福建省厦门外国语学校高三数学模拟试题 理 新人教A版

厦门外国语学校2013届高考理科数学模拟试卷
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的虚部记作Im(z )＝b ，则Im(1
2＋i
)＝
A －15 B.25 C ．－1
3
D ．.1
3
2. 已知锐角A ，B 满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为 A.22 B.2 C.22 D.4
2 3.已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足
8
4
17S S =，则公比q = A.
12 B. 1
2
± C. 2 D. 2±
4.执行右边的框图，若输出的结果为2
1
，则输入的实数x 的值是
A ．22
B ．2
C ．41
D ．2
3
5. 已知两双曲线122
22=-b
y a x (0,0)a b >>、双曲线
22
2
21y x a b
-=(0,0)a b >>的渐近线将第一象限三等分， 则双曲线122
22=-b y a x 的离心率为
A. 2或332
B. 6或3
32 C. 2或3 D. 3或6
6. 已知数列﹛n a ﹜为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a +的值为
A B ． C ． D ．7.如图，正△ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知△A ′ED 是△AED 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是
A ．动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上
B ．恒有平面A ′GF ⊥平面BCED
C ．三棱锥A ′—FE
D 的体积有最大值 D ．异面直线A ′
E 与BD 不可能垂直
8．下列函数中，在)2
,
0(π
上有零点的函数是
A ．x x x f -=sin )(
B ．x x x f π
2
sin )(-
= C ．x x x f -=2sin )( D ．x x x f π
2sin )(2
-
=
9．若数列{}n a 满足规律： <><><>-n n a a a a a 212321，则称数列{}n a 为余弦数列，现将1，2，3，4，5排列成一个余弦数列的排法种数为
A. 12
B. 14
C. 16
D. 18 10．对于定义域为[0,1]的函数()f x ，如果同时满足以下三个条件： ①对任意的]1,0[∈x ，总有0)(≥x f ②1)1(=f
③若0,021≥≥x x ，121≤+x x ，都有)()()(2121x f x f x x f +≥+ 成立； 则称函数)(x f 为理想函数. 下面有三个命题：
● 若函数)(x f 为理想函数，则0)0(=f ； ● 函数])1,0[(12)(∈-=x x f x 是理想函数；
● 若函数)(x f 是理想函数，假定存在]1,0[0∈x ，使得]1,0[)(0∈x f ，且00)]([x x f f =， 则00)(x x f =；
其中正确的命题个数有（ ）
A. 0个
B.1个
C.2个
D.3个 二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
11．设单位向量1212121
,,22
e e e e e
e ⋅=-
+=满足则 . 12．函数y =(1,1)-处的切线与x 轴所围成区域的面积为________.
13．设x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≤≥020a y x x y y ，若目标函数y x +3的最大值为6，则a =______. 14．如图，已知球O 是棱长为1的正方体1111D C B A ABCD - 的内切球，则以1B 为顶点，以球被平面1ACD 截得的圆为 底面的圆锥的全面积为 。

15. “无字证明”(proofs without words), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几
何图形来呈现.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系,写出该图所验证的一个三角恒等变换公式:___ ______.
图甲 图乙
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分13分）
在ABC ∆中，C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知3
sin 2sin cos sin cos 2
A C
B B
C =+. （1）求A sin 的值；（2）若3
3
2cos cos ,1=
+=C B a ，求边c 的值．
17.（本小题满分13分）
如图，平面四边形ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上， AB 为球O 的直径，P 为球面上一点，且PO ⊥平面 ABCD ，2BC CD DA ===，点M 为PA 的中点.
(1) 证明：平面//PBC 平面ODM ；
(2) 求平面PBC 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值.
18．（本小题满分13分）已知椭圆1C ：12
32
2=+y x 的左焦点为1F ，右焦点为2F （1）设直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；
（2）设O 为坐标原点，取2C 上不同于O 的点S ，以OS 为直径作圆与2C 相交另外一点R, 求该圆的面积最小时点S 的坐标.
O
A
D
P
B
C
M
2
(),()ln f x x ax g x x =-=19．（本小题满分13分）四枚不同的金属纪念币D C B A ,,,，投掷时，B A ,两枚正面向上的概率均为
2
1
，另两枚D C ,（质地不均匀）正面向上的概率均为a （10<<a ）.将这四枚纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的枚数.
（Ⅰ）求ξ的分布列（用a 表示）；
（Ⅱ）若只有一枚正面向上对应的概率最大，求a 的取值范围.
20．（本小题满分14分）已知函数
． （1）若)()(x g x f ≥对于定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）设)()()(x g x f x h +=有两个极值点1x ，2x ，且)2
1
,0(1∈x ， 证明：2ln 4
3
)()(21->-x h x h ；
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多
做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=12α为矩阵=A ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-411a 属于特征值λ的一个特征向量． (Ⅰ) 求实数λ,a 的值； （Ⅱ）求矩阵A 的逆矩阵1
-A ． （2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程 已知圆方程为08cos 7cos 8sin 6222=++-+-θθθx x y y 。

①．求圆心轨迹的参数方程C ；
②．点),(y x P 是（1）中曲线C 上的动点，求y x +2的取值范围。

（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲 设函数21)(-+-=x x x f 。

①．画出函数y=f(x)的图像；
②．若不等式)(x f a b a b a ≥-++，（a ≠0,a 、b ∈R ）恒成立，求实数x 的范围。

厦门外国语学校
2013届高考理科数学模拟试卷参考答案
一、ADDBA BDDCD
二、3 1
3
2 23π
sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+
三、16. 解：（1）由C B B C A cos sin cos sin 2sin 2
3
+=得
A C
B A A sin )sin(cos sin 3=+= ………………2分，
由于ABC ∆中0sin >A ，1cos 3=∴A ，3
1
cos =A -----------------4分
322cos 1sin 2
=-=∴A A -------------------6分
（2）由332cos cos =+C B 得3
3
2cos )cos(=++-C C A -----------------8分
即332cos cos cos sin sin =+-C C A C A ，3
3
2cos 32sin 322=+∴C C -----------10
分
得3cos sin 2=+C C ，C C sin 23cos -=，平方得3
6
sin =
C --------------11分
由正弦定理得2
3
sin sin ==A C a c -----------------------13分
17解：(1) 证明：2AB O BC CD DA BC CD DA ⎫
⇒===⎬==⎭
为圆直径且AB CD ，…………2分
则CD 平行且等于BO ，即四边形OBCD 为平行四边形，所以//BC OD .
//////////AO BO OM PB OD PBC ODM PBC AM PM OM PBC BC OD =⎫
⎫⇒⎫
⎬⎪⇒⇒=⎬⎬⎭⎭⎪ ⎭
平面平面平面平面
…………6分
(2) 以O 为原点，BA 方向为x 轴，以平面ABCD 内过O 点且垂直于AB 方向为y 轴 以
OP 方向为z 轴，建立如图所示坐标系.
则(0,0,2)P ，(2,0,0)B -，(2,0,0)A ，
(1,3,0)C --，(1,3,0)D -，…………8分
由(2,0,2)PB =-
-，(1,3,0)BC =-，
可求得平面PBC 的法向量为1(3,1,n = 由(2,0,2)PA =-
，(1,3,0)AD =--，
可求得平面PAD 的法向量为2(3,n
=-
则1
cos 7θ=
=，
因此平面PBC 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值为1
7
. …………13分 18解：（1）M 在线段2PF 的垂直平分线上，∴| MP | = | M 2F |，…………2分 故动点M 到定直线1l ：x =－1的距离等于它到定点2F (1，0)的距离，
因此动点M 的轨迹2C 是以1l 为准线，2F 为焦点的抛物线， …………5分
所以点M 的轨迹2C 的方程为x y 42
= …………6分
(3)解：因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ，所以∠ORS = 90°，即0=⋅8分
设S(x 1，y 1），R(x 2，y 2），则22
112244y x y x ==，，212122()()
SR x x y y OR x y =--=，，， 所以221221()()0OR SR x x x y y y ⋅=-+-=
即222221221()
()0
16y y y y y y -+-=
∵y1≠y2，y2≠0，∴)16
(2
21y y y +
-= …………10分
故221222256323264y y y =+
++=≥，
当且仅当2222
256
y y =
，即24y =±时等号成立 …………12分
圆的直径
||OS ==
因为2164y ≥，所以当2
164y =，即18y =±
时，min ||OS =所以所求圆的面积的最小时，点S 的坐标为(16，±8)． …………13分
19解：（Ⅰ）由题意可得ξ的可能取值为4,3,2,1,0. …… ……………………… 1分
()22
2)1(4
11)211()0(a a P -=--==ξ
())1(2
1)211)(1(1)211(21)1(21221
2
a a a C a C P -=--+--==ξ ())221(4
1)211()211(21)1(1)21()2(222121222a a a C a a C a P -+=-+--+-==ξ ()2
)211(211)21()3(122122a C a a a C P =-+-==ξ 2224
1
)21()4(a a P ===ξ ………………………………………………… 6分
∴ξ
………………………………7分
（Ⅱ）∵10<<a ∴)3()4(,)1()0(=<==<=ξξξξP P P P …………………9分
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧>--+>-a a a a a 2
1)1(21)221(4
1
)1(21
2，
解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧<-<+>21222222a a a 或 …………………………………………12分 ∴a 的取值范围为)2
2
2,
0(- . ………………………………… 13分 20．解：（Ⅰ）由题意：)()(x g x f ≥⇔≥-ax x 2
x ln ，)0(>x
分离参数a 可得：
)
0(ln >-
≤x x
x
x a ………………（2分）
设x x x x ln )(-
=φ，则22/
1ln )(x x x x -+=φ………………（3分）
由于函数2
x y =，x y ln =在区间),0(+∞上都是增函数，所以
函数
1ln 2
-+=x x y 在区间),0(+∞上也是增函数，显然1=x 时，该函数值为0 所以当)1,0(∈x 时，0)(/<x ϕ，当),1(+∞∈x 时，0)(/>x ϕ
所以函数)(x φ在)1,0(∈x 上是减函数，在),1(+∞∈x 上是增函数
所以1)1()(min ==φφx ，所以1)(min =≤x a φ即]1,(-∞∈a ………………（6分）
（Ⅱ）由题意知道：x ax x x h ln )(2
+-=，且)0(,1
2)(2|
>+-=x x ax x x h
所以方程)0(0122>=+-x ax x 有两个不相等的实数根21,x x ，且
)21
,0(1
∈x ，
又因为,2121=x x 所以),1(2112+∞∈=x x ，且
)2,1(,122=+=i x ax i i …………（8分） 而)ln ()()(112
121x ax x x h x h +-=-)ln (222
2x ax x +--
]ln )12([12121x x x ++-=]ln )12([22
222x x x ++--
2
12
122ln
x x x x +-=22222
221
ln )21(x x x x +-=2
22
2
222ln 41x x x --=，)1(2>x
设)1(,2ln 41)(2
22
≥--=x x x x x u ，则02)12()(3
22/≥-=x x x u
所以2ln 43)1()(-=
>u x u ，即2ln 43
)()(21->-x h x h ………………14分
21．解： (Ⅰ) 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-411a ⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛12=λ⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛12得：⎩⎨⎧=+-=+λλ4222a 2==∴λa ……………4分
（Ⅱ）=A ⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-41216
det =∴A =-1
A A det 1⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-1124=⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-6161313
2
……………7分
（2）①．将圆的方程整理得：(x-4cos θ)2
+(y-3sin θ)2
=1
设圆心坐标为P(x,y) 则)360,0[ sin 3cos 4︒∈⎩
⎨
⎧==θθθ
y x ……………………………3分
②．2x+y=8cos θ+3sin θ
=)sin(
73ϕθ+ ∴ -73≤2x+y ≤73 ……………………………7分
（3）．解：①．⎪⎩⎪
⎨⎧≤-<<≥-=)1( 23)2(1 1)
2( 32)(x x x x x x f ……………………………3分
②．由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)
得)(|
||
|||x f a b a b a ≥-++
又因为2|
||
|||||||=-++≥-++a b a b a a b a b a
则有2≥
f(x)
解不等式 2≥|x-1|+|x-2| 得 2
5
21≤≤x ……………………………7分。