广东省汕头市2009年普通高校招生高三数学模拟考试(理)

汕头市200９年普通高校招生模拟考试
高三理科数学试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 5 页，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答选择题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
3．考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分． 4．考试结束后，监考员将选择题的答题卡和非选择题的答题卷都收回，试卷由考生自己保管． 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P =．
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中恰好
发生k 次的概率为k
n k k n n p p C k P --=)1()(．
第一部分 选择题
一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑．
1．定义{}|A B x x A x B -=∈∉且，若{}{},2,3,4,5,2,3,6M N ==1，则N M -=
（ ）
A ．{}6
B ．{},4,51
C ．M
D ．N
2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为（ ）
A ．x 2－y 2=1
B ．x 2－y 2=2
C ．x 2－y 2=2
D ．x 2－y 2=2
1 3．记等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若18,263==S S ，则5
10
S S 等于（ ） A ．3- B ．5 C ．31- D ．33 4．在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ②若平面βαβα平面内任意一条直线，则平面平面////m ；
③若平面βαβα平面则直线直线内的直线平面的交线为与平面⊥⊥n m n m ,,；
④若平面α内的三点A 、B 、C 到平面β的距离相等，则βα//.
其中正确命题的个数为（ ）个。

A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
5．从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分别到四个不同的工厂调查，不同的分派方法有（ ）
A ．100种
B ．400种
C ．480种
D ．2400种 6．在113)23(x x ⋅-⋅的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p ，则
⎰=1
0dx x p （ ） A ．1 B ．76
C ．67
D ．
13
11 7．已知ABC ∆的外接圆半径为R ，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且
(
)(
)
,sin 2sin sin 222B b a C A R -=-那么角C 的大小为（ ）
A ．
43π ; B ．4π ; C ．3π; D ．2π 8．在可行域内任取一点，规则如流程图所示，
则能输出数对（x ，y ）的概率为（ ）
A ．4
1 B ．2
π
C ．4
π
D ．
8
π
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和
选做题两部分.
（一）必做题：第9、10、11、12题是必做题，每道试题考生都必须作答． 9．命题p ：x ∀∈R ， f(x)≥m ．则命题p 的否定p ⌝是： ． 10．为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区5月份至7月份使用疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三个月本地区平均每月注射了疫苗的鸡的数量为 万只．
11．已知cos 0()(1)10x x f x f x x π->⎧⎪=⎨++≤⎪⎩
，则)34()34(-+f f 的值等于： ．
12．若与复数
i
i 2332+-对应的向量为1OZ ，与复数i 31+对应的向量为2OZ ，则1
OZ 与2OZ 的夹角等于： ．
（二）选做题：第13、14、15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题的得分．
13．（坐标系与参数方程选做题）两直线sin()2008,sin()200944
ππ
ρθρθ+=-=的
位置关系是：___________________(判断垂直或平行或斜交)。

14．（不等式选讲选做题）若不等式1
51x a x
+
>-+对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是___________________. 15．（几何证明选讲选做题）如图，⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于P ，M 为DC 延长线上一点，MN 为⊙O 的切线，N 为切点，若AP=8,PB=6,PD=4,MC=6,则MN 的长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．（本小题满分12分） 已知函数x x x f cos 4
1
sin 43)(-=
． （1）若135cos -
=x ，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈ππ,2x ，求函数)(x f 的值； （2）将函数f(x)的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，
若0<m<π,试求m 的值。

17．（本小题满分12分） 在等比数列{a n }中，)(0*N n a n ∈>，公比)1,0(∈q ，且252825351=++a a a a a a ，a 3与a 5的等比中项为2。

（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设n n a b 2l og =，数列{b n }的前n 项和为S n ，当
n
S S S n +++ 212
1最大时，求n 的值。

18．（本小题满分14分）
某电台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个题目，回答正确得20分，回答不正确得－10分，总得分不少于30分即可过关。

如果一位挑战者回答前两题正确的概率都是
54，回答第三题正确的概率为5
3
，且各题回答正确与否相互之间没有影响。

记这位挑战者回答这三个问题的总得分为ξ。

（1） 这位挑战者过关的概率有多大？ （2） 求ξ的概率分布和数学期望。

19．（本小题满分14分）
已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b
y a x C 的离心率为33
，直线l ：02=+-y x 与以
原点为圆心，以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切。

（1）求椭圆C 1的方程；
（2）设椭圆C 1的左焦点为F 1，右焦点F 2，直线1l 过点F 1且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直直线1l 于点P ，线段PF 2的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹C 2的方程。

（3）若)2,(1x A 、),(22y x B 、),(00y x C 是C 2上不同的点，且BC AB ⊥，求y 0的
取值范围。

20．（本小题满分14分）
如图，已知BCD ∆中，︒=∠90BCD ，1==CD BC ，AB ⊥平面BCD ，
︒=∠60ADB ，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且
)10(<<==λλAD
AF
AC AE ． （1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；
（2）若平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的大小为︒60，求λ的值。

21．（本小题满分14分）
设函数x
x x x f ++-=1)
1ln()( ．
（1）令)1ln(1)1()(2x x x N ++-+=，判断并证明)(x N 在（-1，+∞）上的单调性，求)0(N ；
（2）求)(x f 在定义域上的最小值；
（3）是否存在实数m 、n 满足n m <≤0，使得)(x f 在区间],[n m 上的值域也为],[n m ？
汕头市200９年普通高校招生模拟考试
A
B D
C
E
F
理科数学参考答案及评分标准
前两题得分，共30分.
9．R x ∈∃, f(x)＜m ； 10．90 ； 11．3 ；12．︒150 ； 13．垂直； 14．64<<a
； 15．332 。

解答提示：
2．解：设等轴双曲线为x 2－y 2=a 2（a>0）， ∵焦点到渐近线距离为2，∴a=2。

3．解：∵18,263==S S
∴1≠q
∴
9133
6
=+=q S S ∴2=q
∴
33155
10
=+=q S S ． 4．解：只有命题②正确。

5．解：有２男２女和三男一女两种情况，
4
41435442425A C C A C C +＝=+)(14244425
C C A C 2400种． 6．解：)11,2,1,0(3)2()2()3(633111131111
1 =⋅⋅⋅-=-=---+r x C x x C T r
r r r r r r r ，
∴r=3，9时，该项为有理项
61122==p ，∴7
6|761067
6
1
1
01
0===⎰⎰x dx x dx x p 。

7．解：由正弦定理得(
)
2
2
222222
2=-+⇒⋅-=
-ab c b a b b a c a ，
由余弦定理有=∴=
C C 2
2
cos 4π。

8．解： 可行域:⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-2
22
2y x y x 的面积为4，圆x 2+y 2=1的面积为π,
由几何概型计算公式得：P=
4
π。

10．平均每月注射了疫苗的鸡的数量为
903
5
.1100250120=⨯+⨯+⨯万只。

11．解：414125
()()()1()2323332f f f f =-=-+=+=；，)3
4()34(-+f f =3。

12．解：∵
i i i i i
i -=++-=
+-)
23)32(2332，
∴)1,0(1-=OZ ， 又)3,1(2=OZ ， ∴2
3
|
|||cos 212121-
=⋅=
∠OZ OZ OZ Z ，夹角等于︒150。

13．解：垂直。

两直线分别过点()
⎪⎭⎫ ⎝⎛2008,4,22008,0π和()
⎪⎭
⎫
⎝⎛---2009,4,22009,0π，
前两点和后两点连线显然垂直。

法二：两直线化为普通方程是
2008, 2009,2222
y x y x +=-= 其斜率乘积121k k ∙=-，故两直线垂直。

14．解：21
211=⋅≥+=+
x
x x x x x ,应有6415152<<⇒<-⇒+->a a a 15．解：由圆的相交弦定理知12=⋅=
PD
PB
PA PC ， ∴224126=++=++=PD CP MC MD ，
由圆的切割线定理知3342262⨯=⨯=⋅=MD MC MN ， ∴332=MN 。

三、解答题：
16．解：（1）512
cos ,[,],sin 13213
x x x ππ=-
∈=∴ ， ……………3分
f(x)135********⨯+⨯=
52
51333+= 。

………6分 （2）由（1）知()=
x f x x cos 41sin 43-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=6sin 21πx ， …… 9分 ()f x 的图像向右平移
65π个单位，得到x y sin 2
1
-=的图像， 其图像关于原点对称， …………… 11分
故m=6
5π 。

……………12分
17．解：（1）252,2522
55323825151=++∴=++a a a a a a a a a a ，
又5,053=+∴>a a a n ， ………………………………………………2分 又53a a 与的等比中项为2，453=∴a a ，
而1,4,),1,0(5353==∴>∴∈a a a a q ， ………………………………4分 n n n a a q --=⨯=∴==
∴5112)2
1
(16,16,21 ， ……………………………6分 （2）n a b n n -==5log 2， 11-=-∴+n n b b ，
4}{1=∴b b n 是以为首项，－1为公差的等差数列。

………………………9分 2
9,2)9(n
n S n n S n n -=∴-=
∴， 0,
8>≤∴n S n n 时当；当0,9==n S n n 时；当0,9<>n
S
n n 时， n
S S S S n n ++++=∴ 321,
983
21时或当最大。

…………………………12分 18．解：（1）这位挑战者有两种情况能过关：
①第三个对，前两个一对一错，得20+10+0=30分， ……… ………1分 ②三个题目均答对，得10+10+20=40分， ……… ………2分
其概率分别为()12524535154301
2=⨯⨯⨯==C P ξ， ……… ………3分 ()125
48
53545440=⨯⨯==ξP ， ……… ………4分
这位挑战者过关的概率为
()()()125
721254812524403030=+=
=+==≥ξξξP P P 。

……… ………5分 (2)如果三个题目均答错，得0+0+（-10）=-10分，
如果前两个中一对一错，第三个错，得10+0+（-10）=0分； …… ………6分 前两个错，第三个对，得0+0+20=20分；
如果前两个对，第三个错，得10+10+（-10）=10分； ……… ………7分 故ξ的可能取值为：-10，0，10，20，30，40. ………….8分
()125252
515153154154110=
⨯⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=ξP ， ……… ………9分 ()12516525451012=⨯⨯⋅==C P ξ ………………10分 ()12532
52545410=⨯⨯==ξP ……… ………11分
()1253
53515120=⨯⨯==ξP
……… ………12分
又由（1），()1252430==ξP ， ()125
48
40==ξP
∴ξ的概率分布为
分
根据ξ的概率分布，可得ξ的期望，
24125
3000125484012524301253201253210125160125210==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
-=ξE ………14分 19．解：（1）33=e ，∴312
22222
=-==a b a a c e , ∴2a 2=3b 2 ……….2分
∵直线l:02=+-y x 与圆x 2+y 2=b 2相切，
∴
2
2=b ，∴b=2，b 2=2，
…….3分
∴a 2
=3. ∴椭圆C 1的方程是.12
32
2=+
y x …………. 4分 （2）∵|MP|＝|MF 2|，
∴动点M 到定直线l 1：x ＝－1的距离等于它的定点F 2（1，0）的距离. (5)
分
∴动点M 的轨迹是以l 1为准线，F 2为焦点的抛物线， ………….6分 ∴
12
=p
，p=2 ， ………….7分 ∴点M 的轨迹C 2的方程为x y 42=。

.………….8分
（3）由（1）知A （1，2），20002022
2
,2),,4
(),,4(y y y y y C y y B ≠≠，y 2≠2，①
则),4
(),2,44
(20222022
2y y y y BC y y AB --=--=，
………….10分
又因为0,=⋅⊥BC AB 所以 , 0))(2(4
442022220
2
2=--+-⨯-y y y y y y ，
整理得0216)2(0202
2=++++y y y y ， ………….12分
则此方程有解， ∴0)216(4)2(020≥+⋅-+=∆y y 解得60-≤y 或100≥y ， ………….13分 又检验条件①：∵y 2=2时y 0=-6,不符合题意。

∴点C 的纵坐标y 0的取值范围是).,10[)6,(+∞⋃--∞ ………….14分
20．解法一：（向量法）： 过点C 作AB Cz // ∵AB ⊥平面BCD ∴Cz ⊥平面BCD
又在BCD ∆中，︒=∠90BCD ∴CD BC ⊥ 如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系xyz C -． ………….1分 又在BCD ∆中，︒=∠90BCD ， 1==CD BC ∴2=BD
又在ABD Rt ∆中，︒=∠60ADB ∴6=AB
则)0,1,0(),6,0,1(),0,0,1(),0,0,0(D A B C ………….3分 （1）证明：∵)0,1,0(),6,0,1(),0,0,1(),0,0,0(D A B C ∴)0,1,0(),0,0,1(),6,0,0(===
∴0,0=⋅=⋅
∴⊥⊥,
又B BC AB =
∴CD ⊥平面ABC ………….6分 又在ACD ∆中，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点， 且
)10(<<==λλAD
AF AC AE ∴不论λ为何值，都有CD EF //
∴EF ⊥平面ABC
又⊂EF 平面BEF
不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ………….8分 （2）∵λ=AC AE ，∴, ∵)6,0,1(--=AC ，∴()λλλ6,0,--==AC AE ， 又∵()6,0,0-=AB ，()
)1(6,0,λλ--=-=∴AB AE BE ， 设),,(z y x =是平面BEF 的法向量，则E ,⊥⊥ .………….10分 又CD EF //，⊥∴,∵=(0,1,0), ∴⎩⎨⎧==-+-00)1(6y z x λλ 令λ=z 得0),1(6=-=y x λ ∴),0),1(6(λλ-=n ， ………….12分 ∵ )1,0,0(=m 是平面BCD 的法向量，平面BEF 与平面BCD 所成的二面角为︒60， ∴21)1(611||||60cos 22=+-⋅⋅==︒λλλ
m n
∴0242=+-λλ， ∴22-=λ或22+=λ（不合题意，舍去），
故当平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的大小为︒60时
22-=λ． ………….14分
（2）解法二：∵λ=AC AE ，∴ ,
设E （a,b,c ）,则)6,0,1()6,,1(--=--λc b a ，
∴a=1+λ,b=0,c=)1(6λ-， E （1+λ,0, )1(6λ-）, ∴)1(6,0,(λλ--=BE )。

其余同解法一
（2）解法三：设),,(z y x =是平面BEF 的法向量，则⊥⊥,，
∵
)10(<<==λλAD AF AC AE
∴λ-=1AC
CE ∴λ-==1AC CE AB EM 又在BCD ∆中，︒=∠90BCD ，1==CD BC ∴2=BD
又在ABD Rt ∆中，︒=∠60ADB ∴6=AB ∴)1(6λ-=EM
又λ==AC
AE BC BM ，且1=BC ∴λ=BM
∴λ-=1CM ∴))1(6,0,1(λλ--E
又λ==BC CN ∴))1(6,,1(λλλ--F ∴))1(6,,()),1(6,0,(λλλλλ--=--=BF BE ……………10分 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=-+-0)1(60
)1(6z y x z x λλλλλ
令λ=z 得0),1(6=-=y x λ
∴),0),1(6(λλ-=n …………12分 其余同解法一
解法四：（传统法）：
（1）证明：∵AB ⊥平面BCD
∴CD AB ⊥ ………….1分 又在BCD ∆中，︒=∠90BCD
∴CD BC ⊥ ………….2分 又B BC AB =
∴CD ⊥平面ABC ………….3分 又在ACD ∆中，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点， 且λ==AD
AF AC AE ∴CD EF // ………….4分 ∴EF ⊥平面ABC ………….5分 又⊂EF 平面BEF
∴不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ． ………….6分
（2）解：作BQ ∥CD ，则BQ ⊥平面ABC ，
∴BQ ⊥BC ，BQ ⊥BE ，
又BQ 与CD 、EF 共面，∴平面BEF 与∩平面BCD ＝BQ ， ∴∠CBE 平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的平面角，为︒60，∴2
160cos ==︒BE BM ∴BE BM =2① ………….9分 又λ=AC
AE ∴λ-=1AC CE 在ABC ∆内作BC EM ⊥交BC 于M 则λ-==1AC
CE AB EM 又在BCD ∆中，︒=∠90BCD ，1==CD BC ∴2=BD
又在ABD Rt ∆中，︒=∠60ADB ∴6=AB ∴)1(6λ-=EM ② ………….11分 又
λ==AC
AE BC BM ，且1=BC ∴λ=BM ③ A
B D C
E
F M
N
由①②③得222)1(64λλλ+-=
∴0242=+-λλ ………….13分 ∴22-=λ或22+=λ（不合题意，舍去）
故当平面BEF 与平面B C D 所成的二面角的大小为︒60时22-=λ． ………….14分
解法五：，在ABD ∆内作BD FN ⊥交BD 于N ，连结MN ．则FN EM AB ////，MN EF =//
∵AB ⊥平面BCD
∴EM ⊥平面BCD ，FN ⊥平面BCD
∴BMN ∆是BEF ∆在平面BEF 上的射影
又∵EF ⊥平面ABC
∴MN ⊥平面ABC ………….8分 设平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的大小为θ，则︒=60θ ∴212
121cos ==⋅⋅==∆∆BE BM EF BE MN BM S S BEF BMN
θ ………….9分 其余同解法四。

解法六：由BEC
BC EBC EC ∠=∠sin sin 得解. 21. 解：（1）当1->x 时，01122)(>+++='x
x x N ， ……………2分 所以)(x N 在（-1，+∞）上是单调递增， ……………3分
0)0(=N 。

……………4分
（2）)(x f 的定义域是（-1，+∞），
22)
1()()1()1ln(11)(x x N x x x f +=++--='， ……………6分 当01<<-x 时，)(x N <0, ∴0)(<'x f ， ……………7分
当0>x 时，)(x N >0, ∴0)(>'x f ， ...............8分 ∴在（-1，0）上)(x f 单调递减，在（0,+∞）上，)(x f 单调递增。

(9)
分
∴ 0)0(min ==f f . ……………10分
（3）由（2）知)(x f 在),0[+∞上是单调增函数。

若存在满足条件的实数m 、n ，
则必有m m f =)(，n n f =)(。

……………11分 也即方程x x f =)(在),0[+∞上有两个不等的实数根m 、n ， ……………12分 但方程x x f =)(即为01)
1ln(=++x x 只有一个实数根0=x ，
……………13分 ∴不存在满足条件的实数m 、n 。

……………14分。