第03章 第02节 应变分析

u u ( x, y , z ) v v ( x, y , z ) w w( x, y, z )
或
ui ui ( x, y, z )
小变形几何方程
1、位移与应变
变形体内无限接近两点的位移分量间的关系
ui ui ( x, y, z )
ui ' ui ui ui ( x dx, y dy, z dz)
u x
2L 当x=L/2时，u L, 得c L 2L H
L 2H x
同理：
v
H
2H
y
小变形几何方程
u x v y y w z z
x
1 u v ) 2 y x 1 v w yz zy ( ) 2 z y 1 w u zx xz ( ) 2 x z
l
拉伸
2l 和 2l
压缩
l


2l l l 2l 100%; 50% l 2l
2l l 1 ln ln 2 69%; ln ln 69% l 2l 2
小变形几何方程
1、位移与应变
质点 M→M1 ——靠弹性或塑性变形实现。 位移：变形体内任一点变形前 后的直线距离(MM1) 位移分量：在坐标系中，一点的位移矢量在三个坐标轴上的投影称为 该点的位移分量。用u，v，w或ui表示。 位移场：变形体内不同点的位移分量不同。根据连续性基本假设， 位移分量应是坐标的连续函数，而且一般都有连续的二阶 偏导数。
r1 rx r rx rx
棱边PA在x方向的线应变：
y
x
rx
rx
ry rz z rz
ry
应变的基本概念
1、名义应变及其分量
CPA C1PA 1
相对切应变（工程切应变）： 单位长度上的偏移量或两棱边所夹直角的变化量
r
ry
w
H
H
z
设压下量为δH时，长宽方向伸长2δL 由体积不变条件：
L2 H ( L 2L)2 ( H H )
展开，略去高阶微量
L2 H L2 H 4LHL 4HL2 L2H 4LLH 4ห้องสมุดไป่ตู้2H
L LH 4H
设：u=cx+d 当x=0时，u=0, 得 d=0
rx ry rz 1 1 1 xy yx xy yx ( xy yx ) 2 2 2 1 1 1 yz zy yz zy ( yz zy ) 2 2 2 1 1 1 zx xz zx xz ( zx xz ) 2 2 2
称真实应变。
应变的基本概念
2、对数应变及其分量 对数应变的优点： 1、表示变形的真实情况； 2、具有可加性：总应变为各阶段应变之和。
l0
拉伸
l1
拉伸
l2
拉伸
l3
01
l1 l0 l l l l ; 12 2 1 ; 23 3 2 l0 l1 l2
03
l3 l0 l0
ui
ui dx j x j
若无限接近的两点的连线MM'平行于某一坐标轴，例如MM'∥x轴，则
u u dx x v v dx x w w dx x
若已知变形物体内一点M的位移分量，则与 其邻近一点M'的位移分以可以用M点的位移 分量及其增量来表示。
xy yx (
第三章 金属塑性变形的力学基础
第二节
应变分析
知识回顾
x xy xz ij yx y yz zx zy z
u x v y y w z z
x
1 u v ) 2 y x 1 v w yz zy ( ) 2 z y 1 w u zx xz ( ) 2 x z
1 u v ) 2 y x
1 u v ) 2 y x 1 v w yz zy ( ) 2 z y 1 w u zx xz ( ) 2 x z
x
xy yx (
(3-66)
ui
ui dx j x j
M '点相对于M 点的位移增量
小变形几何方程
1、位移与应变
u u u u dx dy dz x y z v v v v dx dy dz x y z w w dx w dy w dz x y z
03 01 12 23
l3 l1 l2 01 ln ;12 ln ;23 ln l0 l1 l2 01 12 23 ln l l l1 l ln 2 ln 3 ln 3 03 l0 l1 l2 l0
应变的基本概念
2、对数应变及其分量 对数应变的优点： 1、表示变形的真实情况； 2、具有可加性：总应变为各阶段应变之和。 3、具有可比性：拉伸后再压缩至原长，对数应变相等，仅差一符号。
x
rx
; y
ry
; z
rz
x xy xz ij yx y yz zx zy z
x , y , y , xy , yx , yz , zy , zx , xz统称为应变分量。
u ub u b1b2 a1b2 v vb dy v
vb dy
ub
u v dx, vc dx x x u v ub dy, vb dy y y
u c
t an yx
u u dy y y v v dy(1 ) 1 y y
3、同一质点的不同方位，有不同的变形值 4、物体变形时，单元体一般将同时发生平移、转动、正变形和剪变 形。除去刚体位移后，才能得到纯变形。
应变的基本概念
1、名义应变及其分量
设单元体PABC→P1A1B1C1 PA:rx →r1= rx+δr
线变形(δr)：单元体棱边的伸长或缩短 线应变（正应变—ε）：单位长度上的线变形 棱边PA的线应变：
应变的基本概念
P→P1 剪斜了 Q → Q1 平移到Q1 ，未变形 P→P1 缩短且转动一角度 Q → Q1转动一角度，但未变形
应变的基本概念
由以上实例可以得到以下概念： 1、变形就是各点位移不同，致使各点相对位置发生变化。 2、变形 正变形（线变形）：线性尺寸伸长或缩短 切变形（角变形）：单元体发生畸变
tan yx yx yx xy
应变的基本概念
1、名义应变及其分量
xy yx xy 1 xy yx 2 ( xy yx )
xy xy z yx yx z 1 z ( yx xy ) 2
v y 1 y
tan xy xy
tan yx yx
v x
u y
小变形几何方程
2、小变形几何方程
tan yx yx u y
tan xy xy
v x
xy yx (
u x v y y w z z
r 2 dx 2 dy 2 dz 2
点的应变状态
变形后 ab
移至
a1b1
长度： r1 r r
在三个轴上的投影：
dx+δu, dy+δv, dz+δw
r12 (r r ) 2 r 2 2rr r 2
1 ui u j ij ( ) 2 x j xi
(3-66a)
小变形几何方程
3、例题
例一：矩形柱体在无摩擦的光滑平板间压缩。 设：u,v,w线性分布,压下量δH:
w az b
当z=0时，w=0, z=H时，w= -δH 所以： b 0, a
H
H
小变形几何方程
x xy xz ij yx y yz zx zy z
xy yx , yz zy , zx xz
应变的基本概念
1、名义应变及其分量
角标的意义：第一个角标表示线元（棱边）的方向，第二个角标表示 线元的偏转方向。如γxy表示x方向的线元向y方向偏转的角度。
第三章 金属塑性变形的力学基础
第二节 应变分析
第一讲 应变与小变形几何方程
应变的基本概念 小变形几何方程 应变连续方程
应变的基本概念
P→P1 拉长变细 Q → Q1 单元体取的方位不同，变形方式不同，歪斜了
P→P1 沿中心线压扁 Q → Q1 由于摩擦的作用，压扁且歪斜了 R → R1 成鼓形后有明显的角度偏转
xy yx (
2L H u x x L 2H
u H x 2H v H y y 2H w H z z H
v
H
2H
y
x
1 u v )0 2 y x 1 v w yz zy ( ) 0 2 z y 1 w u zx xz ( ) 0 2 x z
小变形几何方程
2、小变形几何方程
u u u u x dx y dy z dz v v v v dx dy dz x y z w w dx w dy w dz x y z
u v dx, vc dx x x u v ub dy, vb dy y y
u c
小变形几何方程
2、小变形几何方程
x
a1c2 ac u uc u dx dx uc u dx x
a1b2 ab v vb v y dy dy v v b dy y
小变形几何方程
2、小变形几何方程
tan yx
应变的基本概念
2、对数应变及其分量
l n l0 l0
变形体由l0→ln可看作是经无穷多个中间数值逐渐变成。
l1 l0 l2 l1 l3 l2 l l n n1 l0 l1 l2 ln1
应用微分的概念

ln
l0
l0 dl ln l ln
——自然应变（对数应变），反映了物体变形的实际情况，也
ui ' ui ( x dx, y dy, z dz ) ui ui ui 1 2 ui 2 ui ( x , y , z ) dx dy dz dx 2 x y z 2 x u ui ( x, y, z ) i dx j ui ui x j
xy yx (
第二讲 点的应变状态分析
一点应变状态 体积不变条件
应变状态分析
应变增量
点的应变状态
设任意点a(x,y,z)的应变分量：
x xy xz ij yx y yz zx zy z a)线应变
设线元ab=r r在三个坐标轴上的投影：dx,dy,dz 方向余弦： l dx ; m dy ; n dz r r r 长度：