专题 弹簧振子单摆《机械振动与波》要点

● 基础知识落实 ●
1、弹簧振子： 2.单摆
（1）.在一条不可伸长、不计质量的细线下端系一质点所形成的装臵.单摆是实际摆的理想化物理模型.
（2）.单摆做简谐运动的回复力
单摆做简谐运动的回复力是由重力mg 沿圆弧切线的分力 F ＝mgsin θ 提供(不是摆球所受的合外力)，θ为细线与竖直方向的夹角，叫偏角.当θ很小时，圆弧可以近似地看成直线，分力F 可以近似地看做沿这条直线作用，这时可以证明F ＝－
t
mg
x ＝－kx .可见θ很小时，单摆的振动是 简谐运动 . （3）.单摆的周期公式
①单摆的等时性：在振幅很小时，单摆的周期与单摆的 振幅 无关，单摆的这种性质叫单摆的等时性，是 伽利略 首先发现的.
②单摆的周期公式 π2 g l
T =，由此式可知T ∝
g
1，T 与 振幅 及 摆球质量 无关. （4）.单摆的应用
①计时器：利用单摆的等时性制成计时仪器，如摆钟等，由单摆的周期公式知道调节单摆摆长即可调节钟表快慢.
②测定重力加速度：由g
l T π
2=变形得g ＝2
2
π4T l ，只要测出单摆的摆长和振动周期，就可以求
出当地的重力加速度.
③秒摆的周期 秒 摆长大约 米 （5）.单摆的能量
摆长为l ，摆球质量为m ，最大偏角为θ，选最低点为重力势能零点，则摆动过程中的总机械能为:
E ＝ mgl (1－cos θ) ，在最低点的速度为v ＝ ) cos 1(2 θ-gl .
知识点一、弹簧振子：
1、定义：一根轻质弹簧一端固定，另一端系一质量为m 的小球就构成一弹簧振子。

2、回复力：水平方向振动的弹簧振子，其回复力由弹簧弹力提供；竖直方向振动的弹簧振子，其回复力由重力和弹簧弹力的合力提供。

3、弹簧振子的周期：k
m T π
2= ① 除受迫振动外，振动周期由振动系统本身的性质决定。

② 弹簧振子的周期和频率只取决于弹簧的劲度系数和振子的质量，与其放臵的环境和放臵的方式无任何关系。

如某一弹簧振子做简谐运动时的周期为T ，不管把它放在地球上、月球上还是卫星中；是水平放臵、倾斜放臵还是竖直放臵；振幅是大还是小，只要还是该振子，那它的周期就还是T 。

【释例1】 【解析】 【变式】
⊙方法指导⊙
一、水平方向弹簧振子的几种模型：
1、单弹簧模型：
弹簧振子
弹簧振子的振动是简谐运动的最典型实例。

它由连在一起的弹簧和小球穿在光滑水平杆上并将弹簧另一端连在支架上构成。

通过对它的运动的观察，可以总结出下面四个特点：
①在水平方向振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力，其表达式：F=-k〃x或a=kx/m。

②若弹簧的劲度系数越大，回复力越大，振子产生的加速度越大，振子来回振动得越快，因而周期越短。

其次，振子质量越大，产生的加速度越小，振子来回振动得越慢，因而周期越长。

计算表明，弹簧振
子的周期公式为：
k
m
T π
2=（此式不要求掌握） ③ 可见，弹簧振子的周期由弹簧的劲度系数和振子质量共同决定，跟振幅无关。

如何从运动和力的关系来理解弹簧振子的周期与振幅无关呢？如图所示。

将弹簧振子从平衡位臵拉到B （振幅为A ）。

振幅越大，振子在B 处的弹力越大，加速度也越大，但振子离开平衡位臵的位移也大了，因此，振子从B 回到O 的时间并不因振幅的大小而改变（为T /4），但振子回到平衡位臵时的速度与振幅有关，振幅越大速度越大。

振子从O 到
C 的过程中，若振幅超大，振子离开O 时的速度也大，但位移也大了，因此，振子从O 到C 的时间也不会因振幅的改变而改变（也为T /4），所以，弹簧振子自由振动的周期与振幅大小无关． ④ 频率：m
k πT f 21
1==。

⑤ 振动过程中位移、速度、加速度、动能、势能、回复力等的关系。

【例题1】如图所示，为一弹簧振子，O 为振动的平衡位置，将振子拉到位置C 从静止释放，振子在BC 间往复运动．已知BC 间的距离为20cm ，振子在4秒钟内振动了10次． （1）求振幅、周期和频率。

（2）若规定从O 到C 的方向为正方向，试分析振子在从C →O →B 过程中所受回复力F ，加速度a 和速度υ的变化情况．
选题目的：考察弹簧振子振动中各物理量的掌握情况． 【解析】（1） 2.5Hz 1
0.4s,cm,10,2====
==T
f n t T A A BC （2）按题设从O →C 为正方向，则当振子在平衡位臵右侧时位移为正，在平衡位臵左侧时位移为负．所以当振子从C →O 运动时，位移方向为正，大小在减少，回复力方向为负，加速度方向为负，回复力和加速度的大小都在减小．振子的速度方向为负，加速度与速度方向一致，速度在增大；振子到达O 位臵时位移X=0，F 、a 均为零，υ最大．当振子从O →B 运动时，位移方向为负，位移x 在增大，回复力F 、加速度a 方向为正，大小在增大，此过程速度方向为负，a 与υ反向，振子从O →B 做减速运动，υ在减小，到达B 位臵时F 、a 为正向最大，υ=0． 【点评】
【例题2】如图所示弹簧振子，振子质量为2.0×102
g ，作简谐运动，当它到达平衡位置左侧2.0cm 时受到的回复力是0.40N ，当它运动到平衡位置右侧4.0cm 处时，加速度为〖 D 〗
C
O
A
B
A、 2 m/s2向右
B、 2 m/s2向左
C、 4 m/s2向右
D、 4 m/s2向左
【解析】F=-k〃x，所以力F1的大小F1=k〃x1，由此可解得k =200N/m则：F2=k〃x 2=200×4×10-2=8N，由于位移向右，回复力F2方向向左．根据牛顿第二定律：
a2=F2/m=8/2=4m/s2，方向向左．
【点评】
【例题3】上题中，若弹簧振子的振幅为8cm，此弹簧振子振动的周期为〖A〗
A、 0.63s B 、2s C 、8s D、条件不足，无法判断
【解析】因为是简谐运动，所以：
【点评】
【例题4】弹簧振子在BC间作简谐运动，O为平衡位置，BC间距离为10cm，由B→C运动时间为1s，则〖 B〗
A、从B开始经过0.25s，振子通过的路程是2.5cm
B、经过两次全振动，振子通过的路程为40cm
C、振动周期为1s，振幅为10cm
D、从B→O→C振子做了一次全振动
【解析】
【点评】
【例题5】如图所示，在光滑水平面上有一弹簧振子，已知轻弹簧的劲度系数为k 。

开始时振子被拉到平衡位置O 点的右侧某处，此时拉力大小为F ，振子静止，撤去拉力后，振子经过时间t ，刚好通过平衡位置O 点，此时振子的瞬时速度为υ，则在此过程中，振子运动的平均速度为多少？ 【解析】 【点评】
【例题6】一个弹簧振子，在光滑水平面上做简谐运动，如图所示，当它从左向右恰好经过平衡位置时，与一个向左运动的钢球发生正碰，已知碰后钢球沿原路返回，并且振子和钢球不再发生第二次碰撞。

则下面的情况中可能出现的是( ACD
)
A.振子继续作简谐振动，振幅和周期都不改变
B.振子继续作简谐振动，振幅不变而周期改变
C.振子继续作简谐振动，振幅改变而周期不变
D.振子停止运动 【解析】 【点评】
【例题7】如图所示，一个弹簧振子在光滑的水平面上A 、B 之间做简谐振动，当振子经过最大位移处（B 点）时，有块胶泥落在它的顶部，并随其一起振动，那么后来的振动与原来相比较( ACD )
A 、振幅的大小不变
B 、加速度的最大值不变
C 、速度的最大值变小
D 、势能的最大值不变 【解析】
【点评】
2、摩擦力模型：
【例题1】如图所示，质量为m 的物体A 放在质量为M 的物体B 上，B 与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A 、B 之间无相对运动。

设弹簧劲度系数为k ，但物体离开平衡位置的位移为x 时，A 、B 间摩擦力的大小等于（ ）
A 、kx
B 、
M m kx C 、M
m m +kx D 、0 【解析】对A 、B 系统用牛顿第二定律：
F=（M+m ）a
F=kx
a=
m
M kx
+
对A 用牛顿第二定律：f=ma=
M
m m
+kx
【点评】A 、B 无相对运动，故可以综合运用整体法、隔离法分析整个系统和A 或B 物体的运动和力的关系。

【例题2】（2008四川理综·14）光滑的水平面上盛放有质量分别为m 和
2
m
的两木块，下方木块与一劲度系数为k 的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示。

己知两木块之间的最大静摩擦力为f ，为使这两个木块组成的系统象一个整体一样地振动，系统的最大振幅为（ ）
A ．
f k
B ．2f k
C ．3f k
D ．4f k
【解析】本题不是非常简单，考查的知识点很多，稍有不足，就会选错。

物体做简谐运动，取整体为研究对象，是由弹簧的弹力充当回复力。

取上面的小物块为研究对象，则
是由静摩擦力充当向心力。

当两物体间的摩擦力达到最大静摩力时，两物体达到了简谐运动的最大振幅。

又因为两个物体具有共同的加速度，根据牛顿第二定律对小物体有ma f 2
1
=
，取整体有a m m kx )21(+=，两式联立可得k
f x 3=，答案为C 。

【高考考点】最大静静力、简谐运动、牛顿第二定律、临界问题
【易错提醒】受力分析的整体法与隔离法，对解决物理问题是很重要的一个因素。

合理的方法，会使你利用很短的时间解决问题，而不合理的方法，无论用多少时间都不会得出所要的答案。

【点评】综合问题在物理中体现是最充分的。

所以在高考前的专题复习时一定要对各知识点间的综合进行充分的复习。

【例题3】（2006江苏物理·9）如图所示，物体A 置于物体B 上，一轻质弹簧一端固定，另一端与B 相连。

在弹性限度范围内，A 和B 一起在光滑水平面上作往复运动(不计空气阻力)
下列说法正确．．
的是( AB ) A ．A 和B 均作简谐运动
B ．作用在A 上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比
C ．B 对A 的静摩擦力对A 做功，而A 对B 的静摩擦力对B 不做功
D ．B 对A 的静摩擦力始终对A 做正功，而A 对B 的静摩擦力始终对B 做负功 【解析】 【点评】
【例题4】如图所示，一个质量为m 的木块放在质量为M 的平板小车上，他们之间的最大静摩擦力为f ，在劲度系数为k 的轻弹簧的作用下，沿光滑水平面做简谐运动。

为使小车能跟木块一起运动，不发生相对滑动，机械运动的振幅不能大于（ A ）
A 、
kM f M m )(+ B 、kM mf
C 、k
f D 、km f M m )(+
【解析】 【点评】
【例题5】在光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k 。

振子质量为M ，振动的最大速度为v 0，如图所示。

当振子在最大位移为A 的时刻，把质量为m 的物体轻放其上，则： （1）要保持物体和振子一起振动，二者间摩擦因数至少为多少？ （2）一起振动时，二者过平衡位置的速度多大？振幅又是多大？ 【解析】（1）
ma mg a m M kA =+=μ)(，g
m M kA
)(+=μ
（2）机械能守恒：2
20
)(2
121v m M Mv '+= 0v m
M M
v +=
'
振幅仍为A 【点评】
【例题6】如图所示，把一个有槽的物体B 与弹簧相连，使B 在光滑水平面上做简谐运动，振幅为A 1．当B 恰好经过平衡位置，把另一个物体C 轻轻的放在（C 速度可以认为是零）B 的槽内，BC 共同作简谐振动的振幅为A 2．比较A 1和A 2的大小〖 B 〗
A 、A 1=A 2
B 、 A 1>A 2
C 、 A 1<A 2
D 、 条件不足，无法确定
【解析】当C 轻放在B 槽内时，BC
间发生一次完全非弹性碰撞，两者速度由不同达到相同，此时有一部
分机械能转化为内能．由于机械能损失，所以振幅减小，A 2<A 1； 公式推导也可得出同样的结论：B 、C 碰撞，遵从动量守恒定律，
显然，
【点评】若在极端位臵时把C 轻放在B 槽内结果又如何？
【例题6】如图所示，一个三角形物块固定在水平桌面上，其光滑斜面的倾角为θ＝30°。

物体A 的质量为m A ＝0.5kg ，物体B 的质量为m B ＝1.0 kg （A 、B 均可视为质点），物体A 、B 并列在斜面上且压着一劲度系数为k ＝125N /m 的轻弹簧，弹簧的下端固定，上端拴在A 物体上，物体A 、B 处于静止状态。

（g 取10m /s 2
）
（1）求此时弹簧的压缩量是多大？
（2）将物体B 迅速移开，试证明物体A 在斜面上作简谐运动。

（3）将物体B 迅速移开，物体A 将作周期为0.4s 的简谐振动，若以沿斜面向上的方向为正方向，请你在所给的坐标系中作出物体A 相对平衡位置的位移随时间的变化曲线图，并在图中标明振幅的大小。

【解析】（1）对A 、B 受力分析： m x kx g m m AB AB B A 024.030sin )(0=∴=+ （2）移去B 后A 在平衡位臵： 0030sin kx g m A =
当A 有沿斜面向下位移x 时： kx g m x x k F A =-+=0
030sin )(回 且方向沿斜面向上，与位移方向相反——简谐运动 【点评】
【例题7】(2008保定调研)如图所示，物体A 放在物体B 上，B 与弹簧相连，它们在光滑水平面上一起做简谐运动。

当弹簧伸长到最长时开始
记时(t = 0)，取向右为正方向，A 所受静摩擦力f 随时间t 变化的图象正确．．
的是( D
)
【解析】 【点评】
3、双弹簧模型：
【例题1】如图所示，在光滑水平面上，用两根劲度系数分别为k 1、k 2的轻质弹簧系住一个质量为m 的小球。

开始时，两弹簧均处于原长，后使小球向左偏离x 后放手，可以看到小球将在水平面上做往复振动。

试问小球是否做简谐运动？
【解析】以小球为研究对象，竖直方向受力平衡，水平方向受到两根弹簧的弹力作用.设小球位于平衡位置O 左方某处时，偏离平衡位置的位移为x ，则左方弹簧受压，对小球的弹力方向向右，大小为F 1＝1k x
右方弹簧被拉伸，小球所受的弹力方向向右，大小为F 2＝kx
小球所受的回复力等于两个弹力的合力，其方向向右，大小为F ＝F 1＋F 2＝(1k ＋2k )x 令k ＝1k ＋2k ，上式可写成F ＝kx
由于小球所受的回复力方向与物体位移x 的方向相反，故考虑方向后上式可表示为F ＝－kx .所以，小球将在两根弹簧的作用下，沿水平方向做简谐运动. 【点评】
【例题2】如图所示，将两根轻质弹簧连接起来系在一质量为m 的物体上组成弹簧振子，已知两弹簧的倔强系数分别为k 1和k 2，不计一切阻力，则这一弹簧振子振动的周期为： 。

【解析】2121/)(2k k k k m +π 【点评】
【例题3】某同学设计了一个测物体质量的装置，如图所示，其中P 是光滑水平面，k 是轻质弹簧的劲度系数，A 是质量为M 的带夹子的标准质量金属块，Q 是待测物体的质量。

已知该装置的弹簧振子做简谐运动的周期为k
m
T π
2=，其中，m 是振子的质量，k 是与弹簧的劲度系数有关的常数。

当只有A 物体振动时，测得其振动周期为T 1，将待测物体Q 固定在A 上后振动周期为T 2，则待测物体的质量为多少?这种装置比天平优越之处是什么?
【解析】由题意:M T T T m k m
M 2T ,k M 2T 2
1
212221-=∙+==ππ 这种装臵可以在完全失重或太空中用来测物体的质量.
【例题4】某同学设计了一个测量物体质量的装置，如图所示，其中P 是光滑水平面，A 是质量为M 的带夹子的已知质量金属块，Q 是待测质量的物体。

已知该装置的弹簧振子做简谐振动的周期为k
m
T π
2=，其中m 是振子的质量，k 是与弹簧的劲度系数有关的常数，当只有A 物体振动时，测得其振动周期为T 1，将待测物体Q 固定在A 上后，测得振动周期为T 2，则待测物体的质量为 ，如果这种装置与天平都在太空站中使用，则（ ）
A 、天平仍可以用来测质量，这种装置不能用来测质量
B 、这种装置仍可以用来测质量, 天平不能用来测质量
C 、这种装置和天平都可以用来测质量
D 、这种装置和天平都不能用来测质量
【解析】 【点评】
【变式】某同学设计了一个测量物体质量的装置，如图所示，其中P 是光滑水平面，A 是质量为M 的带夹
子的已知质量金属块，Q 是待测质量的物体（可以被A 上的夹子固定）．已知该装置的弹簧振子做简谐运
（1） 为了达到实验目的还需要提供的实验器材是：____________； （2） 写出所需测量的物理量（用字母表示），并简要地写出测量方法
①__________________________________________________________； ② ； 用所测物理量和已知物理量求解待测物体质量的计算式为m = 【解析】 【点评】
【例题5】（2007江苏物理·16）如图所示，带电量分别为4q 和－q 的小球A 、B 固定在水平放置的光滑绝缘细杆上，相距为d 。

若杆上套一带电小环C ，带电体A 、B 和C 均可视为点电荷。

（１）求小环C 的平衡位置。

（２）若小环C 带电量为q ，将小环拉离平衡位置一小位移x (∣x ∣<<d )后静止释放，试判断小环C 能否回到平衡位置。

（回答“能”或“不能”即可）
（３）若小环C 带电量为－q ，将小环拉离平衡位置一小位移x (∣x ∣<<d )后静止释放，试证明小环C 将作简谐运动。

（提示：当α<<1时，则 ααn n
-≈+1)1(1）
【解析】(1)C 只能在AB 延长线上，设C 在AB 的延长线上距离B 为l 处达到平衡，带电量为Q ，由库仑定律F ＝k
2
r
qQ 得平衡条件：F C ＝k
2
2
)
(4l
qQ k
l d qQ -++＝0
所以l 1＝－31
d (不符题意，舍去)，l 2＝d
所以平衡位臵l 2＝d (与带电量大小无关)S (2)不能.
(3)C 环带电－q ，在平衡位臵被拉开x 后，C 的受力为
F C ＝k 2
2
2
2
2
2
)
/1(4)
2/1()2(4)
()
2(4d x d qQ k
d x d qQ k
x d qQ k
x d qQ +++=+++--x
＝2d kqQ -
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---)21()221(d x d x 3d kqQ -x =－k ′x (其中k ′＝3d
kqQ 为一定值) 第三个等号利用了近似关系n
a )1(1+≈1－na
所以C 环将做简谐运动. 【点评】
二、竖直方向弹簧振子的几种模型：
1、单弹簧模型：
① 在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

② 平衡位臵是重力与弹力相等的位臵。

③可以证明，竖直放臵的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是k m T π2=。

这个结论可以直接
使用。

【例题1】如图a 所示，将弹簧振子沿竖直方向悬挂起来，弹簧的劲度系数为k ，重物的质量为m ．小球在平衡位置时，原先静止。

在竖直方向将小球拉离平衡位置，松开后，小球就以平衡位置为中心上下振动．证明：小球做简谐运动。

选题目的：考查简谐运动公式的运用．
【证明】设小球静止时，弹簧伸长为X 0，根据平衡条件：
k 〃x 0 = mg ①
设向下为正方向，小球平衡位臵为原点，小球振动过程中任一时刻，偏离平衡位臵的位移为x （图b ），则在此时刻弹簧的伸长量为x 0+ x ；小球受弹力f = k （x 0+ x ），方向向上．小球所受回复力为F ： [])(0x x k mg F +-+= ②
将①代入②得：F = -k ×x 。

若x >0，则F >0，表示小球在平衡位臵下方而合力方向向上；
若x <0，则F >0，表示小球在平衡位臵上方而合力方向向下．回复力满足F = -k ×x 的条件，所以小球做简谐运动． 【点评】
【例题2】如图所示，一个竖直弹簧连着一个质量M 的薄板，板上放着一个木块，木块质量为m 。

现使整个装置在竖直方向做简谐运动，振幅为A 。

若要求在整个过程中小木块m 都不脱离木板，则弹簧劲度系数k 应为多大？
【解析】木板运动到最高点又不脱离，弹簧可能处于两种状态：无形变状态和压缩状态。

若恰好脱离，则弹簧此时无形变，m 、M 的加速度均为g ，此时，系统回复力为：F=（M+m ）g
所以弹簧在平衡位臵时的弹力为：K ×A=（M+m ）g ，g A
m
M k +=
若弹簧处于压缩状态，则系统在最高点的回复力为：F ˊ<(M+m)g 则弹簧在平衡位臵时的弹力为：F ˊ = (M+m)g>kA
则k<
A
m
M +g 所以k ≤A
m
M +g
【点评】关键是判断清楚木块与板脱离的临界条件：相互之间无弹力，且加速度都等于g .还要注意最高点与平衡位臵间的距离就是振幅。

【例题3】如图所示，在质量为M 的无底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m (M >>m )的A 、B 两物体，
箱子放在水平面上，平衡后剪断A 、B 间细线，此后A 将做简谐振动，当A 运动到最高点时，木箱对地面的压力为（ A ）
A 、Mg
B 、g m M )(-
C 、g m M )(+
D 、g m M )2(+
【解析】剪断A 、B 间细绳后，A 与弹簧可看成一个竖直方向的弹簧振子模型，因此，在剪断瞬间A 具有向上的大小为g 的加速度，当A 运动到最高点时具有向下的大小为g 的加速度（简谐运动对称性），此时对A 来说完全失重，从整体法考虑，箱对地面的作用力为Mg ，选A 。

【点评】注意应用弹簧振子模型中运动的对称性，及超重、失重知识，注重物理过程的分析，利用理想化模型使复杂的物理过程更加简单。

【例题4】如图所示，质量为m 的木块放在弹簧上，弹簧在竖直方向做简谐运动。

当振幅为A 时，物体对弹簧的最大压力是弹簧的1.5倍，则物体对弹簧的最小压力是多少？欲使物体在振动中不离开弹簧，其最大振幅是多少？
【解析】0.5mg ；2A 【点评】
【例题5】如图所示，一个劲度系数为k 的轻弹簧竖直立在桌面上，下端固定在桌面上，上端与质量为M 的金属盘固定连接，金属盘内放一个质量为m 的砝码。

先让砝码随金属盘一起在竖直方向做简谐运动。

（1）为使砝码不脱离金属盘，振幅最大不能超过多少？ （2）振动过程中砝码对金属盘的最大压力是多少？
【解析】k
g
m M ）+( 2mg
【点评】
【例题6】如图所示，质量为M 的橡皮泥从一定高度自由下落，落到正下方被轻弹簧支起的木板上，并粘在木板上和木板一起做简谐振动木板质量为m ，轻弹簧劲度系数为k ，相碰前后弹簧压缩量变化为a ，则( BD )
A.系统的振幅为
2
a B.系统的振幅大于等
2
a C.木板下压a 距离的时间为k m π
D.木板下压a 距离的时间大于k
m π 【解析】 【点评】
【例题7】如图所示，一轻质弹簧与质量为m 的物体组成弹簧振子，物体在AB 两点间做简谐振动，O 点为平衡位置。

已知OC =h ，振子的振动周期为T ，某时刻物体正经过C 点向上运动，则从此时刻开始的半
个周期内( ABC )
A.重力做功为2mgh
B.重力的冲量为2
T mg
C.回复力做功为零
D.回复力的冲量为零 【解析】 【点评】
【例题8】如图所示，轻质弹簧下端挂重为30N 的物体A ，弹簧伸长了3cm ，再挂重为20N 的物体B 时又伸长了2cm ，若将连接A 和B 的连线剪断，使A 在竖直平面内振动时，下面结论正确．．的是（ A ） A 、振幅是2cm B 、振幅是3cm C 、最大回复力是30N D 、最大回复力是50N 【解析】 【点评】
【例题8】如图所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木板B 相连，木板A 放在木板B 上，两木板质量均为m ，现加竖直向下的力F 作用于A ，A 与B 均静止.问：
(1)将力F 瞬间撤除后，两木板共同运动到最高点时，B 对A 的弹力多大？ (2)要使两板不会分开，F 应该满足什么条件？
【解析】(1)把没有外力F 作用时物体所处的位置为平衡位置，则物体被外力压下去后，根据对称性，当两木板到达最高点时，其回复力和最低点的回复力大小相等，也为F .此时共同的加速度由牛顿第二定律求得a ＝F /2m
A 物体受到重力与支持力N ，再应用牛顿第二定律有：mg －N ＝ma 所以N ＝mg －ma ＝mg －F /2
(2)要使两板不分离，则N ≥0，由上式得F ≤2mg
【点评】此题利用了简谐运动的对称性来解题，关于平衡位臵对称的两点，回复力大小和加速度大小相等.
【例题9】一轻质弹簧直立在地面上，其劲度系数为k =400N /m ，在弹簧的上端与空心物体A 连接，物体B 置于A 内，B 的上下表面恰好与A 接触，如图所示。

A 和B 质量均为1kg ，先将A 向上抬高使弹簧伸长5cm 后静止释放，A 和B 一起做上下方向的简谐运动，已知弹簧的弹性势能决定于弹簧形变量大小(g 取10m /s 2
,阻力不计)求： (1)物体A 的振幅； (2)物体B 的最大速率；
(3)在最高点和最低点A 和B 的作用力
【解析】(1)振子在平衡位臵时,所受合力为零,设此时弹簧被压缩△
x.
(m A +m B )g=k △x,5cm k
g
)m m (x B A =+=
∆
开始释放时振子处在最大位移处,故振幅A 为:A=5cm+5cm=10cm
(2)由于开始时弹簧的伸长量恰等于振子在平衡位臵时弹簧的压缩量,故弹性势能相等,设振子的最大速率
为v,从开始到平衡位臵,根据机械能守恒定律:2
mv mgA 2
=
s /4m .12gA v ==
(3)在最高点,振子受到的重力和弹力方向相同,根据牛顿第二定律:
2B
A B A s /20m m m g
)m m (x k a =+++∆=
A 对
B 的作用力方向向下,其大小N 1为:N 1=m B a-m B g=10N
在最低点,振子受到的重力和弹力方向相反,根据牛顿第二定律:
2B
A B A s /20m m m g
)m m (-)A x (k a =+++∆=
A 对
B 作用力方向向上,其大小N 2为:N 2=m B a +m B g =30N 【点评】
2、双弹簧模型：
【例题1】如图所示，三角架质量为M ，沿其中轴线用两根轻弹簧栓一质量为m 的小球，原来三角架静止在水平面上，现使小球做上、下振动，当三角架对水平面的压力最小为零时，求： （1）此时小球的瞬时加速度？
（2）若上下两弹簧的劲度系数均为k ，则小球做简谐运动的振幅为多少？ 【解析】 【点评】
【例题2】（2001上海物理·8）如图所示，一升降机在箱底有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中( CD )
A.升降机的速度不断减小
B.升降机的加速度不断变大
C.先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功
D.到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值
【解析】本题实质上是一个竖直弹簧振子的物理模型问题.当升降机吊索断裂后升降机先做自由落体运动.当底部弹簧刚触地后，由于重力mg 大于弹力F N ，所以升降机仍向下做加速运动，随着弹簧压缩形变越大，向上的弹力也随之增大，所以向下的合力及加速度不断变小，直至mg ＝F N 时，a ＝0，速度达到最大值v m ，这段运动是速度增大、加速度变小的运动.根据动能定理W ＝ΔE k ，即W G －N F W ＝ΔE k ＞0，所以W G ＞N F W ，重力做的正功大于弹力做的负功，当升降机从a ＝0的平衡位置继续向下运动时，由于弹力大于重力，所以加速度方向向上，且不断变大，而速度v 不断变小直至为0，这段过程中，W G －WF N ＝ΔE k ＜0，所以W G ＜N F W ，重力做的正功小于弹力做的负功.由此可知，选项A 、B 错，而C 正确.
把升降机视为一个竖直弹簧振子，如图所示.
弹簧刚触地时升降机的位置在A 点，升降机向下运动到的最低点位置为B 点，速度最大的平衡位置为O 点.在A 点时有向下的速度，A 点为最大位移处到平衡位置中的一点，即A 点并非最大位移点.而B 点速度为零，就是振子平衡位置下方的最大位移点，故BO ＞AO .既然A 点的加速度a A ＝g 方向向下，根据弹簧振子的对称性，那么最大位移B 点的最大加速度a B ＝a m ＞a A ＝g ，方向向上，选项D 正确. 【点评】
⊙ 解题示范 ⊙
【例题1】弹簧振子从距平衡位置5cm 处由静止释放，全振动10次所用的时间为8s ，那么振子的振幅是 m ，周期是 s ，频率是 Hz ，8s 内的位移大小是 m ，8s 内的路程是 m 。

【解析】 【点评】
【例题2】弹簧振子的振幅取决于________，振幅的大小标志着_______。

【解析】。