中考数学冲刺班复习资料 代数部分第三章 方程和方程组

第三章：方程和方程组
一、基础知识点：
一、方程有关概念
1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元方程 1、一元一次方程
（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0） （2）一玩一次方程的最简形式：ax=b （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0） （3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。

（4）一元一次方程有唯一的一个解。

2、一元二次方程
（1）一元二次方程的一般形式：02
=++c bx ax （其中x 是未知数，a 、b 、c 是已知数，a ≠0）
（2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。

（4）一元二次方程的根的判别式：ac b 42
-=∆ 当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根； 当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根； 当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解； 当Δ≥0时⇔方程有两个实数根
（5）一元二次方程根与系数的关系：
若21,x x 是一元二次方程02
=++c bx ax 的两个根，那么：a
b x x -
=+21，a
c x x =
⋅21 （6）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
0)(21212=++-x x x x x x
三、分式方程
（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

（2）分式方程的解法：
一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。

特殊方法：换元法。

（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。

四、方程组
1、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。

2、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组
3、一次方程组：
（1）二元一次方程组：
一般形式：⎩⎨⎧=+=+222
1
11c y b x a c y b x a （212121,,,,,c c b b a a 不全为0）
解法：代入消远法和加减消元法
解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。

（2）三元一次方程组：
解法：代入消元法和加减消元法 4、二元二次方程组：
（1）定义：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组以及由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组。

（2）解法：消元，转化为解一元二次方程，或者降次，转化为二元一次方程组。

考点与命题趋向分析
二、例题讲解：
一、一元二次方程的解法 例1、解下列方程： （1）
2)3(2
1
2=+x ；（2）1322=+x x ；（3）22)2(25)3(4-=+x x 分析：（1）用直接开方法解；（2）用公式法；（3）用因式分解法 解：略
[规律总结]如果一元二次方程形如)0()(2
≥=+n n m x ，就可以用直接开方法来解；利用公式法可以解任何一个有解的一元二次方程，运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式。

例2、解下列方程：
（1）)(0)23(2
为未知数x b a x a x =+--；（2）0822
2=-+a ax x
分析：（1）先化为一般形式，再用公式法解；（2）直接可以十字相乘法因式分解后可求解。

[规律总结]对于带字母系数的方程解法和一般的方程没有什么区别，在用公式法时要注意判断△的正负。

二、分式方程的解法： 例3、解下列方程：
（2）11
1
122-+=-x x ；（2）526222=+++x x x x 分析：（1）用去分母的方法；（2）用换元法 解：略
[规律总结]一般的分式方程用去分母法来解，一些具有特殊关系如：有平方关系，倒数关系等的分式方程，可采用换元法来解。

三、根的判别式及根与系数的关系
例4、已知关于x 的方程：032)1(2
=+++-p px x p 有两个相等的实数根，求p 的值。

分析：由题意可得∆=0，把各系数代入∆=0中就可求出p ，但要先化为一般形式。

[规律总结]对于根的判别式的三种情况要很熟练，还有要特别留意二次项系数不能为0 例5、已知a 、b 是方程0122
=--x x 的两个根，求下列各式的值： （1）2
2
b a +；（2）
b
a 11+ 分析：先算出a+
b 和ab 的值，再代入把（1）（2）变形后的式子就可求出解。

[规律总结]此类题目都是先算出两根之和和两根之积，再把要求的式子变形成含有两根之和和两根之积的形式，再代入计算。

但要注意检验一下方程是否有解。

例6、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别比方程052
=--x x 的两个根小3 分析：先出求原方程的两根之和21x x +和两根之积21x x 再代入求出)2()3(21-+-x x 和
)3)(3(21--x x 的值，所求的方程也就容易写出来。

解：略
[规律总结]此类题目可以先解出第一方程的两个解，但有时这样又太复杂，用根与系数的关系就比较简单。

三、方程组
例7、解下列方程组：
（1）⎩⎨⎧=-=+52332y x y x ； （2）⎪⎩
⎪⎨⎧=++=--=-+4
3521
2z y x z y x z y x
分析：（1）用加减消元法消x 较简单；（2）应该先用加减消元法消去y ，变成二元一次方程组，较易求解。

解：略
[规律总结]加减消元法是最常用的消元方法，消元时那个未知数的系数最简单就先消那个未知数。

例8、解下列方程组：
（1）⎩⎨⎧==+127xy y x ； （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+---25
43432
222y x y x y xy x 分析：（1）可用代入消远法，也可用根与系数的关系来求解；（2）要先把第一个方程因式
分解化成两个二元一次方程，再与第二个方程分别组成两个方程组来解。

解：略
[规律总结]对于一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般用代入消元法，对于两个二元二次方程组成的方程组，一定要先把其中一个方程因式分解化为两个一次方程再和第二个方程组成两个方程组来求解。

三、课堂练习：
1． 方程x 2
+2x-3=0的根的情况是（ ）
A 、有两个相等的实数根
B 、有两个不相等的实数根
C 、只有一个实数根
D 、没有实数根 2． 某种肥皂零售价每块2元，凡购买二块以上（含二块），商场推出两中优惠销售办法，第一种：“一块按原价，其余按原价的七折优惠”；第二种：“全部按原价的八折优惠”。

你在购买相同数量的情况下，要使第一种办法比第二种办法得到的优惠多，最少需要购买肥皂（ ） A 、5块 B 、4块 C 、3块 D 、2块
3． 已知关于x 的不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧>-><a x x x 12无解，则a 的取值范围是（ ）
A.a ≤-1
B.a ≥2
C. -1＜a ＜2
D. a ＜，或a ＞2
4． 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤--
〉x
x x 2843
2的最小整数解为（ ） A 、－1 B 、0 C 、1 D 、4 5． 方程（
11-x ）2
－1
1-x －2=0的解为（ ） A 、－1，2 B 、1，－2 C 、0，3/2 D 、0，3
6． 一个电器商店卖出一件电器，售价为1820元，以进价计算，获利40%，则进价为（ ） A.728元
B.1300元
C.1092元
D.455元
7． k 为实数，则关于x 的方程01)12(2
=-+++k x k x 的根的情况是（ ）
A ． 有两个不相等的实数根
B 、有两个相等的实数根
C 、没有实数根
D 、无法确定 8． 已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有16个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝矿泉水（ ）A. 3瓶 B. 4瓶 C. 5瓶 D. 6瓶
9． 不等式组⎩
⎨⎧->-≥-3120
1x x 的整数解是（ ） (A) –1，0 (B)–1，1 (C) 0，1 (D) 无解
10． 某农场挖一条960m 长的渠道，开工后每天比原计划多挖20m ，结果提前4天完成
了任务。

若设原计划每天挖xm ，则根据题意可列出方程（ ）
A. 960960204x x -+=
B. 960209604x x +-=
C. 960960204x x --=
D. 960209604x x --=
11．
已知关于x 的一元二次方程()04
12
2=+
+-d x r R x 没有实数根，其中R ，r 分别为⊙1O ，⊙2O 的半径，d 为此两圆的圆心距，则⊙1O ，⊙2O 的位置关系是（ ） （A ）外离（B ）相切（C ）相交（D ）内含 12． 不等式x 23-＞0的解是（ ）（A ）x ＞23
（B ）x ＞23-（C ）x ＜23（D ）x ＜2
3-
13． 下列方程有实数根的是（ ）
A ． x 2
－x －1＝0 B. x 2
＋x ＋1＝0 C. x 2
－6x ＋10＝0 D. x 2
－2x ＋1＝0
14． 有解集2＜x ＜3的不等式组是（ ）
A. ⎩⎨⎧>>23x x
B. ⎩⎨⎧<<23x x
C. ⎩⎨⎧<>23x x
D. ⎩
⎨⎧><23
x x 15．
已知2是关于x 的方程
022
32
=-a x 的一个解，则12-a 的值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
16． 分式方程
011
112=++--x x
x 的解是( ) A.x=0 B.x=1 C.x=-1 D.x 1=1,x 2=-1 17．
已知关于x 的方程x 2
+3x+k=0有一个根是-1,则k 的值等于( )
A.4
B.-4
C.2
D.-2
18． 一元二次方程x 2-px+q=0的两根为3、-4，那么二次三项式x 2
+px+q 可分解为（ ） A. （x-3）(x+4) B. (x+3)(x-4) C.(x-3)(x-4) D.(x+3)(x+4) 19．
方程组22(3)9
20
x y x y ⎧-+=⎨+=⎩的解是( )．
A ．1100x y =⎧⎨=⎩ 22245125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
B ．1100x y =⎧⎨=⎩ 22245
125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
C ．1100x y =⎧⎨=⎩ 22125245x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
D ．1100x y =⎧⎨=⎩ 2224512
5x y ⎧=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
20．
关于x 的方程
1222
x m
x x -=+--无解，则m 的值是( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2
21． 关于x 的一元二次方程（m+1）x 2
+x+m-3=0有于根为0，则另一根为（ ） A.4
1
-
B.
4
1 C.-1 D.3
22． 关于x 的一元二次方程（a-1）x 2
+x+a 2
-1=0的一个根是0，则a 的值为（ ）
A 、1
B 、－1
C 、1或－1
D 、1/2 23．
解方程22
113()20x x x x +
-++=，设1
y x x =+
，那么原方程变形为（ ） A ．230y y -=
B ．2320y y -+=
C ．2340y y --=
D ．2340y y -+=
24．
若关于x 的一元二次方程2210kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．1k <
B ．1k ≤
C ．1k <且0k ≠
D ．1k ≤且0k ≠
25． 把100元存入银行，存期一年，计划选择下列种方案之一：⑴活期储蓄（月利率
0.72%）；⑵整存整取储蓄（一年期年利率1.98%），对此估计、比较后，将较高收益的方案的序号写在横线上＿＿＿＿； 26．
在方程x 2
+
x
x 312
-=3x －4中，如果设y=x 2
－3x ，那么原方程化为关于y 的整式方程是 ；方程()02=-x x 的根是 .
27．
已知x y ==⎧⎨
⎩1
2
是方程ax y -=35的一个解，则a =________；
28．
如果21,x x 是方程0342=++x x 的两根，那么2
1
12x x x x +＝＿＿＿＿. 29．
请根据所给方程
15
66=++x x ，联系生活实际，编写一道应用题。

（要求题目完整，题意清楚，不要求解方程）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 30．
如果方程组⎩⎨⎧+==m
x y x
y 242只有一个实数解，则m 的取值为________________；
31．
写出一个以⎩
⎨
⎧==70y x ，
为解的二元一次方程组 . 32． 若一个三角形的三边长均满足方程0862=+-x x ，则此三角形的周长
为 . 33．
已知21,x x 是方程01932=+-m x x 的两根，且3
1m
x =
，则m 的值为________。

34． 某出租车公司在“五一”长假期间平均每天的营业额为5万元，由此推断5月份的总营业额均为5×31=155万元。

根据所学的统计知识，你认为这样的推断是否合理？答： ； 35． 国家规定储蓄存款需征收利息税，利息税的税率是20％（即储蓄利息的20％）。

小江在银行存入人民币2千元，定期一年，年利率为2.25%，存款到期时，应交利息税＿＿＿＿元 36．
当x ＝1时，代数式13++bx ax 的值为2002，则当x ＝－1时，代数式1
3++bx ax 的值为＿＿＿＿。

37．
如果一元二次方程022=--a ax x 的两根之和为34-a ，则两根之积
为 ； 38． 如果方程0822=-+kx x 有一个实数根是2，那么k =__________.
39． 若关于x 的方程032=--a ax x 的一个根是－2，则它的另一个根是 。

40．
如果关于x 的一元二次方程2x 2
-mx+4=0,的两根为x 1,x 2且满足
22
1
12=+x x x x ，那么 m 的值为 。

一元二次方程012
=-+x x 的根是__________；
41．
若不等式3241x a
x x >⎧⎨+<-⎩
的解集为x>3，则a 的取值范围是 ·
42．
解不等式
3
1
222-〉
+x x ，并把解集在数轴上表示出来。

43．
（1）解不等式组：()⎪⎩⎪⎨⎧≤-+>+052532x x x （2） 解不等式组：()⎪⎩⎪
⎨⎧-≥--〉+35663
41513x x x x
44． x 取哪些正整数值时，代数式2)1(-x －4的值小于(x+1)(x-5)+7的值？ 45． 解方程：
12
22=+-+x
x x x ； 46．
（1）解方程04)1(3122
=++-+x x x x （2）解方程：71
)
1(61)1(2=-+++-x x x x
47． 已知α是锐角，且tan α，cot α是关于x 的一元二次方程0822=-+-k kx x 的两个实数根，求k 的值 48．
已知关于x 的方程x 2-2ax+a 2-2a+2=0的两个实数根x 1,x 2满足x 12+x 22
=2,求a 的值.
49． Rt ΔABC 中，∠C=900，斜边c=5，两直角边的长a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2
－mx+2m －2=0的两个根，求Rt ΔABC 中较小锐角的正弦值。

50．
已知抛物线y=
14
mx 2
－2mx+4m
－3与x 轴的两个交点的坐标为A(x 1，0)，B(x 2，
0)(x l <x 2)，且22
12x x +=34． (1)求m ，x 1，x 2的值； (2)在抛物线上是否存在点C ，使△
ABC 是一个顶角为120°的等腰三角形?若存在，请求出所有点C 的坐标；若不存在，请说明
理由．
51． 九年义务教育三年制初级中学教科书《代数》第三册第59页的例2是：解方程x
4
－6x 2+5=0。

这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的通常解法是： 设x 2
=y ，那
么x 4=y 2，于是原方程变为 y 2－6y+5=0，①，解这个方程，得y l =1，y 2=5．当y=l 时，x 2
=1，
x=±1； 当y=5时，x 2
=5，x=±5。

所以原方程有四个根 x 1=1，x 2=－1，x 3x 4=．
(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，
利用 法达到降次的目的，体现了 的数学思想；
(2)解方程(x 2－x)2－4(x 2
－x)－12=0．
52． 已知关于x 的方程x 2+（2k －3）x+k 2
=0有两个实数根x 1、x 2，且x 1+x 2=x 1x 2，求k 的值。

53． 某农户在承包的荒山上共种植了44棵樱桃树，2002年采摘时，先随意采摘5棵树上的樱桃，称得每棵树上的樱桃重量如下：(单位：千克)
35 35 34 39 37
(1)根据以上数据估计该农户2002年樱桃的产量是多少千克? (2)已知该农户的这44棵树在2000年共收获樱桃1100千克，若近几年的产量的年增长率相同，依照(1)中估计的2002年产量，预计2003年该农户可收获樱桃多少千克?
2011年中考复习专项训练-------方程和方程组 说明：本试卷共4页，考试用时45分钟，满分100分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．方程11x -=的解是 （ ） A ．1x -=
B ．0x =
C ．1x =
D ．2x =
2．一件衣服标价132元，若以9折降价出售，仍可获利10％，则这件衣服的进价是（ ） Ａ．106元
Ｂ．105元 Ｃ．118元 Ｄ．108元
3．方程2
16x =的解是 （ ）
A ．4x =±
B ．4x =
C ．4x =-
D ．16x =
4．把方程2460x x --=化成2()x m n +=的形式应为 （ ）
一共花了170元
A ．2(4)6x -=
B ．2(2)4x -=
C ．2(2)2x -=
D ．2(2)10x -=
5．已知 是方程 的一个解，那么a 的值是 （ ）
A ．1
B ．3
C ．－3
D ．－1
6．已知代数式 与
是同类项，那么a 、b 的值分别是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．若关于x 的 方程有增根，则m 的值是 （ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．－1
8．根据下列表格的对应值：
判断方程02
=++c bx ax (a ≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x 的范围是 （ ） A ．3＜x ＜3.23 B ．3.23＜x ＜3.24 C ．3.24＜x ＜3.25 D ．3.25 ＜x ＜3.26
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。

）
9．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为________． 10．杏花村现有汽车188辆，比2004年底的3倍还多17辆，则该村2004年底有汽车
辆．
11．河源市政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，
由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x ，由题意可列方程为________． 12．关于x 的两个方程534x x -=与120ax -=的解相同，则a =__________． 13．已知二元一次方程组 ，则x y +=__________． 14．方程 的解是 ．
15．已知a 、b 互为相反数，且325a b -=，则22a b +=__________． 16．如图，某商场正在热销2008年北京奥运会的纪念品，
小华买了一盒福娃和一枚奥运徽章，已知一盒福娃的 价格比一枚奥运徽章的价格贵120元，则一盒福娃价
11
x y ⎧⎨-⎩==23x ay -=131
2
a x y -23b
a b
x y -+-21
a b ⎧⎨-⎩==2
1a b ⎧⎨⎩==21a b -⎧⎨-⎩==21
a b -⎧⎨⎩
==1011
m x
x x --=--2728
x y x y +⎧⎨
+⎩==2
33
2
x x =--
格是__________元． 三、解答题（共52分）
17．（8分）解分式方程：
18．（10分）已知直线6x y k --+=和直线341x y k ++=，若它们的交点在第四象限，求k 的取值范围．
19．（10分）如图所示，某小区规划在一个长为40米，宽为26米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为144米2
，求小路的宽度？
20．（12分）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81
台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
21
133x x x
-+=-
-A B
21．（12分）为了拉动内需，广东启动“家电下乡”活动．某家电公司销售给农户的I型冰箱和II型冰箱在启动活动前一个月共售出960台，启动活动后的第一个月销售给农户的I型冰箱和II型冰箱的销售量分别比启动活动前一个月增长30%、25%，这两种型号的冰箱共售出1228台．
（1）在启动活动前一个月，销售给农户的I型冰箱和II型冰箱分别为多少台？
（2）若I型冰箱每台价格是2298元，II型冰箱每台价格是1999元．根据“家电下乡”
的有关政策，政府按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴，问启动活动后的第一个月销售给农户的1228台I型和II型冰箱，政府共补贴了多少元？（结果保留2个有效数字）。