实验1 测量误差与数据处理

测量误差与数据处理
物理实验是以测量为基础的。

测量任何物理量，由于测量条件不能尽善尽美、仪器的分度值不可能无限小，所得结果都不会是绝对精确的。

对测量结果精确度的评价是一门专门科学，涉及面非常广泛。

对实验数据的处理和测量误差的分析估算能力，是科学实验技能的一个重要方面，在物理实验课中，对有关知识作初步介绍，并通过具体实验进行最基本的训练。

一、 测量与误差
1、物理量的测量
在科学实验和生产中，所有的物理量都是通过测量得到的。

测量是为确定被测对象的数值多少而进行的实验过程。

在这个过程中通常借助专门的工具、仪器，把被测对象直接或间接地与同类标准量进行比较，得出用数值和单位共同表示的测量结果。

所谓测量就是将被测物理量与作为标准的同类物理量进行比较，从而获得被测物理量的量值为目的的全部操作。

测量各种物理量的具体方法有多种多样。

根据获取测量数据的方式不同，可将测量分为直接测量和间接测量；根据测量条件的不同，可分为等精度测量和不等精度测量。

(1)直接测量 待测物理量可以从量具或仪器上直接读取的方式叫直接测量。

如用米尺测量长度，用天平测量质量，电表测量电压等都是直接测量。

(2)间接测量 待测物理量不能由测量仪器直接读出，而是需要用一些原理和公式由直接测量得到的各物理量推算出来的方式叫间接测量。

如测量圆管的体积V ，先要测量圆管的高度h 、外径D 和内径d ，然后通过公式
计算求得圆管的体积V ，这就是间接测量。

在工程技术中，能直接测量的物理量是很少的，大部分物理量的测量是采用间接测量。

然而，一个物理量的测量需用直接测量还是用间接测量并不是绝对的，通常与仪器的选择有关。

如测量液体的比重，选用量筒和天平作为测量工具为间接测量，选用比重计作为测量工具则为直接测量。

随着科学技术的进步和发展，将有更多、更精密仪器设备以满足对更多物理量进行直接测量。

(3)等精度测量 在相同测量条件下对某一物理量重复n 次测量，得出的数值为1x ，2x ，…，i x ，…，n x ，这几个数值中我们没有理由认为其中某一次测量比另一
次测量更准确些或不准确些，即每次测量的精度是相同的，这种测量称为等精度测量，)(4
122d D h V -π＝
比如在完全相同的条件下，用螺旋测微器对钢珠的直径进行n次的测量即为等精度测量。

测量条件是指一切能影响测量结果，本质上又可控制的全部因素。

测量条件包括：进行测量的人、测量方法、测量仪器及其调整方法、环境条件等。

环境条件是指测量过程中环境的温度、湿度、大气压力、气流、振动、辐射强度等。

(4)不等精度测量测量条件中只要其中一个发生了变化，就变为不等精度测量。

如在不同的环境温度下测量电阻就是不等精度测量，因为电阻是随温度的变化而变化的物理量。

等精度测量与不等精度测量的数据，在处理方法上是不同的，在以下的讨论中所涉及的测量数据均为等精度测量的情况。

2、测量误差
在确定的条件下，反映任何物质（物体）物理特性的物理量所具有的客观真实数值，称为真值。

测量的目的就是力图获得真值。

但是，由于受仪器灵敏度和分辨率、实验原理的近似性、环境的不稳定性以及测量者自身因素的局限，测量总是得不到真值，测量值只能是真值不同程度的近似值。

测量值与真值之间的差异叫测量误差。

如果用x表示测量值，a表示真值，测量误差x∆为：
x-
∆（1）
=
x
a
因为x∆与x具有相同的单位，故又称为绝对误差，简称误差。

随着科学技术的进步，测量误差可以被控制得越来越小。

但实践证明，任何实验的误差都不能降为零，误差始终存在于一切科学实验中，这个结论称为误差公理。

也就是说，从测量的角度来讲，真值不可能确切获得。

因此，将测量的实际值、已修正过的算术平均值等被认为充分接近真值，可用来替代真值，用来替代真值的量值称为约定真值。

这样一来，绝对误差就是测量结果与约定真值之差。

误差既然是客观存在，那么就有必要研究、分析误差的来源和性质。

(1)误差的分类
根据误差产生的原因及性质，可将误差分为两类。

a．系统误差在确定条件下多次测量同一物理量时，测量值总是有规律地朝着某一方向偏离真值，这种误差称为系统误差。

系统误差的特点是误差的数值和符号基本保持恒定，或在条件改变时按一定规律而变化。

系统误差的主要来源有：
①实验装臵误差。

由于仪器本身的缺陷，或者由于测量前没有很好地调节仪器所引起的误差。

比如天平两臂不等长，仪表零点不准等。

②方法或理论误差。

由于测量原理、方法不完善而引起的误差。

比如测量体积时未考虑到膨胀因素，温度变化对仪器本身影响太大等。

③环境误差。

由于外界影响而引起的误差。

比如温度发生变化，电磁场干扰等。

④人员误差。

由于测量者在操作经验、分辨能力、反应速度、读数习惯与偏向引起的误差。

比如有的人读数总是偏大或偏小等。

系统误差服从因果规律，任何一种系统误差，都有其确定的发生原因。

在一定的测量条件下，只要找出产生系统误差的原因，采取一定的措施都能消除或减小系统误差。

发现、减小或消除系统误差，常取决于实验者的经验和素质。

学生在学习过程中要积累这方面的感性知识，结合实验具体情况对系统误差进行分析和讨论。

b ．随机误差 在同一物理量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差称为随机误差。

随机误差的产生是由许多偶然因素造成的，因而也叫偶然误差。

它的特征是误差的大小和符号表面看来没有任何规律性。

随机误差起因于一些随时随地都会发生的微小的不可控制的因素，如无规则的温度变化，气压起伏，地基、桌面的振动，电磁场的干扰，光线的闪动，电压、电流的波动，以及观察者感官（听觉、视觉、触觉）分辨能力的微小变化，以及最小读数的估计产生的误差等等。

这些因素既不可控制，又无法预测和消除。

某次测量的随机误差往往是由多种随机因素共同造成的。

随机误差表面上看来似乎毫无规律，纯属偶然。

然而对多次等精度测量结果的分析可以发现随机误差具有以下一些内在规律性：
①对某一物理量进行了多次等精度测量，每次测量值的误差的绝对值不会超过某一限度，这个特性称为有界性；
②误差数值越大者出现的次数越少，误差数值越小者出现的次数越多，这个特性称为单峰性；
③绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相等，这个特性称为对称性；
④误差的算术平均值随测量的次数的增加而减小。

当测量次数无限增加时，随机误差的算术平均值将趋于零，即：
011
lim =∆∑=∞→n i i n x n （2） 这个特性称为抵偿性。

将（1）式代入上式得：
01)(111
11lim lim lim =-=-=∆∑∑∑=∞→=∞→=∞→a x n a x n x n n i i n n i i n n i i n a x n n i i n =∑=→∞1
1lim （3） 即仅存在随机误差的情形下，测量次数无限多时的算术平均值就是真值。

当测量次数为有限次时，算术平均值最接近真值，因此，在本课程中，我们以算术平均值作为最佳测定值。

(2)仪器的误差
仪器的误差——即国家计量局规定的该项仪器的出厂公差或允差，是一种系统误差。

用合格的仪器或量具进行测量，若操作正确，即使只测一次，其仪器的误差一般不会超过公差。

即出厂公差提供了仪器的最大误差。

额定值通常都标明在仪器或量具上。

如游标卡尺的额定误差就是所标明的精度，通用的有0.02mm 和0.05mm 两种。

本书附录2中收录了部分有关仪器误差的国家标准和检定规程，供估算实验误差
时使用。

3、测量结果的表示
既然任何测量都有误差，那么测量结果的表示格式为：
x x x ∆±= 式中x 为真值的估计值（即测量值），x ∆为测量误差的估计值（即绝对误差）。

这种格式的物理意义是说明真值以一定的可能性（概率）包含在x x ∆-至x x ∆+范围内。

误差的估算方法不同，这个概率的大小也不同。

为了全面反映测量结果的优劣，还需要考虑被测物理量本身的大小。

定义相对误差为绝对误差x ∆与（约定）真值之比。

因为最佳测量值x 与真值最接近，相对误差也可定义为误差与最佳测量值之比。

即相对误差
%x
x E r 100⨯∆=
4、精密度、正确度和准确度
在测量中常用精密度、正确度和准确度来评价测量结果的好坏。

精密度表示测量结果中随机误差大小的程度；正确度表示测量结果中系统误差大小的程度；准确度（精确度）是表示随机误差和系统误差的合成误差大小的程度。

二、有效数字及其运算规则
1、有效数字的一般概念
测量是为确定被测对象的数值而进行的实验过程。

由于测量始终存在误差，因而测量结果的数值就不应无止境地写下去,而只能写到误差所在位。

例如用米尺测量钢棒A 的长度（如图1所示）。

A 棒
长在3.2～3.3㎝之间。

这棒究竟有多长呢？我们可估读为
3.27㎝，也可估读为3.28㎝或
3.29㎝。

这百分位上的7、8、9是估计出来的，而且每人估
计出的值也可能不同，所以我们把这些估计出来的数称为存
疑数字（可疑数字）。

存疑数字前的3.2㎝是仪器测出的确切数字，称为可靠数字。

我们把测量结果的几位可靠数字加上估计的一位数字（可疑数字）统称为有效数字。

测量结果中有几个有效数字，就称为是几位有效数字。

A 棒长度的测量结果3.27㎝、3.28㎝或3.29㎝都是三位有效数字。

图1 长度的测量
在使用有效数字时应注意以下几点：
①数据中第一位非“0”数字前面的“0”不是有效数字。

单位换算不改变有效数字的位数。

②测量结果末位的“0”仍为有效数字。

直接测量的有效数字位数是由被测物理量的大小及仪器的精密度确定的，直接测量取仪器的分度值的读数为可靠数字估读一位为可疑数字。

要注意的是：
3.20㎝ ≠ 3.2㎝。

这是因为3.2㎝是两位有效数字，2是存疑数字。

而3.20㎝的存疑位是0。

因此有效数字位数越多，测量越准确。

有效数字是测量结果的客观反应，它的位数多少不能随意增减。

③电子秒表、电阻箱、便携式电桥等仪器无法进行估读。

这些仪器在测量值的最后一位就存在着仪器误差，就是存疑数字，而不必再估读。

④参与运算的常数，由于它们不是测得量，其有效数字的位数是无限的，可根据需要来选取。

2、有效数字的运算
例1 加减运算 x 1 =20.1， x 2 ＝4.17， x 3 =6.784 求 x 1＋x 2＋x 3＝？
解：写成竖式运算，在下面加一横表示可疑数字。

任一可疑数字与其它数字运算后其结果就是可疑的。

4
50.31478.67
1.41
.20+ 于是作为最终结果，我们只保留一位可疑数字。

x 1＋x 2＋x 3＝31.0；作为中间结果参加下一步运算，我们可以多保留一位可疑数字，即：x 1＋x 2＋x 3＝31.05 。

由此可见，在加减运算中，运算结果的存疑位与参与运算的各量中存疑位最高的为准。

例2 乘除运算 4.178×10.1＝？
解： 写成竖式表示
8791.874187141.10817.4⨯ 400
36
340348781863387.412.11730
.3
按规定 4.178×10.＝42.2 ；41.78÷11.2＝3.73 运算结果三位有效数字与最少的有效数字位数一致。

归纳起来，有效数字的运算规则有如下几点：
加减运算 先找出各数中可疑数字最靠前的，以此数的最后一位数的位臵为标准，对其它数进行取舍，但在运算过程中可以多保留一位。

乘除运算 先找出有效数字位数最少的，以它的有效数位为准对其它数进行取舍，可以多保留一位。

三角函数 三角函数的有效数字位数与其角度（用弧度表示）的有效数字位数相同。

如668.041.2sin =对数的有效数字位数与真值的有效数字位数相同。

如038.1823.2ln =。

幂和根 幂和根的有效数字位数和它们的底的有效数位相同。

但2、π、e 等常数的有效数位在运算中需要几位就取几位。

3、数的修约规则（尾数舍入法则）
对于大量尾数分布概率相同的数据来源，“4”舍“5”入不尽合理。

现在通用“4”舍“6”入，对于“5”，若前面为偶数则舍（“0”作为偶数），若前面为奇数则入，即所谓四舍六入五凑偶，以保证尾数取舍几率相等（根据国家标准《GB3101-93 有关量、单位和符号的一般原则》的《附录B 数的修约规则》）。

三、测量结果的误差估算
1、多次直接测量的误差估算
(1) 算术平均值
在相同条件下对某物理量x 作等精度n 次测量，其观测值分别为n x x x ,,,21 ，称为测量列，若用x 的表示测量列的平均值，则
∑==n
i i x n x 1
1 （4） 由于算术平均值最接近于真值，故称之为近真值。

(2) 算术平均偏差（平均误差） 各观测值与近真值x 的偏差称为残差，分别表示为 ,x x x x
x x ,x x x ,x x x n n i i －＝－＝－＝－＝∆∆∆∆ 2211 算术平均偏差则为
∑=∆=∆n i i x n x 1
1 （5） 由于算术平均值最接近于真值，平均误差x ∆可作为误差的初步估算。

(3)标准偏差
在有限测量次数的情况下，通常用以测量列平均值为参照系的标准偏差作为标准误差的最佳估算值。

对于测量列中单次测量值的标准偏差的表示式为
2
112)(11⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑=n i i x x x n σ （6） 式（6）也称为贝塞尔（Bessel ）公式。

在n 次测量的情况下，以平均值x 表示测量结果，其标准偏差必然要小些，其值仅为测量列单次测量值标准偏差的n 1倍。

平均值的标准偏差表示为
21
12)()1(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==∑=n
i i x x x x n n n σσ （7）
2、单次直接测量的误差估算
由于条件限制，对一个物理量的直接测量只能进行一次；或实验误差以仪器的误差为主；或只测一次就能达到准确度要求的测量。

这种单次测量结果的误差应该根据测量的实验情况进行估算。

在本课程中，我们以仪器的误差作为单次测量的误差。

在要求更准确的科学实验中，单次测量的误差应根据实际的系统误差规律和随机误差的可能分布用严格的误差理论来处理。

3、间接测量误差的估算（误差的传递与合成）
既然直接测量存在误差，间接测量就必然有传递误差。

设间接测得量为N ，各直接测得量为 ,,,z y x 。

间接测得量N 与各直接测得量的函数关系为),,,( z y x f N =。

（1）算术平均值
将各直接测得量的测量结果（即算术平均值）代入间接测得量N 与各直接测得量的函数关系式中，所得结果为间接测得量的最佳测量值，即测量结果（算术平均值）。

),,,( z y x f N = (8)
（2）间接测得量的误差
间接测量中的误差传递公式和全微分公式相同，只要将微分符号“d ”改成误差符号“Δ”，便可得到误差传递公式：
⋯+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆z z
f y y f x x f N （9）
若将函数先取对数，再微分后化为误差公式，则有
),,,(ln ln z y x f N =
⋯+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆z z
f y y f x x f ΝN ln ln ln （10） 式（5）是绝对误差的传递公式，式（6）是相对误差的传递公式。

两个公式中的,x x
f ∆∂∂ ,y y
f ∆∂∂z z f ∆∂∂以及，x x f ∆∂∂ln ，y y f ∆∂∂ln z z f ∆∂∂ln 称为单项误差或分误差，各项中的偏导数称为误差传递系数。

误差传递系数必须在平均值),,,( z y x 处取值。

关于误差的合成，可按下列方式处理。

a.极限误差的合成 用算术平均偏差法处理直接测量误差的，则用极限方法，即绝对值相加的方法合成误差：
⋯+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆z z
f y y f x x f N （11） ⋯+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆z z
f y y f x x f N N ln ln ln （12） 这是因为各直接测得量的误差正、负号出现的可能性是相互独立、偶然的，存在正负误差相互抵消的可能性，估算时应考虑最不利的情况。

现将常用函数关系的极限误差合成公式列于表1中。

表1 常用函数关系的极限误差合成公式
由表1可见，若函数为和差形式，间接测得量的绝对误差便是直接测得量的绝对误差之和。

对此类函数关系的测量，先算出绝对误差，再利用相对误差和绝对误差的关系式计算相对误差，较为方便。

如果函数是积商形式，因间接测得量的相对误差是各直接测得量的相对误差之和，先计算相对误差，再由相对误差求绝对误差就更简便。

在使用表1时，若是多次测量，x ，y ，z ，…，均以平均值代入。

b.方和根合成 用标准偏差估算的各直接测得量的误差、传递过程按方和根法合成，即:将各项误差平方后相加，再开方。

所得结果便是间接测量结果的标准偏差。

其绝对误差和相对误差的算式分别为
21222222⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=＋z y x N z f ln y f ln x f ln N σσσσ （13） 2
1222222⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=＋z y x N z f y f x f σσσσ （14） 式中σx σy σz 等在多次测量情况下，均应是平均标准偏差。

表2 常用函数的方和根合成公式
在精度要求较高的实验中，都采用方和根合成法。

例3 对某一物体的长度测量了10次，结果如下i x ＝63.57，63.58， 63.55 ，63.56，
63.59， 63.55 ，63.54， 63.57， 63.56， 63.57cm 分别用算术平均误差和标准误差表示测量结果。

解：首先根据定义求出平均值x
10
63.57 63.56 63.57 63.5463.5563.59 63.5663.55 63.5863.57101101＋＋＋＋＋＋＋＋＋∑===i i x x 63.564(c m
＝ 第二步根据x x x i i -=∆可求出
cm 10631－⨯=∆x ，cm 106132－⨯=∆x ，cm 101433－⨯-=∆x ，cm 10434－＝⨯∆x ，cm 102635－＝⨯∆x ，cm 101436－＝⨯-∆x ，cm 102437－＝⨯-∆x ，cm 10638－＝⨯∆x ，cm 10439－＝⨯-∆x ，cm 106310－＝⨯∆x ，所以算术平均误差为：
cm)(012.010********
1
=⨯=∆=∆-=∑i i x x x 的标准误差为：
cm)(005.000476.0)110(10)(1012
≈=-⨯-=∑=i i
x x x σ
由于随机误差本身是一个估计值，所以其结果一般只取一位或两位数字。

我们统一只取一位。

于是用算术平均误差表示结果为：
%02.0%1000.01(cm)
63.56r =⨯∆=±=∆±x
x E x x x ＝ 用标准误差表示为
%01.0%1000.005(cm)
63.564r =⨯=±=±x E x x x
x σσ＝
在测量次数很多时（通常为5次以上），x ∆与x σ存在如下关系：
n
x x ∆≈25.1σ （15）
用这种方法我们估计x σ为：
)cm (005.000474.010
012.025.1≈≈≈x σ
4、不同性质误差的合成
自1980年国际计量局提出了关于实验不确定度的《建议书INC —1（1980）》以来，越来越多地使用不确定度来处理实验误差及不同性质误差的合成。

不确定度表示由于测量误差的存在而产生的对被测量值不能肯定的程度。

测量结果的不确定度一般包含好几个分量，这些分量可以按估计其数值时所使用的方法归并成两类：
A 类——用统计方法计算出的分量；
B 类——用其它方法计算出的分量。

任何不确定度的详尽表述应包括列出其全部分量，并注明得出每个分量的不确定度数值时所用的方法。

表达A 类不确定度一般用标准偏差，也可用标准偏差的倍数，B 类不确定度不是用统计方法估算出来的，可借助于有关信息（如以前的数据、可能的分布规律或特点，有关材料和仪器的性能或特点，仪器说明书或检定证书、国家标准或专业标准等）估算，以等价标准偏差表达。

A 类和B 类不确定度的合成称为合成不确定度。

例如，当测量结果的不确定度包含i 个A 类分量i s ，j 个B 类分量j u ，而且这j i +个分量都独立、互不相关时，合成不确定度
[]
2
1
22∑∑+=
j
i
c u s u
如果这j i +个分量中如果有不独立、相关的分量，应用广义的方和根法合成，对此可参阅有关的专著。

B 类分量用等价标准偏差表示的方法是将误差j x ∆除以相应的臵信因子j k ，即
j
j j k x u ∆=
误差的概率分布不同，臵信因子j k 的取值也个相同。

例如按正态分布的误差落在
),(j j x x ∆∆-区间内的概率=j p 0.50、0.68、0.90、0.95、0.99、0.997或1时，相应的
0.67、1、1.6、2、2.6、3。

实验中经常遇到的情况是已知仪器误差，但不知仪器误差的分布规律。

因为仪器误差给出的是误差极限，即1=j p ，如果仪器误差随机性较强，可以假设为正态分布，3=j k ；如果仪器误差系统性较强，可以假设为均匀分布，
3=j k ；如果还分辨不清，则以使不确定度的估计略为偏大的假设为原则，取3=j k 。

即
3
j j x u ∆=
上式是已知仪器误差而不知其分布规律的情形下，决定B 类分量的常用公式。

例题4 用外径千分尺测量一钢球直径的数据为=i D 8.434、8.428、8.421、8.429、8.418、8.417、8.430、8.422（单位：mm ）。

试用不确定度评价测量结果。

解：mm 425.842475.8818
1
≈==∑=i i D D
()()mm
0022.0003.0005.0008.0007.0004.0004.0003.0009.071811112
1
222222222
1
12≈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+++++++=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=
∑=n
i i D
D D n n
σ
D σ是用统计方法得到的平均值的标准偏差，即A 类不确定度
mm 002.0==D s σ。

根据国家标准GB1216—85，在题意给定的测量范围内，千分
尺的示值误差为0.004mm 。

B 类不确定度用等价标准偏差表示为mm 3/004.0=u 。

S 和U 这两个分量是完全独立、不相关的，合成不确定度
()
mm 003.03004.00022.02
1
22
2
1
2
2
≈⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=u
s u c
测量结果可表示为：
mm 003.0425.8±=D
5、实验数据的处理步骤
可将实验数据的处理归纳为：
（1）按实验的要求计算结果（写出公式、代入数据及计算结果），运算过程应符合有效数字规则的要求。

（2）绝对误差只取一位有效数字。

相对误差一般取一位（或二位）有效数字，多余的数按进位法舍弃。

（3）测量结果的有效数字位数依据绝对误差来取舍，最后一位应和绝对误差所在位臵对齐。

（4）测量结果表达形式：
%x x E x
x x r 100⨯∆=∆±= 或 %x
E x x x r x 100⨯=±=σσ
因为x ∆（或x σ）反映的是存在误差而不可靠的数字，因此测量结果的误差一般只取一位不为零的有效数字，最多两位。

又因为x 中与x ∆同位的数字就是存疑数字，
存疑位后面的数字没有保留的必要，可按数字的修约规则处理。

因此测量值与误差的未位应一致，即由误差决定测量值的存疑位。

实验最后结果的相对误差一般只取一位有效数字，最多两位。

但有些实验误差估算时是先算相对误差，然后根据r E x x ⋅=∆算出绝对误差，这时为了不损失测量的准确度，相对误差应取两位有效数字。

四、处理实验数据的几种方法
数据处理就是把实验所得到的原始数据，通过分析、整理、概括和计算，找出各量之间的内在规律性，求得实验结果。

这是实验的重要步骤。

常用的数据处理方法有列表法、作图法、最小二乘法、逐差法等。

1、列表法
列表法就是将一组有关的测量数据和相应的计算按测量先后或计算顺序列成表格。

这样各物理量之间的对应关系简单而又清楚地表示出来了，便于检查测量结果是否合理，便于查找各有关量之间的规律性联系，还有利于有效数字的简化，有利于分析误差与计算结果，也容易发现问题。

列表法是科技工作者最常用的一种处理数据的方法。

列表时应遵守下列原则：
（1）各栏目的排列顺序与测量先后或计算顺序相对应，简单明了。

（2）分类清楚，顺序一致，格式整齐美观。

便于看出实验数据间的关系，便于归纳处理。

（3）在表格的上方写上表格的名称，在表格内的标题栏中注明物理量的名称和单位，不要把单位一一写在数字后。

（4）数据应正确反映测量结果的有效数位。

数字较大或较小时应用科学记数法，表格同一列（行）统一科学记数法时应在标题栏中物理量单位旁注明，而不必每个数据后都写。

2、作图法
作图法是在坐标纸上用图线来描述各物理量之间的关系的一种方法。

这各方法可以形象地、直观地表示出量与量之间的关系及变化规律，因而它是寻找量与量之间的函数关系，寻求经验公式的最常用、最有效的方法之一。

把实验数据用图线表示出来的方法称为图示法，利用图线求出经验公式的方法称为图解法。

用图示法可以作出仪器的校准曲线。

图示法可以方便地得到许多有用的参量，如极值、直线的斜率和截距等；采用内插法可以直接读出未观测区域中的值；采用外推法，在一定条件下，可以直接读到测量数据范围以外的数据。

（1）图示法规则
a.标写图名在坐标图下方中央或上方中央适当位臵标明图号、图线名称。

b.坐标纸的选择用标准方格坐标纸，坐标纸的大小根据实验数据的有效数位和数值范围来确定。

以横坐标代表自变量，纵坐标代表因变量，原则上坐标纸的一小格（也可取二小格）代表可疑数字前面的一位数字，即坐标轴上的最小分度值应与测量仪器的最小刻度相对应，可靠数据在图中也是可靠的，不可靠数据在图中是估计的。

以保证图上读数的有效数位不少于测量数据的有效数位，即不牺牲数据的精度，也不应夸大精度。

c.定坐标轴和坐标分度用粗实线在坐标纸上画好坐标轴，在轴端写上物理量的名称（符号和单位（单位写于斜分数线下），如物理量方向相反时应在符号旁标明正负。

在坐标轴上按比例标出若干的分度值。

分度值的选取应便于读数，坐标轴的起点不一定为“0”。

例如在常用的毫米方格坐标纸上，应以1cm代表1、2、4、5等数学，而不代表3、7、9等。

分度的数字只需相隔10格或5格写一个，测量数据不应写在坐标纸轴上。

分度范围应包括测量数据并略有富余，以便图线能比较均匀对称地在坐标图上居中间位臵，而不只占一角落。

d.描点和连线根据测量数据，用“+”准确标出各点的坐标。

当一张图上要画几条曲线时，每条曲线采用不同的符号标出，如“×”、“Δ”、“⊙”等。

坐标纸上标出的数据点，每一点都包含误差，因此数据点不一定都在同一光滑曲线上。

由于系统误差的特征是定向偏离，随机误差的特征是偏离过大或过小，过失误差的特征是偏离很大，因而我们不能也不可能使曲线通过所有的点，但我们必须使曲线通过尽可能多的点，并使不在曲线上的点大致均匀地分布在曲线两侧。

对于偏离过大的个别点应当舍。