最新-北京四中高二数学期中试卷 精品

北京四中
撰稿：张炜倬责编：姚一民
数学试卷
（试卷满分为100分，考试时间为100分钟）
一.选择题（每题4分，共48分）。

1.正三棱锥底面边长变为原来的2倍，高变为原来的，则体积()
（A）不变（B）变为原来的2倍
（C）变为原来的（D）变为原来的
2.设地球半径为R，P、Q是地球上两点，P在北纬、东经，Q在北纬、东经，
则P、Q两点截北纬圈上的劣弧长为()
（A）（B）（C）（D）
3.正20面体有r个顶点、s条边，t个面，则()
（A）（B）
（C）（D）
4.棱长为2的直平行六面体，，则与平面
所成角的正弦值为
()
（A）（B）（C）（D）
5.设a、b是异面直线，给出下列命题：
①经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b；
②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；
③存在分别经过直线a和直线b的两个平行平面；
④存在分别经过直线a和直线b的两个互相垂直的平面.
其中错误的命题为()
（A）①与②（B）②与③（C）②与④（D）仅②
6.在棱长为a的正方体中，M是的中点，则点到平面MBD的距离是( )
（A）（B）（C）（D）
7.在两两垂直且交于一点的三条直线上各取不是交点的一点，以它们为顶点构成的三角形是()
（A）锐角三角形（B）直角三角形
（C）钝角三角形（D）以上情况皆有可能
8.E、F是正三角形ABC的边AB、AC的中点，沿EF把正三角形折成的二面角（如图），则的正切值为( )
（A）（B）（C）（D）以上答案均不对
9.三棱锥中PA、PB、PC两两互相垂直，，，则其体积
( )
（A）有最大值4 （B）有最小值2
（C）有最大值2（D）既无最大值也无最小值
10.长方体中，若AB=5，AD=4，，且此长方体内接于球O，则球O的表面积为
()
（A）（B）（C）（D）
11.平行六面体的六个面都是菱形，那么点在面上的射影一
定是
的( )
（A）重心（B）垂心（C）内心（D）外心
12.如图，正四面体中，点M在AB上，点N在CD上，，，
MN与AC成角为，MN与BD成角为，设，当时，是
()
（A）单调增函数
（B）单调减函数
（C）先单调递增后单调递减
（D）常函数
二. 填空题（每题4分，共16分）。

13.正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，平面ABCD与平面ABEF所成角为，则异面直线AB与FC所成角大小等于__________.
14.若的三边长分别是3、4、5，平面ABC外一点P到三边距离都是2，则
点P到平面ABC的距离
是_________.
15.一个球的外切正方体的全面积是6，则此球体积是___________.
16.设a、b是直线，、、为平面，有如下命题：
①；
②内有不共线三点到距离相等，则；
③；
④若a、b异面，且，则；
其中正确命题的序号有_____________
三、解答题（共36分）
17.（本题满分12分）已知线段平面，B为垂足，，且CD 与
平面成角，AB=BC=CD=2.求：
⑴异面直线AB与CD间的距离；⑵A、D两点间的距离.
18.（本题满分12分）已知四边形ABCD是矩形，平面ABCD，N是PB中点，M 是AD中点，
二面角大小是.
求证：⑴平面；
⑵；
⑶平面平面PBC
19.（本题满分12分）已知正三棱柱底面边长为a，M是BC上一点，是以M为直角顶点的等腰直角三角形.
⑴证明M是BC中点；
⑵求点C到平面的距离；
⑶求二面角的大小.
四、附加题（10分）
如图，球O的截面BCD把垂直于它的直径分为1：3两部分，截面圆的面积为，BC
是截面圆的直径，
D是圆上不同于B、C的一点，AC是球O的一条直径.
⑴求三棱椎的体积最大值；
⑵当D分BC弧的两部分BD弧与CD弧的弧长之比为1:2时，求二面角的正切值.
答案：
一.选择题（4分×12 = 48 分）
二.填空题（4分× 4 = 16分）
13、14、
15、16、④
三、解答题（共36分）
20.（本题满分12分）已知线段平面，B为垂足，，且CD与
平面成角，AB=BC=CD=2.求：⑴异面直线AB与CD间的距离；⑵A、D两点间的距离.
解：⑴∵平面，∴
又，故BC是异面直线AB与CD的公垂线段，由题BC=2，
所以AB与CD间的距离为2.
⑵过D作于O，连接OC，∴OC是DC在平面内的射影，由∴
(三垂线定理)，
且是DC
与所成角，由题知，又连接BO，过D作DE//OB交AB于E，由
∴则
.中，，.中，
.矩形BODE中，，，∴中，
21.（本题满分12分）已知四边形ABCD是矩形，平面ABCD，N是PB中点，M是AD中点，二面角
大小是.
求证：⑴平面；⑵；⑶平面平面PBC
证明：⑴取PC中点E，连NE，DE.
∵M、N是AD、PB中点，ABCD是矩形
且
∴四边形MNED是平行四边形MN//DE
∵面PCD，面PCD
∴平面
⑵∵面ABCD∴∵ABCD是矩形∴
∵∴面PDC∵面PDC
∴
∵DE//MN∴
⑶∵面PDC∴是二面角的平面角，
∴是等腰直角三角形∴∵DE//MN∴
∵，∴面PBC
∵面MNB∴平面平面PBC
22.（本题满分12分）已知正三棱柱底面边长为a，M是BC上一点，是以M为
直角顶点的等腰直角三角形.
⑴证明M是BC中点；
⑵求点C到平面的距离；
⑶求二面角的大小.
⑴证明：∵是M为直角顶点的等腰直角三角形
∴∵是正三棱柱
∴面ABC，∵
∴面
∴
∵是正三角形∴M是BC中点
⑵解：∵面，面
∴面面，作，D为垂足，则CD为所求距离
∵AB=a，∴，，
∴
⑶解：作，E为垂足，连EC，由三垂线定理知，即为所求二面角.
在中，，
∴在中，，
∴二面角的大小为.
四、附加题（10分）
如图，球O的截面BCD把垂直于它的直径分为1：3两部分，截面圆的面积为，BC
是截面圆的直径，D是圆上不同于B、C的一点，AC是球O的一条直径.
⑴求三棱椎的体积最大值；
⑵当D分的两部分与的弧长之比为1:2时，求二面角的正切值.
解：⑴是BC中点，O为AC中点，
∴，又平面BCD，
∴平面BCD，
设球半径为R，
则
∴
，∴
∴
.设
，则，
当
时，三棱椎的体积的最大值为
又
⑵∵BD弧与DC弧的弧长之比为1:2 ∴，
由平面BCD 知，
平面
BCD平面ABC
，作于E
，则平面ABC
，再作于F，连DF，
由三垂线定理知，
，∴
是二面角
的平面角，，
，在中，AC=8
，，AB=4
，由三角形相似求得
，
，
∴二面角
的正切值为。