2017-2018学年陕西省咸阳市高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年陕西省咸阳市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合P={x|-1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（）
A. B. C. D.
2.将一个直角三角形绕一直角边所在直线旋转一周，所得的几何体为（）
A. 一个圆台
B. 两个圆锥
C. 一个圆柱
D. 一个圆锥
3.直线（a为实常数）的倾斜角的大小是（）
A. B. C. D.
4.函数y=的定义域是（）
A. B. C. D.
5.下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）
A. B. C. D.
6.圆x2+y2=1与圆（x+1）2+（y+4）2=16的位置关系是（）
A. 相外切
B. 相内切
C. 相交
D. 相离
7.已知函数f（x）=
，＞
，
，则f（f（-2））=（）
A. 2
B.
C.
D.
8.已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（）
A. B. C. D.
9.已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆面，则该几何体的体积为
（）
A. B. C. D.
10.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，若a=f（log25），
b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）
A. B. C. D.
11.已知a∈R且a＞0，a≠1，则函数y=a-x与y=log a x在同一直角坐标系中的图象是（）
A. B.
C. D.
12.已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列命题正确的是（）
A. ，若，则
B. ，，，则
C. ，，则
D. ，，，，，则
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知集合M={x∈N|x＜3}，N={0，2，4}，则集合M∩N中元素的个数为______．
14.若直线l1：mx+2y+1=0与直线l2：x+y-2=0互相垂直，则实数m的值为______．
15.一个底面积为1的正四棱柱的八个顶点都在同一球面上，若这个正四棱柱的高为
，则该球的表面积为______．
16.已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.1]=1，[-1.1]=-2，g（x）=[x]为取整函
数，x0是函数的零点，则g（x0）=______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知两点A（-2，1），B（4，3），两直线l1：2x-3y-1=0，l2：x-y-1=0．求：
（1）过点A且与直线l1平行的直线方程；
（2）过线段AB的中点以及直线l1与l2的交点的直线方程．
18.已知函数（a为常数）是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在（1，3）上的单调性，并予以证明．
19.如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，
BD，PD的中点．
（1）求证：MN∥平面PCD；
（2）求证：平面MNQ∥平面PBC．
20.已知函数f（x）=x2-2x+2在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值为g（t）．
（1）求g（t）的函数表达式；
（2）画出g（t）的简图，并写出g（t）的最小值．
21.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，，点D是棱
AA1的中点．
（1）求证：DC1平面BDC；
（2）求三棱锥C1-BDC的体积．
22.已知以点A（-1，2）为圆心的圆与直线m：x+2y+7=0相切，过点B（-2，0）的动
直线l与圆A相交于M、N两点
（1）求圆A的方程．
（2）当|MN|=2时，求直线l方程．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：集合P={x|-1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，
那么P∪Q={x|-1＜x＜2}=（-1，2）．
故选：A．
直接利用并集的运算法则化简求解即可．
本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力．
2.【答案】D
【解析】
解：将一个直角三角形绕一直角边所在直线旋转一周，
所得的几何体为圆锥，
故选：D．
根据圆锥的几何特征，可得答案．
本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征是解答的关键．
3.【答案】D
【解析】
解：∵直线（a为实常数）的斜率为-
令直线（a为实常数）的倾斜角为θ
则tanθ=-
解得θ=150°
故选：D．
由已知中直线的方程，可以求直线的斜率，进而根据直线斜率与倾斜角的关系，可以求出直线倾斜角的大小．
本题考查的知识点是直线的倾斜角，其中根据直线方程求出直线的斜率是解答本题的关键
4.【答案】A
【解析】
解：由题意得：，
解得：-1＜x≤2，
故函数的定义域是（-1，2]，
故选：A．
根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．
本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．
5.【答案】D
【解析】
解：A：y=-在（0，+∞），（-∞，0）上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数，故A错误
B：y=-log2x的定义域（0，+∞）关于原点不对称，不是奇函数，故B错误
C：y=3x不是奇函数，故C错误
D：y=x3+x，f（-x）=（-x）3+（-x）=-x3-x=-f（x）是奇函数，且由幂函数的性质可知函数在R上单调递增，故D正确
故选：D．
A：y=-在（0，+∞），（-∞，0）上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数；B：y=-log2x的定义域（0，+∞）关于原点不对称，不是奇函数；C：y=3x不是奇函数；D：y=x3+x，f（-x）=（-x）3+（-x）=-x3-x=-f（x）是奇函数，且由幂函数的性质可知函数在R上单调递增
本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性的判断，尤其y=-的单调区间的求解是解答中容易出现错误的地方，要注意掌握．
6.【答案】C
【解析】
解：圆x2+y2=1的圆心（0，0）半径为1；圆（x+1）2+（y+4）2=16的圆心（-1，-4），半径为4，
圆心距为：=，半径和为5，半径差为：3，（3，5）．
所以两个圆的位置关系是相交．
故选：C．
求出两个圆的圆心与半径，通过圆心距与半径的关系判断选项即可．
本题考查圆的位置关系的应用，考查计算能力．
7.【答案】A
【解析】
解：∵函数f（x）=，
∴f（-2）=（）-2=4，
f（f（-2））=f（4）=log24=2．
故选：A．
先求出f（-2）=（）-2=4，从而f（f（-2））=f（4），由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合
理运用．
8.【答案】C
【解析】
解：设t=x+1，
∵函数f（x+1）=3x+2=3（x+1）-1
∴函数f（t）=3t-1，
即函数f（x）=3x-1
故选：C．
换元法整体代入求解．
本题考查了函数解析式的求解，很容易．
9.【答案】C
【解析】
解：由三视图可知几何体为半圆柱，
半圆柱的底面半径r=1，高h=2，
∴半圆柱的体积V==π．
故选：C．
几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，代入体积公式计算即可．
本题考查了常见几何体的三视图，体积计算，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】
解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，则函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，
则20.8＜21=2＜log24.1＜log25，
则c＜b＜a，
故选：B．
根据题意，分析函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，又由20.8＜21=2＜
log24.1＜log25，分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的单调性，属于基础题．
11.【答案】C
【解析】
解：由已知中函数y=x a（a∈R）的图象可知：a∈（0，1），
故函数y=a-x为增函数与y=log a x为减函数，
故选：C．
根据幂函数的图象和性质，可得a∈（0，1），再由指数函数和对数函数的图象和性质，可得答案．
本题考查的知识点是幂函数的图象和性质，指数函数和对数函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．
12.【答案】D
【解析】
解：由α，β为平面，a，b，c为直线，知：
在A中，aα，若b∥a，则b与α平行或异面，故A错误；
在B中，αβ，α∩β=c，b c，则b与β相交、平行或bβ，故B错误；
在C中，a b，b c，则a与c相交、平行或异面，故C错误；
在D中，a∩b=A，aα，bα，a∥β，b∥β，
则由面面平行的判定定理得α∥β，故D正确．
故选：D．
在A中，aα，b与α平行或异面；在B中，b与β相交、平行或bβ；在C中，a 与c相交、平行或异面；在D中，由面面平行的判定定理得α∥β．
本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
13.【答案】2
【解析】
解：集合M={x∈N|x＜3}={0，1，2}，N={0，2，4}，
则M∩N={0，2}，
则M∩N中元素的个数为2个，
故答案为：2
求出集合的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．
14.【答案】-2
【解析】
解：∵直线l1：mx+2y+1=0与直线l2：x+y-2=0互相垂直，
∴m+2=0，
即m=-2，
故答案为：-2
利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．
本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15.【答案】20π
【解析】
解：如图，设球的半径为R，
由已知可得，AC=，，
∴．
∴该球的表面积为S=4πR2=20π．
故答案为：20π．
由题意画出图形，求出球的半径，则球的表面积可求．
本题考查球的表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．
16.【答案】2
【解析】
解：根据题意，函数，其定义域为（0，+∞），
且在其定义域上为增函数，
f（1）=ln1-2=-2，f（2）=ln2-1＜0，f（3）=ln3-＞0，
又由x0是函数的零点，
则2＜x0＜3，
g（x0）=2；
故答案为：2
根据题意，求出函数f（x）的定义域，求出f（1）、f（2）、f（3）的值，结合二分法分析可得则2＜x0＜3，结合g（x）的解析式，分析可得答案．
本题考查函数的零点，关键是求出x0的范围，属于综合题．
17.【答案】解：（1）设与l1：2x-3y-1=0平行的直线方程为：2x-3y+c=0，
将A（-2，1）代入，得-4-3+c=0，解得c=7，
故所求直线方程是：2x-3y+7=0．
（2）∵A（-2，1），B（4，3），∴线段AB的中点是M（1，2），
设两直线的交点为N，联立解得交点N（2，1），
则，
故所求直线的方程为：y-2=-（x-1），即x+y-3=0．
【解析】
（1）设与l1：2x-3y-1=0平行的直线方程为：2x-3y+c=0，将A（-2，1）代入，解得c 即可得出．
（2）利用中点坐标公式可得：线段AB的中点是M（1，2），设两直线的交点为N，联立，解得交点N，再利用点斜式即可得出．
本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、直线交点、中点坐标公式，考
查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：（1）根据题意，是奇函数，
则f（-x）=-f（x），
即，即，
解得a=1或a=-1（舍去），
故a的值为1．
（2）函数f（x）在（1，3）上是减函数．
证明：由（1）知，设，
任取1＜x1＜x2＜3，∴，
∵x2-x1＞0，x1-1＞0，x2-1＞0，∴g（x1）-g（x2）＞0，
∴g（x）在（1，3）上为减函数，
又∵函数y=log2x在（1，+∞）上为增函数，
∴函数f（x）在（1，3）上为减函数．
【解析】
（1）根据题意，由奇函数的定义可得f（-x）=-f（x），即，解可得a的值，即可得答案；
（2）根据题意，由作差法分析可得结论．
本题考查函数奇偶性与单调性的判定，关键是求出a的值，属于基础题．
19.【答案】证明：（1）由题意：四棱锥P-ABCD
的底面ABCD为平行四边形，
点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，
∴N是AC的中点，
∴MN∥PC，
又∵PC平面PCD，MN⊄平面PCD，
∴MN∥平面PCD．
（2）由（1），知MN∥PC，
∵M，Q分别是PA，PD的中点，
∴MQ∥AD∥BC，
又∵BC平面PBC，PC平面PBC，BC∩PC=C，
MQ平面MNQ，MN平面MNQ，MQ∩MN=M，
∴平面MNQ∥平面PBC．
【解析】
（1）推导出四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，MN∥PC，由此能证明MN∥平面PCD．
（2）推导出MN∥PC，MQ∥AD∥BC，由此能证明平面MNQ∥平面PBC．
本题考查线面平行、面面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：（1）依题意知，函数f（x）是开口向上的抛物线，
∴函数f（x）有最小值，且当时，f（x）min=1．
下面分情况讨论函数f（x）在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的取值情况：
①当闭区间[t，t+1]（-∞，1），即t＜0时，f（x）在x=t+1处取到最小值，
此时g（t）=（t+1）2-2（t+1）+2=t2+1；
②当1∈[t，t+1]，即0≤t≤1时，f（x）在x=1处取到最小值，此时g（t）=1；
③当闭区间[t，t+1]（1，+∞），即t＞1时，f（x）在x=t处取到最小值，
此时g（t）=t2-2t+2．
综上，g（t）的函数表达式为
，＜
，
，＞
（2）由（1）可知，g（t）为分段函数，作出其图象如图：
由图象可知g（t）min=1．
【解析】
（1）根据二次函数的性质可知，函数f（x）是开口向上的抛物线，然后根据f（x）的对称轴与闭区间[t，t+1]上的位置情况讨论函数在区间[t，t+1]上单调性即可求解；
（2）由（1）可知，g（t）为分段函数，结合二次函数的图象即可作出图象，结合图象可求函数的最小值．
本题主要考查了二次函数闭区间的最值的求解，体现了分类讨论思想的应
用．
21.【答案】证明：（1）由题意知BC CC1，
∵∠ACB=90°，即BC AC，
又AC∩CC1=C，∴BC平面ACC1A1，
∵DC1平面ACC1A1，∴BC DC1，
∵D是AA1的中点，，
∴AC=AD=A1D=A1C1，
∴∠ADC=∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1DC，
∵DC∩BC=C，∴DC1平面BDC．
解：（2）由，得AA1=4，∴AD=A1D=2，
∴，
由（1）知，BC平面ACC1A1，
∴BC平面CDC1，故BC是三棱锥B-CDC1的高，
∴．
【解析】
（1）证明BC CC1，BC AC，推出BC平面ACC1A1，得到BC DC1，推出DC1DC，即可证明DC1平面BDC．
（2）求出几何体的高，利用等体积法求解即可．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
22.【答案】解：（1）意知A（-1，2）到直线x+2y+7=0的距离为圆A半径r，
∴，
∴圆A方程为（x+1）2+（y-2）2=20（5分）
（2）垂径定理可知∠MQA=90°．且，
在Rt AMQ中由勾股定理易知
设动直线l方程为：y=k（x+2）或x=-2，显然x=-2合题意．
由A（-1，2）到l距离为1知得．
∴3x-4y+6=0或x=-2为所求l方程．（7分）
【解析】
（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；
（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到
直线的距离公式确定直线方程．
本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。