离散型随机变量及其分布列 高考数学总复习 高考数学试题详细解析

12.4 离散型随机变量及其分布列
一、选择题
1．已知随机变量X的分布列如下表：
则m的值为(
A.1
15 B.
2
15
C.
1
5
D.
4
15
解析利用概率之和等于1，得m＝
3
15
＝
1
5
.
答案C
2．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是( )
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚1点，第二枚6点
D．第一枚6点，第二枚1点
解析第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5，故选D.
答案 D
3．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝
a
n n＋1
(n＝1,2,3,4)，其
中a是常数，则P(1
2
＜X＜
5
2
)的值为( )
A.2
3
B.3
4
C.4
5
D.5
6
解析 由(
11×2＋12×3＋13×4＋14×5
)×a ＝1. 知45a ＝1 ∴a ＝54
. 故P (12＜X ＜52)＝P (1)＋P (2)＝12×54＋16×54＝56.
答案 D
4．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)的值为( )．
A ．1 B.12 C.13 D.15
解析 设X 的分布列为：
即“X ＝0”表示试验失败，“X p ，成功的概率为2p .由p ＋2p ＝1，则p ＝1
3，因此选C.
答案 C
5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于
( )．
A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582
B ．
C 912⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫5823
8
C ．C 911
⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭
⎪⎫382
D ．C 911
⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭
⎪⎫582
解析 “X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此
P (X ＝12)＝38C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582
.
答案 D
6．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( )．
A.15
B.25
C.35
D.4
5
解析 P (ξ≤1)＝1－P (ξ＝2)＝1－C 14C 2
2
C 36＝45
.
答案 D
7．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为 ( )．
A.1220
B.2755
C.27220
D.2155
解析 用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量．当X ＝4时，说
明取出的3个球有2个旧球，1个新球，∴P (X ＝4)＝C 19C 2
3
C 312＝27220
，故选C.
答案 C 二、填空题
8．随机变量X 的分布列如下：
其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝______. 解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝2
3.
答案 2
3
9.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至少命中一次的
概率为
16
25
，则该队员每次罚球的命中率为____________． 解析 由251612=-p 得5
3
=p
答案 35
10．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i
10，(i ＝1,2,3,4)，则P ⎝
⎛⎭⎪⎫12＜X ＜72＝________.
解析 P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2＜X ＜72＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝35.
答案
3
5
11．如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们
在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2. 现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信 息总量为ξ，则P (ξ≥8)＝________.
解析法一由已知ξ的取值为7,8,9,10，
∵P(ξ＝7)＝C2
2
C1
2
C3
5
＝
1
5
，
P(ξ＝8)＝C2
2
C1
1
＋C2
2
C1
2
C3
5
＝
3
10
，
P(ξ＝9)＝C1
2
C1
2
C1
1
C3
5
＝
2
5
，
P(ξ＝10)＝C2
2
C1
1
C3
5
＝
1
10
，
∴ξ的概率分布列为
∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)
＝3
10＋
2
5
＋
1
10
＝
4
5
.
法二P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－C2
2
C1
2
C3
5
＝
4
5
.
答案4 5
12．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取2个球，则取出的红球个数X的取值集合是________．解析甲袋中取出的红球个数可能是0,1,2，乙袋中取出的红球个数可能是0,1，故取出的红球个数X的取值集合是{0,1,2,3}．
答案 {0,1,2,3}
三、解答题
13．口袋中有n(n∈N*)个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球
的次数为X.若P(X＝2)＝
7
30
，求：
(1)n的值；
(2)X的分布列．
解析 (1)由P(X＝2)＝
7
30
知
C1
3
C1n
＋3
×
C1n
C1n
＋2
＝
7
30
，
∴90n＝7(n＋2)(n＋3)．∴n＝7.
(2)X＝1,2,3,4
且P(X＝1)＝
7
10
，P(X＝2)＝
7
30
，P(X＝3)＝
7
120
，
P(X＝4)＝
1 120
.
∴X的分布列为
14.袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个．从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列；
(3)计分介于20分到40分之间的概率．
解析(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝
C3 5C1
2
C1
2
C1
2
C3
10
＝
2
3
.
(2)由题意知，X有可能的取值为2,3,4,5，取相应值的概率分别为．
P(X＝2)＝C2
2
C1
2
＋C1
2
C2
2
C3
10
＝
1
30
；
P(X＝3)＝C2
4
C1
2
＋C1
4
C2
2
C3
10
＝
2
15
；
P(X＝4)＝C2
6
C1
2
＋C1
6
C2
2
C3
10
＝
3
10
；
P(X＝5)＝C2
8
C1
2
＋C1
8
C2
2
C3
10
＝
8
15
.
所以随机变量X的分布列为：
C，则P(C)＝P(X
＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝
2
15
＋
3
10
＝
13
30
.
15．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列．
解析 (1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率
P ＝C 14C 16＋C 24C 210
＝3045＝23.
⎝
⎛⎭⎪⎫或用间接法，即P ＝1－C 26
C 2
10＝1－1545＝23. (2)依题意可知，X 的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且 P (X ＝0)＝C 04C 2
6C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 1
6C 210＝2
5
，
P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16
C 210＝215
，
P (X ＝60)＝C 11C 13
C 210＝115
.
所以X 的分布列为：
【点评】 常出现，其解题的一般步骤为：,第一步：理解以实际问题为背景的概率问题的题意，确定离散型随机变量的所有可能值；,第二步：利用排列、组合知识或互斥事件，独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；,第三步：画出随机变量的分布列；,第四步：明确规范表述结论；
16.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的
概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率．
解析X的取值分别为1,2,3,4.
X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，
故P(X＝1)＝0.6.
X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，
故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，
故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，
故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
∴李明实际参加考试次数X的分布列为
1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.997 6.。