2021年高三上学期模块考试数学(理)试卷含解析

2021年高三上学期模块考试数学（理）试卷含解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设全集U=R，集合M={x|x2+2x﹣3≤0），N={x|﹣1≤x≤4}，则M∩N等于（）A．{x|1≤x≤4} B．{x|﹣1≤x≤3} C．{x|﹣3≤x≤4）D．{x|﹣1≤x≤1} 2．设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25） B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定
3．已知α∈（π，π），cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（）
A．7 B．C．﹣D．﹣7
4．已知等于（）A．135°B．90°C．45°D．30°
5．已知函数，则f[f（﹣4）]（）
A．﹣4 B．4 C．﹣D．
6．如图在程序框图中，若输入n=6，则输出k的值是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（）
A．1 B． C． D．
8．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知三边长分别为3、4、5的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P﹣ABC的体积为（）
A．5 B．10 C．20 D．30
10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为（）
A．[，+∞） B．[2，+∞）C． D．（1，2]
11．定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x﹣3）的图象关于（3，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≥﹣f（2t﹣t2），则当1≤s≤4时，3t+s的取值范围是（）
A．[﹣2，10] B．[4，16] C．[4，10] D．[﹣2，16]
12．已知函数①；②f（x）=sin；③f（x）=lnx+1，则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是（）
①命题p：f（x+1）是偶函数；
②命题q：f（x+1）在（0，1）上是增函数；
③命题r：f（x）很恒过定点（1，1）；
④命题．
A．命题p，q B．命题q，r C．命题r，s D．命题s，p
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．= ．
14．已知直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆（x+1）2+（y﹣2）2=4的圆心，则的最小值为．
15．设x、y满足的约束条件，则的最大值是．
16．设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ= ．
三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点．
（1）求sin2α﹣tanα的值；
（2）若函数f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα，求函数在区间上的取值范围．
18．用2π平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为x，圆锥母线的长为y
（1）建立y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）圆锥的母线与底面所成的角大小为，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米（精确到0.01m3）
19．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=．
（1）证明数列是等差数列；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．
20．如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B．
（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；
（3）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．
22．已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q 两点，且|PQ|=3．
（1）求椭圆的方程；
（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．
xx学年山东省日照市莒县高三（上）模块数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．设全集U=R，集合M={x|x2+2x﹣3≤0），N={x|﹣1≤x≤4}，则M∩N等于（）
A．{x|1≤x≤4} B．{x|﹣1≤x≤3} C．{x|﹣3≤x≤4）D．{x|﹣1≤x≤1}
考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用一元二次不等式解法化简集合M，再利用交集运算即可得出M∩N．
解答：解：M：由x2+2x﹣3≤0解得﹣3≤x≤1，∴M={x|﹣3≤x≤1}；
∴M∩N={x|﹣1≤x≤1}．
故选D．
点评：熟练掌握一元二次不等式解法、交集运算扥公式解题的关键．
2．设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f （1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）
A．（1，1.25）B．（1.25，1.5） C．（1.5，2）D．不能确定
考点：二分法求方程的近似解．
专题：计算题．
分析：由已知“方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，它们异号．
解答：解析：∵f（1.5）•f（1.25）＜0，
由零点存在定理，得，
∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．
故选B．
点评：二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：
一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，
且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点．
3．已知α∈（π，π），cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（）
A．7 B． C．﹣D．﹣7
考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．
专题：三角函数的求值．
分析：由α的范围及cosα的值，确定出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵α∈（π，π），cosα=﹣，
∴sinα=﹣=﹣，
∴tanα==，
则tan（﹣α）===．
故选B
点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
4．已知等于（）
A．135°B．90° C．45° D．30°
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角．
专题：计算题．
分析：由，，，知=0，由此能求出的夹角θ的大小．
解答：解：∵，，，
∴=0，
∵的夹角为θ，
∴1﹣1××cosθ=0，
∴cosθ=，
∴θ=45°．
故选C．
点评：本题考要数量积判断两个平面向量的垂直关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
5．已知函数，则f[f（﹣4）]（）
A．﹣4 B．4 C．﹣D．
考点：函数的值．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：由函数，知f（﹣4）=（）﹣4=16，由此能求出f[f（﹣4）]．
解答：解：∵函数，
∴f（﹣4）=（）﹣4=16，
∴f[f（﹣4）]==16=4．
故选B．
点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分段函数的性质的应用．6．如图在程序框图中，若输入n=6，则输出k的值是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：执行程序框图，写出每次循环得到的n，k的值，当n=111时，满足条件n＞100，输出k的值为3．
解答：解：执行程序框图，有
n=6，k=0
n=13，不满足条件n＞100，k=1；
n=27，不满足条件n＞100，k=2；
n=55，不满足条件n＞100，k=3；
n=111，满足条件n＞100，输出k的值为3．
故选：B．
点评：本题主要考查了程序框图中的直到型型循环结构，直到型循环结构是先执行在判断直到条件结束，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构中框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等，属于基本知识的考查．
7．已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（）
A．1 B． C． D．
考点：等差数列的性质；一元二次不等式的解法．
专题：计算题．
分析：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，进而可知x1+x2和x3+x4的值，进而根据等差数列的性质，当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列，进而求得m 和n，则答案可得．
解答：解：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，
则x1+x2=2，x3+x4=2，
由等差数列的性质，当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q．
设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，，
∴m=，n=．
∴|m﹣n|=．
故选C
点评：本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是运用了等差数列当m+n=p+q时，
a m+a n=a p+a q的性质．
8．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．
专题：简易逻辑．
分析：运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．
解答：解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，
两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，
故前者是后者的充分条件，
∵当两条直线平行时，得到，
解得a=﹣2，a=1，
∴后者不能推出前者，
∴前者是后者的充分不必要条件．
故选A．
点评：本题考查必要条件充分条件和充要条件的问题，考查两条直线平行时要满足的条件，本题解题的关键是根据两条直线平行列出关系式，不要漏掉截距不等的条件，本题是一个基础题．
9．已知三边长分别为3、4、5的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P﹣ABC的体积为（）
A．5 B．10 C．20 D．30
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由题意可知△ABC为直角三角形，则其外接圆的圆心在AB的中点上，再由P到三个顶点的距离相等可得P在面ABC上的射影为球的球心，然后直接利用棱锥的体积公式求解．
解答：解：如图，
在△ABC中，不妨设AB=5，AC=3，BC=4．
则∠ACB=90°，∴△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，
即球的球心为AB的中点，
又P到△ABC的三个顶点的距离相等，
∴P在平面ABC上的射影到A、B、C的距离相等，
∴O为P在平面ABC上的射影，则OP⊥面ABC，
又P在球面上，∴OP为球的半径，∴OP=．
∴=．
故选：A．
点评：本题考查了棱锥的体积，考查了空间想象能力和思维能力，正确作出图形对解答有很好的帮助作用，是基础题．
10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为（）
A．[，+∞） B．[2，+∞）C． D．（1，2]
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题．
分析：设P点的横坐标为x，根据|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a），利用双曲线的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围．
解答：解：设P点的横坐标为x
∵|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a）
根据双曲线的第二定义，可得3e（x﹣）=e（x+）
∴ex=2a
∵x≥a，∴ex≥ea
∴2a≥ea，∴e≤2
∵e＞1，∴1＜e≤2
故选D．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于基础题．
11．定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x﹣3）的图象关于（3，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≥﹣f（2t﹣t2），则当1≤s≤4时，3t+s的取值范围是（）
A．[﹣2，10] B．[4，16] C．[4，10] D．[﹣2，16]
考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质．
专题：计算题．
分析：由已知中定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x﹣3）的图象关于（3，0）成中心对称，易得函数y=f（x）是奇函数，根据函数单调性和奇偶性的性质可得s2﹣2s ≥t2﹣2t，进而得到3t+s的取值范围．
解答：解：y=f（x﹣3）的图象相当于y=f（x）函数图象向右移了3个单位．
又由于y=f（x﹣3）图象关于（3，0）点对称，
向左移回3个单位即表示y=f（x）函数图象关于（0，0）点对称．
所以f（2t﹣t2）=﹣f（t2﹣2t）
即f（s2﹣2s）≥f（t2﹣2t）
因为y=f（x）函数是增函数，所以s2﹣2s≥t2﹣2t
移项得：s2﹣2s﹣t2+2t≥0
即：（s﹣t）（s+t﹣2）≥0
得：s≥t且s+t≥2或s≤t且s+t≤2
则，当s=4，t=﹣2时，有最小值是4﹣6=﹣2
当s=4，t=4时，有最大值是4+12=16
故3t+s范围是[﹣2，16]
故选D
点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的性质，其中根据已知条件得到函数为奇函数，进而将不等式f（s2﹣2s）≥﹣f（2t﹣t2），转化为s2﹣2s≥t2﹣2t，是解答本题的关键．
12．已知函数①；②f（x）=sin；③f（x）=lnx+1，则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是（）
①命题p：f（x+1）是偶函数；
②命题q：f（x+1）在（0，1）上是增函数；
③命题r：f（x）很恒过定点（1，1）；
④命题．
A．命题p，q B．命题q，r C．命题r，s D．命题s，p
考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据条件分别进行验证即可．
解答：解：命题p：若f（x+1）是偶函数，则f（﹣x+1）=f（x+1），即函数的关于x=1对称，则命题p，对①不成立；排除A，D，
命题q：f（x+1）在（0，1）上是增函数，即f（x）在（1，2）上是增函数，
当1＜x＜2时，＜π，此时函数f（x）=sin为减函数，不满足条件．排除B，
故选：C
点评：本题主要考查函数性质的考查，要求熟练掌握函数的性质．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．= ．
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
解答：解：原式===，
故答案为：．
点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．
14．已知直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆（x+1）2+（y﹣2）2=4的圆心，则的最小值为 4 ．
考点：基本不等式；圆的标准方程．
专题：计算题．
分析：直线过圆心，先求圆心坐标，利用1的代换，以及基本不等式求最小值即可．
解答：解：圆（x+1）2+（y﹣2）2=4的圆心（﹣1，2）在直线2ax﹣by+2=0上，
所以﹣2a﹣2b+2=0，即 1=a+b代入，
得（）（a+b）=2++≥4（a＞0，b＞0当且仅当a=b时取等号）
故答案为：4
点评：本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，基本不等式，是中档题．
15．设x、y满足的约束条件，则的最大值是 5 ．
考点：简单线性规划的应用．
分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的最大值．
解答：解：约束条件，对应的平面区域如下图示：
表示平面上一定点（﹣1，）与可行域内任一点连线斜率的2倍
由图易得当该点为（0，4）时，的最大值是5
故答案为：5
点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．
16．设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ= ．
考点：余弦函数的奇偶性；导数的运算．
专题：计算题；压轴题．
分析：对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，
，根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0，
代入可求φ的值
解答：解：，
则f（x）+f′（x）=，
为奇函数，
令g（x）=f（x）+f′（x），即函数g（x）为奇函数，
g（0）=0⇒2sin（φ）=0，
∵0＜φ＜π，
∴φ=．
故答案为：．
点评：本题主要考查了两角差的正弦公式，函数的求导公式，奇函数的性质：若函数f（x）为R上奇函数，则f（0）=0，属于对基础知识的综合考查，试题较易．
三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点．
（1）求sin2α﹣tanα的值；
（2）若函数f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα，求函数在区间上的取值范围．
考点：正弦函数的定义域和值域；三角函数的化简求值．
专题：计算题．
分析：（1）根据三角函数的定义，求出角α的正弦、余弦、正切，再结合二倍角公式，即可得到结论；
（2）先将函数化简，确定角的范围，利用三角函数的性质，即可求得函数的值域．
解答：解：（1）因为角α终边经过点，所以，，
∴…（6分）
（2）∵f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα=cosx，x∈R
∴
∵，∴，∴
∴，∴
故函数在区间上的值域是[﹣2，1]…（12分）
点评：本题考查三角函数的定义，考查辅助角公式的而运用，考查三角函数的性质，属于中档题．
18．用2π平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为x，圆锥母线的长为y
（1）建立y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）圆锥的母线与底面所成的角大小为，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米（精确到0.01m3）
考点：函数模型的选择与应用．
专题：计算题．
分析：（1）由题意可知，制作该容器需要铁皮面积，就是圆锥的全面积，得到方程πx2+πxy=2π，分离出y即可，利用x＜y求出定义域．
（2）利用母线与底面所成的角大小为求出母线长，进一步求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式求出所制作的圆锥形容器容积．
解答：解：（1）∵πx2+πxy=2π
∴
∵，
∴0＜x＜1（6分）
（2）依题意，作圆锥的高SO，∠SAO是母线与底面所成的线面角，（7分）
设圆锥高h，∵，y=2x
∴
∴，（9分）
≈0.99m3（11分）
答：所制作的圆锥形容器容积0.99立方米（12分）
点评：本题考查旋转体的侧面积、全面积、体积，是一道中档题．
19．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=．
（1）证明数列是等差数列；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．
考点：数列的求和；等差关系的确定；数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）由a n+1=，两边取倒数可得：即，即可证明出；
（2）利用等差数列的通项公式即可得出；
（3）由（2）可知，，利于“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．
解答：（1）证明：由已知可得，
∴，即，
∴数列是公差为1的等差数列．
（2）由（1）可得，
∴．
（3）由（2）可知，，
∴，
，
相减得=2n+1﹣2﹣n•2n+1，
∴．
点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B．
（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；
（3）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：计算题；探究型．
分析：（1）要证明线面平行，在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面BEF中三条已知直线中，EF可能与AB平行，故可以以此为切入点进行证明．
（2）要求二面角的余弦，找出二面角的平面角，然后通过解三角形，求出这个平面角的余弦值，进而给出二面角的余弦值．
（3）线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．
解答：解：（1）AB∥平面DEF，理由如下
如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，
又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF．
∴AB∥平面DEF．
（2）∵AD⊥CD，BD⊥CD
∴∠ADB是二面角A﹣CD﹣B的平面角
∴AD⊥BD
∴AD⊥平面BCD
取CD的中点M，这时EM∥AD
∴EM⊥平面BCD
过M作MN⊥DF于点N，连接EN，则EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E﹣DF﹣C的平面角
在Rt△EMN中，EM=1，MN=，EN=，所以cos∠MNE=．
∴tan∠MNE=，，
∴cos∠MNE=．
二面角E﹣DF﹣C的余弦值：．
（3）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE
证明如下：在线段BC上取点P．使BP=BC，
过P作PQ⊥CD于Q，
∵AD⊥平面BCD
∴PQ⊥平面ACD
∴DQ=DC=，
∴tan∠DAQ=═=，∴∠DAQ=30°
在等边△ADE中，∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE
∵PQ⊥平面ACD
∴AP⊥DE．AQ∩AP=A
∴DE⊥平面APQ，
∴AP⊥DE．
此时BP=BC，
∴=．
点评：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，直线与平面所成的角，其中熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直、线线垂直、面面垂直之间的相互转化及线面夹角的定义，是解答本题的关键．
21．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）当a=2时求出f（1），切线斜率k=f′（1），利用点斜式即可求得切线方程；（2）求出函数定义域，分①当a≤0，②当a＞0两种情况讨论解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；
（3）存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于，令，等价于“当x ∈[1，e]时，a＞F（x）min”．利用导数易求其最小值．
解答：解：函数的定义域为（0，+∞），．
（1）当a=2时，函数，f′（x）=，
因为f（1）=0，f'（1）=2．
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
①当a≤0时，h（x）=ax2﹣2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，
则f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．
②当a＞0时，△=4﹣4a2，
（ⅰ）若0＜a＜1，
由f'（x）＞0，即h（x）＞0，得或；
由f'（x）＜0，即h（x）＜0，得．
所以函数f（x）的单调递增区间为和，
单调递减区间为．
（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（3））因为存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），
则ax0＞2lnx0，等价于．
令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．
对F（x）求导，得．
因为当x∈[1，e]时，F'（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上单调递增．
所以F（x）min=F（1）=0，因此a＞0．
点评：本题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，对于“能成立”问题及“恒成立”问题往往转化为函数最值解决．
22．已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q 两点，且|PQ|=3．
（1）求椭圆的方程；
（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得c=1，由|PQ|=3，可得=3，又a2﹣b2=1，由此可求椭圆方程；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆的径R，则△F1MN的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R，因此最大，R就最大．设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F1MN的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．
解答：解：（1）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由焦点坐标可得c=1…（1分）
由|PQ|=3，可得=3，…（2分）
又a2﹣b2=1，解得a=2，b=，…（3分）
故椭圆方程为=1…
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆的径R，
则△F1MN的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R
因此最大，R就最大，…（6分）
由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，
由得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，…（8分）
得，，
则=，…（9分）
令t=，则t≥1，
则，…（10分）
令f（t）=3t+，则f′（t）=3﹣，
当t≥1时，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，S△F1MN≤3，即当t=1，m=0时，S△F1MN≤3，
S△F1MN=4R，∴R max=，这时所求内切圆面积的最大值为π．
故直线l：x=1，△F1MN内切圆面积的最大值为π…（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出最大，R就最大是关键．
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