苏教版高中数学必修五《等差数列的概念和通项公式(第2课时)》教案

等差数列的概念和通项公式（第2课时）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，掌握等差数列的特殊性质及应用，掌握证明等差数列的方法；
2.明确等差中项的概念和性质，会求两个数的等差中项；
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；
4.能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，体会等差数列与一次函数的关系，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。

二、过程与方法
通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。

三、情感、态度与价值观
通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。

【教学重点与难点】：
重点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。

难点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。

【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1．复习等差数列的定义、通项公式
（1）等差数列定义
（2）等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=（=n a d m n a m )(-+或p dn a n +=(p 是常数)）。

（3）公差d 的求法：① =d n a -1-n a ；②=d 11--n a a n ；③=d m
n a a m n --。

2．等差数列的性质：
（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是AP ， 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；
（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m a a d n m
-=-()m n ≠； （4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+。

3．问题：（1）已知123
12,,,,,,n n n a a a a a a +是公差为d 的等差数列。

①121,,
,,n n a a a a -也成等差数列吗？如果是，公差是多少？ ②2462,,,n a a a a 也成等差数列吗？如果是，公差是多少？
（2）已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d 。

①将数列{}n a 中的每一项都乘以常数a ，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？
②由数列{}n a 中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列{}n c 是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
（3）已知数列{}n a 是等差数列，当m n p q +=+时，是否一定有m n p q a a a a +=+？
（4）如果在a 与b 中间插入一个数A ，使得a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？
二、研探新知
1.等差中项的概念：
如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，其中2a b A +=。

a ，A ，b 成等差数列⇔2
a b A +=。

2.一个有用的公式： （1）已知数列{n a }是等差数列。

①7352a a a +=是否成立？9152a a a +=呢？为什么？
②)1(211>+=+-n a a a n n n 是否成立？据此你能得到什么结论？ ③)0(2>>+=+-k n a a a k n k n n 是否成立？你又能得到什么结论？
（2）在等差数列{}n a 中，d 为公差，若+∈N q p n m ,,,且q p n m +=+。

求证：①q p n m a a a a +=+；
②d q p a a q p )(-+=。

证明：①设首项为1a ，则
111111(1)(1)2(2),
(1)(1)2(2),
m n p q a a a m d a n d a m n d a a a p d a q d a p q d +=+-++-=++-+=+-++-=++-
∵q p n m +=+，∴q p n m a a a a +=+； ② ∵d p a a p )1(1-+=，d p a d q p d q a d q p a q )1()()1()(11-+=-+-+=-+， ∴d q p a a q p )(-+=。

探究：等差数列与一次函数的关系。

注意：（1）由此可以证明一个结论：设}{n a 成AP ，则与首末两项距离相等的两项和相等，即： =+=+=+--23121n n n a a a a a a ；
同样：若p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+。

（2）表示等差数列的各个点在一条直线上，这条直线的斜率是公差d 。

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1（教材39P 例3）已知等差数列{}n a 的通项公式是21n a n =-，求首项 1a 和公差d 。

解：122111,2213a a =⨯-==⨯-=，
∴212d a a =-=。

例2 ①在等差数列{}n a 中，278136a a a a +++=，求69a a +； ②在等差数列{}n a 中，14812152a a a a a ---+=，求313a a +的值。

解：①由条件：69782133a a a a a a +=+=+=；
②由条件：∵81154122a a a a a =+=+，
∴82a =- ∴313824a a a +==-．
例3若 30521=+++a a a ，801076=+++a a a ，求151211a a a +++ 。

解：∵6+6=11+1，7+7=12+2…，
∴11162a a a +=，12272a a a +=…，
从而)(151211a a a +++ +=+++)(521a a a 2)(1076a a a +++ ， ∴151211a a a +++ =2)(1076a a a +++ -)(521a a a +++ =2×80-30=130。

一般的：若}{n a 成等差数列那么n S 、n n S S -2、n n S S 23-、…也成等差数列。

例4如图，三个正方形的边,,AB BC CD 的长组成等差数列，且21AD cm =，这三个正方形的面积之和是2179cm 。

（1）求,,AB BC CD 的长；
（2）以,,AB BC CD 的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？
解：（1）设公差为(0)d d >，BC x =，则,AB x d CD x d =-=+，
由题意得：222()()21()()179
x d x x d x d x x d -+++=⎧⎨-+++=⎩， 解得：74x d =⎧⎨=⎩ 或74
x d =⎧⎨=-⎩（舍去），
∴3(),7(),11()AB cm BC cm CD cm ===；
（2）正方形的边长组成以3为首项，公差为4的等差数列{}n a ， ∴103(101)439a =+-⨯=，
∴2
2210391521()a cm ==，所求正方形的面积是21521()cm 。

A B C D
四、巩固深化，反馈矫正
1.教材39P 练习
2.在等差数列{}n a 中，若 65=a ，158=a ，求14a 。

五、归纳整理，整体认识
本节课学习了以下内容： 1.,,2
a b A a A b +=⇔成等差数列； 2.在等差数列中，q p n m +=+⇒q p n m a a a a +=+（m ，n ，p ，q N +∈）；
3.等差数列性质的应用，掌握证明等差数列的方法。

六、承上启下，留下悬念
在等差数列{n a }中，已知3a ＋4a ＋5a ＋6a ＋7a ＝450，求2a ＋8a 及前9项和9S 。

七、板书设计（略）
八、课后记。