华师大版数学八年级上册第14章 勾股定理自我评估

第14章勾股定理自我评估
（本试卷满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组数中，是勾股数的是（）
A．6，9，12 B．-9，40，41
C．52，122，132D．6，8，10
2. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c.若∠B=90°，a=6，b=10，则c的长度是（）
A. 10
B. 8
C. 2
D. 14
3. 将直角三角形的三边长同时扩大2倍，得到的三角形是（）
A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 锐角三角形
D. 等腰三角形
4．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积.若S1=3，S2=10，则S3等于（）
A．5 B．7
C．13 D．15
图1 图2 图3
5. 如图2，起重机吊运物体，∠ABC=90°.若AB=5 m，AC=13 m，则BC等于（）
A．12 m B．11 m
C．10 m D．8 m
6. 有四个三角形，分别满足下列条件：①一个内角等于另外两个内角之差；②三个内角度数之比为3∶4∶5；
③三边长度之比为5∶12∶13；④三边长分别为7，24，25.其中是直角三角形的有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
7. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图3所示的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）
A．统计思想B．分类思想
C．数形结合思想D．函数思想
8．如图4，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）
A．17 m B．18 m
C．25 m D．26 m
图4 图5 图6
9. 如图5，在等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC于点D，点E，F在AD上，则图中阴影部分的面积为（）
A．18 B．20
C．26 D．30
10. 如图6，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）A．0.7米B．1.5米
C．2.2米D．2.4米
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.已知直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长的平方为____________.
12．如图7，有一个长为50 cm，宽为30 cm，高为40 cm的长方体木箱，一根长70 cm的木棍____________放入.（填“能”或“不能”）
图7 图8 图9
13.古埃及人曾经用图2所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理
是.
△中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，△DAB的面积为10，则DC的长14．如图9，在Rt ABC
是____________.
15. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图10-①），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b.如果将四个全等的直角三角形按图10-②的形式摆放，那么图10-②中最大正方形的面积为____________.
①②
图10 图11
16. 如图11，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC上的动点，则CF+EF的最小值为____________.
三、解答题（本大题共6小题，共52分）
17. （6分）若三角形三个内角的比是1︰2︰3，最短边长为1，最长边长为2.
求：（1）这个三角形各内角的度数；
（2）另外一条边长的平方.
18. （8分）如图12，每个小正方形的边长为1.
（1）求图中格点三角形ABC的面积;
（2）判断△ABC的形状，并说明理由.
图12
19. （8分）有一块地如图13所示，∠ADC=90°，AD=16，CD=12，AB=52，BC=48，求这块地的面积．
图13
20. （8分）滑撑杆在悬窗中应用广泛．如图14，某款滑撑杆由滑道OC，撑杆AB，BC组成，滑道OC固定在窗台上．悬窗关闭或打开过程中，撑杆AB，BC的长度始终保持不变．当悬窗关闭时，如图15-①，此时点A与点O重合，撑杆AB，BC恰与滑道OC完全重合；当悬窗完全打开时，如图15-②，此时撑杆AB与撑杆BC恰成直角，即∠B=90°，测量得OA=12 cm，撑杆AB=15 cm，求滑道OC的长度．
图14 图15
21. （10分）阅读下面材料：
直角三角形的判定：如果直角三角形的三条边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数．例如：32+42=52，3，4，5是一组勾股数.
古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m2-1，c=m2+1，那么a，b，c为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数.
22. （12分）如图16，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =20，BC =15，点D 为AC 边上的动点，点D 从点C 出发，沿边CA 往A 运动，当运动到点A 时停止，若设点D 运动的时间为t 秒，点D 运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当t =2时，CD =____，AD =____；（请直接写出答案） （2）当t 为何值时，△CBD 是直角三角形；（写出解答过程）
（3）求当t 为何值时，△CBD 是以CB 为腰的等腰三角形？并说明理由.
图16
附加题（共20分，不计入总分）
1. （6分）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦如图1-①所示，数学家刘徽（约公元225年～公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图1-②所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成.若a=2，b=3，则长方形的面积为____________.
2. （14分）勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位.它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要.学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法.请你利用图2所示的图形验证勾股定理：
已知：如图2，在四边形ABCD 中，BD ⊥CD ，AE ⊥BD 于点E ，且△ABE ≌△BCD. 试说明：AB 2=BE 2+AE 2
.
① ②
图1
图2
第14章 勾股定理自我评估
一、1. D 2. B 3. B 4. B 5. A 6. C 7. C 8. A 9. D 10. C 二、11. 5或13 12. 能
13. 如果三角形两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 14. 3 15. 27
16. 5
24
三、见答案详解.
答案详解
10. C 解析：如图1，在Rt △ACB 中，BC =0.7米，AC =2.4米，由勾股定理，得AB 2=0.72+2.42=6.25．在Rt △A ′BD 中，A ′D =2米，由勾股定理，得BD 2+A ′D 2=A ′B 2，即BD 2+22=6.25，解得BD =1.5.所以CD =BC +BD =0.7+1.5=2.2（米）．
16. 解析：如图2，连接BF ，过点B 作BH ⊥AC 于点H.因为AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，所以AD 是BC 的中垂线.所以BF=CF ，BD=CD=3.所以CF+EF=BF+EF≤BH .在Rt △ABD 中，AD 2=AB 2-BD 2=16，所以AD=4.
图1
因为S △ABC
=21BH·AC=21BC·AD ， 所以BH=AD BC AC •=564⨯=5
24.
三、17. 解：（1）设三角形三个内角的度数分别为k ，2k ，3k （k ≠0），则k +2k +3k =180°，解得k =30°. 所以三个内角的度数分别为30°，60°，90°.
（2）由（1）知三角形为直角三角形，则一条直角边长为1，斜边长为2. 设另外一条直角边长为x ，由勾股定理，得2
2
2
12x +=，即x 2=3. 所以另外一条边长的平方为3.
18. 解：（1）如图3，S △ABC =S 长方形ADEF -S △ABD -S △EBC -S △AFC =6×5-21×5×5-21×3×1-2
1×6×2=30-12.5-1.5-6=10. (2)△ABC 是直角三角形.理由如下:
因为AC 2=62+22=40，BC 2=32+12=10，AB 2=52+52=50，所以AC 2+BC 2=AB 2. 所以△ABC 是直角三角形. 19. 解：连接AC .
在Rt △ACD 中，CD=12，AD=16，由勾股定理，得AC 2=AD 2+CD 2=400，所以AC=20. 因为AC 2+CB 2=202+482=2704，AB 2=522=2704，所以AC 2+CB 2=AB 2. 所以△ABC 为直角三角形，且∠ACB=90°. 设这块地的面积为S ，则S=S △ABC -S △ACD =21AC•BC−21CD•AD=21×20×48−2
1
×12×16=480-96=384. 答：这块地的面积为384． 20. 解：设OC=x cm.
因为OA=12cm ，AB=15 cm ，所以AC=（x-12）cm ，BC=（x-15）cm. 在Rt △ABC 中，BC 2+AB 2=AC 2，即（x-15）2+152=（x-12）2，解得x=51. 所以滑道OC 的长度为51 cm ． 21. 解：正确．理由如下：
因为m 表示大于1的整数，所以a ，b ，c 都是正整数.
因为a 2+b 2=（2m ）2+（m 2-1）2=m 4+2m 2+1，c 2=（m 2+1）2=m 4+2m 2+1，所以a 2+b 2=c 2.所以a ，b ，c 为勾股数. 当m =3时，可得一组勾股数6，8，10.（答案不唯一） 22. 解：（1）4 21
（2）在Rt △ABC 中，AB=20，BC=15，由勾股定理，得AC 2=AB 2+BC 2=625，所以AC=25.
图3
①当∠CDB =90°时，S △ABC
=
21AC •BD =21A B •BC ，即21×25BD =2
1
×20×15， 解得BD =12. 所以CD 2=CB 2-BD 2=152-122=81，所以CD=9.所以t =9÷2=4.5； ②当∠CBD =90°时，点D 和点A 重合， 所以t =25÷2=12.5. 综上所述，t 的值为4.5或12.5.
（3）t 的值为7.5或9时，△CBD 是以CB 为腰的等腰三角形.理由如下： ①当CD =BC 时，CD =15.所以t =15÷2=7.5； ②当BD =BC 时，如图4，过点B 作BF ⊥AC 于点F . 由勾股定理，得CF 2=CB 2-BF 2=152-122=81，所以CF=9. 所以 CD =2CF =9×2=18.所以 t =18÷2=9.
综上所述，t 的值为7.5或9时，△CBD 是以CB 为腰的等腰三角形．
图4 附加题
1. 12 解析：如图1，设小正方形的边长为x.因为a=2，b=3，所以AB=2+3=5.在Rt △ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2，即（2+x ）2+（x+3）2=52，整理，得x 2+5x−6=0，即x 2+5x=6.所以长方形的形面积为（2+x ）（3+x ）=x 2+5x+6=1
2.
2. 解：如图2，连接AC ，过点A 作AM ⊥CD ，交CD 的延长线于点M ，则∠M=90°. 因为△ABE ≌△BCD ，所以AB=BC ，AE=BD ，BE=CD ，∠BAE=∠CBD. 因为∠ABE+∠BAE=90°，所以∠ABE+∠CBE=90°，即∠ABC=90°. 因为AE ⊥BD ，BD ⊥CD ，所以∠AED=∠BDC=90°. 所以AE ∥DM. 所以∠EAD=∠ADM.
又因为∠AED=∠M=90°，AD=DA ，所以△AED ≌△DMA.所以AM=DE.
所以S 四边形ABCD =S △ABD +S △BDC =21BD•AE +21BD•CD =21AE•AE +21BD•BE =21AE 2+21
BD•BE . 又因为S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =21AB•BC +21CD•AM =21AB•AB +21BE•DE =21AB 2+21BE•DE ，所以
2
1
AE 2+21BD•BE =21AB 2+2
1
BE•DE.
所以AB 2=AE 2+BD•BE -BE•DE.
所以AB 2=AE 2+（BD−DE ）•BE =BE 2+AE 2.
图1
图2。