多元函数微分法及应用

第9章 多元函数微分法及应用
第2节 偏导数
函数在点处对y 的偏导数定义为
),(y x f z =),00y x （y
y x f y y x f y ∆∆+→∆)
,(-),(lim 00000记法：
)
,(,,00,,,0
00
00
0y x f Z y f y
z y y y x x y
y y x x y y x x 或======∂∂∂∂定理：如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域D 内连续，那么
),(y x f z =x y z
∂∂∂2y
2∂∂∂x z
在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。

*拉普拉斯方程：①满足；
2
2ln y x z +=0y
2222=∂∂+∂∂z
x z ②满足。

)(,12
22z y x r r u ++==0z
y 222222=∂∂+∂∂+∂∂u u x u 第3节 全微分
全增量：
)
(),()
,(),(22y x y B x A y x f y y x x f z ∆+∆=+∆+∆=-∆+∆+=∆ρρο全微分：y y
z
x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=习惯上分别记作dx,dy,并分别称自变量x,y 的微分。

y x ∆∆,通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加定
理。

z
z
u y y u x x u du ∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=第4节 多元复合函数的求导法则
定理1：如果函数及都在点t 可导，函数在对应点（u,v)具有
)(t u ϕ=)(t v ψ=),(v u f z =连续导数，则复合函数在点t 可导，且有全导数：
)](),([t t f z ψϕ=dt
dv v z dt du u z dt dz ∂∂+
∂∂=全微分形式不变性：
设函数具有连续偏导数，则有全微分，如果u,v 又是),(v u f z =dv v
z
du u z ∂∂+∂∂=
dz 中间变量，即，且这个函数也具有连续偏导数，则复合函数
),(),,(y x v y x u ψϕ==的全微分为，无论u,v 是自变量还是中间变量，)],(),,([y x y x f z ψϕ=dy y
z
dx z ∂∂+∂∂=
x dz 函数的全微分形式是一样的。

),(v u f z =第5节 隐函数的求导公式
函数有
0),(=y x F y
x F F dx dy
-=
有0),,(F =z y x z
y z x F F y z F F x z
-
=∂∂-=∂∂,方程组
{
),,,(F 0
),,,(==v u y x v u y x G
函数行列式（雅可比式）
注：记忆方法可以这样：v
G
u
G
v F
u F
v u G ∂∂∂∂∂∂∂∂=
∂∂=),()(F,J G
F v u 则
，，，),(),(1v x G F J x u ∂∂-=∂∂),(),(1x u G F J x v ∂∂-=∂∂),(),(1v y G F J y u ∂∂-=∂∂)
,(),(1y u G F J y v ∂∂-
=∂∂其推导简写如下：
对方程组
两边都对x 求偏导
{
)],(),,(,,[F 0
)],(),,(,,[≡≡y x v y x u y x y x v y x u y x G 得到如下方程组⎪⎩
⎪⎨⎧
=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+0
0x v
G x u G G x
v F x u F F v u x v u x
类比方程组的解为：
⎩
⎨⎧=++=++00
2121fx ex d cx bx a 注记忆方法：矩阵排列顺序：中间-左边-右边。

)(,,21f
e c b D D
d
e a
b x D f
d
c a x =
==
第6节 多元函数微分学的应用
1、一元向量值函数及其导数
空间曲线Γ的参数方程为：
),(,)()()(βαωψϕ∈⎪⎩
⎪
⎨⎧===t t y t y t x []
2
2
0302010)(,)()()()()(,),()()()()(,dt
r d dt v d t a dt r d t v k
t f j t f i t f t f t t f r k
t j t i t t f k z j y i x r →
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→→
→
→→
→
→
==='
+'
+'='∈=++=++=βαωψϕ
2、空间曲线的切线与法平面
①已知Γ的参数方程
))
(),(),(()(T 0000t t t t f ωφϕ'''='=→
→
就是曲线在点的切向量，则有切线方程为
),,(000z y x M )
()()(00
0000t z z t y y t x x ωφϕ'-=
'-='-法平面方程为0
))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t y y t x x t ωφϕ②若Γ的方程给出为：
)
(),(,x z x y x x φϕ===则切线方程为：
)
()(100
000x z z x y y x x ωφ'-='-=-法平面方程为：0
))(())(()(00000=-'+-'+-z z x y y x x x ωφ③Γ为方程组：⎩⎨
⎧==0
),,(0
),,(F z y x G z y x 则)
,,(
),,1(T M
y
x
y x M x z x
z
M
z
y z
y M
M G G F F G G F F G G F F dx dz
dx dy ==→
3、曲面的切平面和法线
①
)
,,(,0),,(F 000z y x M z y x =任意引一条曲线的切向量
))
(),(),((T 000t t t ωφϕ'''=→
)
,,(0
)()()(,0T 000z y x z y x F F F n t F t F t F n =∴='+'+'=∙→
→
→
ωφϕ 切平面：
)()()(000=-+-+-z z F y y F x x F z y x
法线方程：
z
y x F z z F y y F x x 0
00-=-=-②
1
,,),(),,(),(-===-=⇒=z y y x x F f F f F z
y x f z y x F y x f z 注意：第7节 方向导数和梯度
方向导数：
β
αβαcos cos )
,()cos ,cos (lim 00000)
,(00y x t y x f f t
y x f t y t x f l
f +=-++=∂∂+→即为在点处沿方向L 的变化率。

),(y x f ),(P 000y x 梯度：γ
βαcos cos cos )
,,(000z y x z y x f f f l
f ++=∂∂对于每一点都可定出一个向量，该向量即为函数
),(000y x P →
→
+j y x f i y x f y x ),(),(0000在点的梯度，记作),(y x f ),(000y x P )
,(),(0000y x f y x gradf
∇或即→
→
+=∇=j
f i f y x f y x gradf
y x ),(),(0000其中称为（二维的）向量微分算子或Nable 算子→
→∂∂+∂∂=∇j y
i x →
→∂∂+∂∂=∇j
y
f i x f f 如果是与方向L 同向的单位向量，
)cos ,(cos βα=→
l e
则
θ
βαcos ),(),(cos cos 0000)
,(00y x gradf e y x gradf f f l
f l
y x y x ==+=∂∂→
其中)
),,((00→
=e y x gradf θ当时，方向导数即为梯度的模，函数增加最快
0=θ当时，方向导数即为梯度的模的相反数，函数减少最快
πθ=当时，方向导数为0.
2
π
θ=
第8节 多元函数的极值及其求法
必要条件：设在点具有偏导数且在点处有极值，则有
),(y x f z =),(P 000y x ),(P 000y x 0
,0==y x f f 充分条件：设在点的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又
),(y x f z =),(P 000y x ，令0,0==y x f f C
f B f A f yy xy xx ===,,则是否存在有极值的条件如下：
),(P 000y x （1）时有极值，且A<0时是极大值，A>0时是极小值；
02
>-B AC （2）时无极值；
02
<-B AC （3）时需另作讨论。

02
=-B AC 条件极值，拉格朗日乘数法：
要找函数在附加条件下可能极值点，可以先作拉格朗日函数
),(y x f z =0),(=y x ϕ，其中为参数，求其对x 与y 的一阶偏导数，并使之为零，
),(),(),(y x y x f y x L λϕ+=λ然后与方程联立起来：
0),(=y x ϕ
⎪⎩
⎪
⎨⎧==+=+0),(00y x f f x x x x ϕλϕλϕ函数，附加：，),,,(t z y x f u =0),,,(=t z y x ϕ0
),,,(=t z y x φ可作拉格朗日函数：
)
,,,(),,,(),,,(),,,(t z y x t z y x t z y x f t z y x L μφλϕ++=。