-，即1m =-时，0MA MB ⋅=成立；综上所述：存在()1,0M -，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点.
设,A B 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左､右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支
交于,M N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形.
(1)求双曲线C 的离心率；
(2)已知4AB =，若直线,AM AN 分别交直线2
a
x =于,P Q 两点，当直线l 的倾斜角变化时，以
PQ 为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)2(2)以PQ 为直径的圆过定点
()4,0或()2,0-【分析】（1）当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，故AF FM =，列出方程，得到220a ac b +-=，求出离心率；
（2）直线l 的斜率存在时，设出直线()4y k x =-，与双曲线联立后得到两根之和，两根之积，求出直线()11:22y AM y x x =
++，得到1131,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理得到2231,2y Q x ⎛⎫
⎪+⎝⎭
，求出以PQ 为直径的圆的圆心和半径，得到以PQ 为直径的圆的方程，求出定点坐标，再验证当直线l 的
斜率不存在时，是否满足.
（1）由已知得：(),0F c ，将x c =代入2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，2b y a
=±，
当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，此时AF FM =，即2b
a c a
+=，整理得：
220a ac b +-=，
因为222b c a =-，所以2220a ac c +-=，方程两边同除以2a 得：220e e +-=，解得：2e =或1-（舍去），
所以双曲线C 的离心率为2
（2）因为4AB =，所以24a =，解得：2a =，故24c a ==，222
16412b c a =-=-=，所
以双曲线方程为22:1
412x y C -=，
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()4y k x =-，与双曲线联立得：
()2
2
223816120k x
k x k -+--=，
设()()1122,,,M x y N x y ，则212283
k x x k +=-，21221612
3k x x k +=-，因为直线l 过右焦点F 且与双曲线
C 的右支交于,M N 两点，
所以12120,0x x x x +>>，解得：23k >，直线()11:22y AM y x x =
++，则1131,2y P x ⎛⎫
⎪+⎝⎭
，同理可求得：2231,2y Q x ⎛⎫
⎪+⎝⎭
，
则
()()()()()
12211
21212123423423312222224k x x k x x y y x x x x x x -++-+⎛⎫+=
⎪+++++⎝⎭()()222212122212122216128322163221633316128248248
33
k k k k x x x x k k k k x x x x k k k ⎡⎤+⋅-⋅-⎢⎥
⎡⎤-+---⎣
⎦⎣⎦===++++⋅+⋅+--，()()()()()()
122112
1212342342332222k x x k x x y y PQ x x x x -+--+=-=
++++()()
()()()12121
2211212
12121
2324832481824
24
k x x x x k x x x x k x x x x x x x x x x +---+---=
=
++++++其中
12
x x -===所以()()1212121824k x x PQ x x x x -=
==+++则以PQ 为直径的圆的圆心坐标为31,k ⎛⎫
⎪⎝⎭
，半径为31k k ，
所以以PQ 为直径的圆的方程为：()(
)
2
2
2
2
9131k x y k k +⎛⎫
-+-= ⎪⎝
⎭，整理得：()22
619y x y k
-+-=，所以以PQ 为直径的圆过定点()4,0，()2,0-，当直线l 的斜率不存在时，此时不妨设()()4,6,4,6M N -，
此时直线:2AM y x =+，点P 坐标为()1,3，同理可得：()1,3Q -，.以PQ 为直径的圆的方程为()2
219x y -+=，点()4,0，()2,0-在此圆上，
综上：以PQ 为直径的圆过定点()4,0，()2,0-.
【题型六】定直线
【典例分析】
设12,F F 是双曲线()2222:10,0x y
C a b a b
-=>>的左､右两个焦点，O 为坐标原点，若点P 在双
曲线C 的右支上，且1122,OP OF PF F ==的面积为3.(1)求双曲线C 的渐近线方程；
(2)若双曲线C 的两顶点分别为()()12,0,,0A a A a -，过点2F 的直线l 与双曲线C 交于M ，
N 两点，试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方
程；若不在，请说明理由.
【答案】
(1)y =(2)存在，在定直线方程1
2
x =上
【分析】（1）由已知条件可得12PF F △为直角三角形,利用双曲线的定义和勾股定理进行计算可得a,b,c ,然后由渐近线公式可得答案.
（2）对直线l 的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，将直线方程与双曲线方程联立，写出直线1A M 和直线2A N 的方程，并联立利用韦达定理求解即可.
（1）由12OP OF ==得2c =，且12
PF PF ⊥所以12122,1
.32
PF PF a PF PF ⎧-=⎪
⎨=⎪⎩()22221212124162PF PF c PF PF PF PF
+===-+即241216a +=解得1,a =
又2224,a b c b +===,
故双曲线的渐近线方程为
b
y x a
=±=.
（2）由（1）可知曲线的方程为22
1
3y x -=.
（i ）当直线l 的斜率不存在时，()()2,3,2,3M N -，直线1A M 的方程为1y x =+，直线2A N 的方程为33y x =-+，联立直线1A M 与直线2A N 的方程可得13,22Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
（ii ）当直线l 的斜率存在时，易得直线l 不和渐近线平行，且斜率不为0，设直线l 的方程
为(
)(()()112220,,,,,y k x k k M x y N x y =-≠≠，联立()22213y k x y x ⎧=-⎪
⎨-=⎪
⎩
得
()2
2
2234430,
k x
k x k -+--=22121222
4430,,33k k x x x x k k +∴∆>+==--∴
直线1A M 的方程为()11
11y y x x =++，直线2A N 的方程为()2
211
y y x x =
--，联立直线1A M 与直线2A N 的方程可得：()()21121111y x x x y x ++=--，两边平方得()()
2
22
2122121111y x x x y x ++⎛⎫
= ⎪-⎝⎭-，又()()1122,,,M x y N x y 满足2
213
y x -=，()
()()()()()
()()()()()()2222
21212112122
2
2
2
12121212
1
23111111
111
1311x x y x x x x x x x x x x x x x y x x
x
-+++++++∴
==
=---++---.
22
22222222222
2434143433394344343133
k k k k k k k k k k k k k k ++++++---===++-+--+--，2119,12x x x +⎛⎫∴=∴= ⎪-⎝⎭，或2x =，（舍去).
综上，Q 在定直线上，且定直线方程为12
x =.【变式训练】
已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>
的一条渐近线方程为y =，一个焦点到该渐近线
(1)求C (2)设A ，B 是直线9x =-上关于x 轴对称的两点，直线()9y k x =+与C 交于M ，N 两点，证明：直线AM 与BN 的交点在定直线上.
海南省海口中学2023届高三上学期9月摸底考试数学试题
【答案】(1)22
1339
x y -=(2)证明见解析
【分析】（1
）根据渐近线方程得到b
a
=
c 222c a b =+求出22
,a b ，写出双曲线方程；
（2）联立直线与双曲线方程，写出两根之和，两根之积，表达出直线AM 与BN 的方程，
联立后求得交点横坐标满足1
3
x =-.
（1）双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±
，所以b a =又焦点(),0c
到直线y =
的距离d =
c 又2
2
2
c a b =+，所以2
3a =，2
39=b ，所以双曲线C 的标准方程为22
1339
x y -=.
（2）证明：联立方程组()221,3399,x y
y k x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩
消去y ，并整理得()()()
2
2
2221318327130130k x
k x k k ---+=-≠.
设()11,M x y ，()22,N x y ，则2
1221813k
x x k +=-，()2122
3271313k x x k +=--.
设()9,A t -，()9,B t --（0t ≠），则得直线AM 的方程为()1199
y t
y t x x --=
++，直线BN 的方程为()2299
y t
y t x x ++=
++，两个方程相减得()21212999y t y t t x x x ⎛⎫
+-=-+ ⎪++⎝⎭
，①因为()()()()2112212121121299189999981
k x t k x t
t x x y t y t x x x x x x x x +++-+++--=-=+++++++，把上式代入①得：()()12121218
29981
x x x x x x x ++=
++++，所以
()()222
212122122
32713182913132911818
3
1813k k k k x x x x x k x x k ⎡⎤+⨯-+⋅⎢⎥--⎢⎥++⎣⎦=
==-+++-，
因此直线AM 与BN 的交点在直线1
3
x =-上.
【题型七】定值
【典例分析】
．已知双曲线C 与双曲线221123
y x -=
有相同的渐近线，且过点1)A -.(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)已知(2,0),,D E F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且0,DE DF DG EF ⋅=⊥于G ，证明：存在定点H ，使||GH 为定值.
【答案】(1)2
214
x y -=(2)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线C 与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线C 的标准方程为224x y λ-=，代入点A 坐标求解.
（2）（i ）当直线EF 斜率存在时，设:EF y kx m =+，与双曲线2
214
x y -=联立，根据且
0,DE DF DG EF ⋅=⊥，结合韦达定理求解；
（ii ）当直线EF 斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE ：2y x =-，同上求解.
（1）解：因为双曲线C 与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线C 的标准方程为22
4x y λ
-=代入点A 坐标，解得4λ=所以双曲线C 的标准方程为2
21
4
x y -=（2）（i ）当直线EF 斜率存在时，设:EF y kx m =+，设
()()
1122,,E x y F x y ，联立y kx m =+与
双曲线2
21
4x y -=，
化简得()()
222418410k x kmx m -+++=，()()
222
Δ(8)444410km m k =-+->，即
22410k m --<，
则有1222
1228414441km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩
，又()()()22
12121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，因为()()1212220DE DF x x y y ⋅=--+=，所以()
()()22
12121240k x x km x x m +⋅+-⋅+++=，
所以()()22
22244812404141
m km
k km m k k +-+⋅+-⋅++=--，化简，得22316200m km k ++=，即
()()31020m k m k ++=，
所以1210
2,3
m k m k =-=-
，且均满足22410k m --<，
当12m k =-时，直线l 的方程为()2y k x =-，直线过定点()2,0，与已知矛盾，当2103m k =-
时，直线l 的方程为103y k x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，过定点10,03⎛⎫
⎪
⎝⎭（ii ）当直线EF 斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE ：2y x =-，与双曲线C 方程联立解得103E F x x ==
，此时EF 也过点10,03M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，综上，直线EF 过定点10,03M ⎛⎫
⎪⎝⎭
.由于DG EF ⊥，所以点G 在以DM 为直径的圆上，H 为该圆圆心，GH 为该圆半径，所以存在定点8,03H ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，使GH 为定值2
3.
【变式训练】
已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>
的离心率为2
，点()6,4A 在C 上.
(1)求双曲线C 的方程.
(2)设过点()10B ,
的直线l 与双曲线C 交于,D E 两点，问在x 轴上是否存在定点P ，使得PD PE ⋅为常数？若存在，求出点P 的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)22
142
x y -=；(2)存在，常数为
10516．【分析】（1）由离心率得出222a b =，再代入已知点坐标求得,a b 得双曲线方程；
（2）设()()1122,,,D x y E x y ，直线l 的方程为(1)y k x =-，代入双曲线方程，消去y 得y 的一
元二次方程，由相交可得k 的范围，由韦达定理得1212,x x x x +，设存在符合条件的定点(),0P t ，计算出PD PE ⋅并代入1212,x x x x +化为关于k 的分式，由它是常数可求得t ，得定点坐标．
（1）因为双曲线C
的离心率为，所以2
2
2612b a ⎛=+ ⎝⎭，化简得22
2a b =.将点()6,4A 的坐标代入22
2221x y b b
-=，可得2218161b b -=，解得22b =，所以C 的方程为
22
142
x y -=.（2）设()()1122,,,D x y E x y ，直线l 的方程为(1)y k x =-，联立方程组()22
1,1,42y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩消去y 得
（1-222)k x 22
4240k x k +--=，
由题可知2
120-≠k 且Δ0>，即2
23k <
且2
12k ≠，所以22121222
424,1212k k x x x x k k ++=-=---.设存在符合条件的定点(),0P t ，则()()1122,,,PD x t y PE x t y =-=-，
所以()()()(
)()22
2
22112121
21PD PE x t x t y y k x x t k
x x t k ⋅=--+=+-++++.
所以()()()(
)()2
22222
2
2
12441212k
k k t k t k k PD PE k +--++++-⋅=
-，
化简得()(
)22222454
21
k t t t PD PE k -+-+-⋅=-+.因为PD PE ⋅为常数，所以2
22454
21
t
t t -+--=
-，解得134
t =
.此时该常数的值为2
105
416
t -=
，所以，在x 轴上存在点13,04P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，使得PD PE ⋅为常数，该常数为10516.
【题型八】面积最值
【典例分析】
已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点与它的左、右两个焦点1F ，2F
的距离之和为它的离心率与双曲线222x y -=
的离心率互为倒数．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点），1AF 的延长线与椭圆交于点B ，AO 的延长线与椭圆交于点C ．
①当直线AB 的斜率存在时，求证：直线AB 与BC 的斜率之积为定值；②求△ABC 面积的最大值，并求此时直线AB 的方程．
【答案】(1)2
212
x y +=(2)
10x +=．
【分析】（1）根据双曲线与椭圆的离心率，结合椭圆的定义求解即可；
（2）①设()(),,,A A B B A x y B x y ，BA 的方程为(1)y k x =+，再联立椭圆的方程，利用韦达定理表达AB BC k k 化简即可；
②同①，根据弦长公式结合点到线的距离公式，代入韦达定理化简可得ABC S 的表达式，结合k 的范围求解面积范围即可.
（1
）由椭圆的定义知2a =，双曲线
222x y -=
，故椭圆22221x y a b +=
的离心率2
e =
，故a 1c =，1b =，故椭圆的方程为2212x y +=．
（2）①证明：设()(),,,A A B B A x y B x y ，则(),A A C x y --．
设直线BA 的方程为(1)y k x =+，联立方程22
(1)12
y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩化简得，()
2222
214220k x k x k +++-=，∴22421
A B k x x k +=-+，
()22242
222121A B A B k y y k x x k k k k k ⎛⎫+=++=-+= ⎪++⎝⎭
，
∴222142
B A AB BC
B A y y k k k k x x k +=⋅==-+-；
②当直线AB 的斜率不存在时，可知22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，1,2B ⎛-- ⎪⎝⎭
，21,2C ⎛- ⎝⎭
，故ABC
S =当直线AB 的斜率存在时，由①知，22421A B k x x k +=-+，2222
21
A B k x x k -=+，
A B x x ∴-
=
2
21
k =，A B AB x ∴
-2
21
k =+，点C 到直线AB 的距离
d ==故
211
221ABC
S k ⎛⎫=⋅
⎪ ⎪+⎝⎭
△=
=<故△ABC AB 的方程为10x +=．
椭圆22468x y +=上有两点()8,A A y 和(),4T T
x -，0,0A T y x ><．点A 关于椭圆中心O 的对称点为点B ，点(),2P t t -()0t ≠在椭圆内部，1F 是椭圆的左焦点，2F 是椭圆的右焦点．(1)若点P 在直线AT 上，求点P 坐标；
(2)是否存在一个点P ，满足21PF PF -=，若满足求出点P 坐标，若不存在请说明理由；(3)设AOP 的面积为1S ，BTP 的面积为2S
，求
1
2
S S 的取值范围．【答案】(1)612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)不存在，理由见解析；(3)170,6⎛⎫
⎪
⎝⎭
【分析】（1）先求得A T 、两点坐标，进而可得直线AT 的方程，将点坐标代入该方程，解之即可求得点P 坐标；
（2）假设存在符合条件21PF PF -=P ，列方程去求点P 坐标，再以点(),2P t t -在椭圆内部去判别是否存在；
（3）先求得12S S 的表达式()f t ，再去求()f t 的值域，进而求得1
2
S S 的取值范围．（1）由点
()
8,A A y 和点
(),4T T x -()
0,0A T y x ><在椭圆22
468x y +=上
可得()8,1A ，()2,4T --，则直线AT 方程为132
y x =-，又点(),2P t t -()0t ≠在直线AT 上，则1232
t t -=-，解之得65t =
，则612,5
5P ⎛⎫- ⎪
⎝⎭（2）椭圆22468x y +=
的两焦点
(
))12
0,0
F F 假设存在一个点P
，满足
21PF PF -=则点P
一定在双曲线(22
213x y x b
-=≤的左半支上，由2251a b +=
，可得
(22
1348
x y x -=≤又(),2P t t -()0t ≠，则22
41,2348
t t t -=∴=±，又因为点P 在椭圆内部，
所以()224268t t +-<，得()()
2,00,2t ∈-所以满足条件的点P 不存在．
（3）两点()8,1A 、()8,1B --和()2,4T --在椭圆
22468x y +=上，点(),2P t t -()0t ≠在椭圆内部，
()()2,00,2t ∈-则直线OA 的方程为80x y -=，点(),2P t t -到直线OA 的距离
d =
=则AOP S =
△111
17222
S OA d t =
⋅==，同理直线BT 的方程为2100x y ++=，点(),2P t t -到直线BT 的距离
d '=
=
则BTP S =△230911
3092222t t S BT d --'=⋅==令()()()1217,2,00,2309t S f t t S t
=
=∈--，则()()()1217,0,230917,2,0309t
t S t
f t t S t t ⎧∈⎪⎪-==⎨-⎪∈-⎪-⎩
由02t <<，可得3015t >，3096t ->，1717
03069t <<-，即171703096
t t <<-由20t -<<，可得3015t <-，30924t -<-，1717
030249t
-<<-，即1717030924t t -<
<-综上，()f t 的取值范围为170,6⎛⎫ ⎪⎝⎭则12S S 的取值范围为170,6⎛⎫
⎪
⎝⎭
【题型九】参数最值与范围
【典例分析】
设A ，B 为双曲线C ：22
221x y a b
-=()00a b >>，的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲
线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．(1)求双曲线C 的离心率；
(2)已知4AB =，若直线AM ，AN 分别交直线1x =于P ，Q 两点，若()0D t ，
为x 轴上一动点，当直线l 的倾斜角变化时，若PDQ ∠为锐角，求t 的取值范围．
【答案】(1)2；(2)
{2t t <-或}4t >【分析】（1）当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，故AF FM =，列出方程，得到220a ac b +-=，求出离心率；
（2）直线l 的斜率存在时，设出直线()4y k x =-，与双曲线联立后得到两根之和，两根之
积，求出直线()11:22y AM y x x =
++，得到1131,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理得到2231,2y Q x ⎛⎫
⎪+⎝⎭
，由PDQ ∠为锐角可得到0DP DQ ⋅>，代入数据可得答案；再验证当直线l 的斜率不存在时，求出点P
()1,3，()1,3Q -，同样利用0DP DQ ⋅>求解即可
（1）由双曲线C ：22
221x y a b -=()00a b >>，可得：右焦点(),0F c ，将x c =代入
22
22:1(0,0)
x y C a b a b -=>>中，
2b y a =±，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，此时AF FM =，
即2
b a
c a
+=，整理得：220a ac b +-=，因为222b c a =-，所以2220a ac c +-=，
方程两边同除以2a 得：220e e +-=，解得：2e =或1-（舍去），所以双曲线C 的离心率为2
（2）因为24AB a ==，所以2a =，因为2c
e a
==，解得4c =，故22212b c a =-=，
所以双曲线的方程为22
1412
x y -=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()4y k x =-，
与双曲线联立得：()
2
2
2
2
3816120k
x k x k -+--=，设()()1122,,,M x y N x y ，则2
12283
k x x k +=-，
212216123
k x x k +=-，
则()()()2
2
1212121244416y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦222
221612321633k k k k k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭
2
2
363k k -=-，因为直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于,M N 两点，
所以22121222
81612
4,433k k x x x x k k ++=>=>--，解得：23k >，直线()11:22y AM y x x =
++，则1131,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可求得：2231,2y Q x ⎛⎫
⎪+⎝⎭
，所以11,213y D x P t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，22,213y D x Q t ⎪+⎛⎫
=- ⎝⎭
，因为PDQ ∠为锐角，所以
()()122
2119220
2D y y x Q t x P D t ⋅=+-+>++，
即()1122122109224y y x x x t x t +-+++>+，所以2
2
2222
212036931612164
33
k k k k t k t k -⨯-++--+++>-所以21290t t +-->即()2
19t ->，解得2t <-或4t >；
当直线l 的斜率不存在时，将4x =代入双曲线可得6y =±，此时不妨设()()4,6,4,6M N -，此时直线:2AM y x =+，点P 坐标为()1,3，同理可得：()1,3Q -，所以()1,3DP t =-，
()1,3DQ t =--，
因为PDQ ∠为锐角，所以2280DP DQ t t ⋅=-->，解得2t <-或4t >；综上所述，t 的取值范围{2t t <-或}4t >【变式训练】
已知双曲线22
221(00)x y C a b a b
-=>>：，的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双
曲线的右支交于P Q ，两点，且当l 垂直于x 轴时，6PQ =；(1)求双曲线的方程；
(2)过点F 且垂直于l 的直线'l 与双曲线交于M N ，两点，求MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围．【答案】(1)2
2
13
y x -=(2)(]
,12-∞-【分析】（1）根据通径2
26b PQ a
==，直接求得23b a =，再结合离心率为2即可求双曲线
的方程；
（2）通过对MP NQ MQ NP ⋅⋅+转化为()
2FP FQ MF NF ⋅+⋅，从而简化计算，利用韦达定理
求解即可.
（1）依题意，2c a =，当l 垂直于x 轴时，2
26b PQ a ==，即23b a =，即22
3c a a -=，
解得1a =
，b =，因此22
13
y x -=；
（2）设:2PQ l x my =+，联立双曲线方程22
13y x -=，得：()22311290m y my -++=，
当0m =时，()()()()2,3,2,3,0,1,0,1P Q M N --，12MP NQ MQ NP ⋅+⋅=-，当0m ≠时，设()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ，因为直线PQ 与双曲线右支相交，因此1229
031y y m =
<-
，即,033m ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，同理
可得2
342
93m y y m =-，
依题意()()
MP NQ MF FP NF FQ MF NF FP FQ =+⋅+=⋅+⋅⋅，同理可得，
()()
MQ NP MF FQ NF FP MF NF FP FQ =+⋅+⋅=⋅+⋅，而()212342
111FP FQ MF NF m y y y y m
⎛
⎫
⋅+⋅=+++ ⎪⎝⎭
，代入122931y y m =-，2
34293m y y m =-，
()()()
()()
()2
2224222
42229191181636331
33103
133m m m m m FP FQ MF NF m m m m m m ++-+++⋅+⋅=
+
=
=-
---+--，
分离参数得，2
42
9663103m FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=---+
，因为,033m ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当210,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由2
2110,3m m ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭
，()2296
6,61310FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=-∈-∞-⎛⎫+- ⎪⎝
⎭，所以()
()2,12MP NQ MQ N FP FQ MF NF P ⋅=⋅+⋅∈∞-⋅-+，
综上可知，MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围为(],12-∞-.
【题型十】与双曲线有关的应用题
【典例分析】
某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如图所示，A ，B 两个信号源相距10米，O 是AB 的中点，过点O 的直线l 与直线AB 的夹角为45°，机器猫在直线l 上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足接收到点A 的信号比接收到点B 的信号晚一秒（注：信号每秒传播0v 米）．在0t 时，测得机器鼠距离点O 为4米
.
(1)以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系(如图)，求0t 时机器鼠所在位置的坐标；(2)游戏设定：机器鼠在距离直线l 不超过1.5米的区域运动:时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
【答案】(1)()4,0(2)机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险
【分析】（1）设机器鼠位置为点P ，结合双曲线的定义求得P 点的轨迹方程，从而求得0t 时机器鼠所在位置的坐标.
（2）先求得与y x =平行的P 点轨迹对应图象的切线方程，结合两平行线间的距离公式作出判断.（1）
设机器鼠位置为点P ，由题意，()5,0A -，()5,0B ，
由题意可得000
8
PA PB v v v -=，即810PA PB -=<，可得点P 的轨迹以A ，B 为焦点，实轴长为8，焦距为10的双曲线的右支，则点P 的轨迹方程为C ：()22
14169
x y x -=≥，。