2020-2021成都西北中学高中三年级数学下期末第一次模拟试题及答案

2020-2021成都西北中学高中三年级数学下期末第一次模拟试题及答案
一、选择题
1．如图所示的圆锥的俯视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．在复平面内，O 为原点，向量OA u u u v
对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对
称点为点B ，则向量OB uuu v
对应的复数为( )
A ．2i -+
B ．2i --
C ．12i +
D ．12i -+
3．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）
A ．由两个圆锥组合成的
B ．由两个圆柱组合成的
C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的
D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的
4．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π
)+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 A ．
23
B ．43
C ．
32
D ．3
5．若满足
sin cos cos A B C
a b c
==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30°的直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．有一个内角为30°的等腰三角形
6．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据
分为( ) A ．10组
B ．9组
C ．8组
D ．7组
7．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为1214,,A A A L ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
8．函数()1
ln 1y x x
=
-+的图象大致为( ) A ． B ．
C ．
D ．
9．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B =I A ．{0}
B ．{1}
C ．{1,2}
D ．{0,1,2}
10．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2
π
)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )
A ．2，－
3π B ．2，－6
π C ．4，－6
π
D ．4，
3
π 11．设双曲线22221x y a b
-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线2
1y x =+相切，则该双曲
线的离心率等于（ ）
A B ．2
C
D 12．设集合(){
}
2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ）
A ．{}22x x -≤<
B ．{}2x x ≥-
C ．{}2x x <
D ．{}
12x x ≤<
二、填空题
13．设25a b m ==,且
11
2a b
+=,则m =______. 14．函数log (1)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数
y mx n =+的图象上，其中,0,m n >则
12
m n
+的最小值为 15．若函数3
211()23
2f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______.
16．设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,
12sin x y θθ
=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为
____.
17．3
71()x x
+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）
18．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则
a =__________．
19．高三某班一学习小组的,,,A B C D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D 在_________.
20．函数的定义域是 .
三、解答题
21．已知()ln x
e f x a x ax x
=+-.
（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；
（2）当1a =-时，若不等式1()()0x
f x bx b e x x
+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．
22．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，3c asinC ccosA =-. (Ⅰ)求A ；
(Ⅱ)若a =2，ABC ∆的面积为3，求b ，c .
23．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的一个焦点为
(
)
5,0，离心率为5.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.
24．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =，
1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =
（Ⅰ）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；
（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面111A B C ，求线段
BM 的长．
25．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x t
y at =+⎧⎨
=-⎩
（t 为参数，a R ∈），以
坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，线C 的极坐标方程是
224πρθ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）己知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且7AB =a 的值.
26．已知3,cos )a x x =r ，(sin ,cos )b x x =r ，函数()f x a b =⋅r
r .
（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程； （2）当(,]x ππ∈-时，求()f x 单调递增区间.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
找到从上往下看所得到的图形即可． 【详解】
由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形．故选C. 【点睛】
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选B ，属于基础题.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
首先根据向量OA u u u v
对应的复数为12i -+，得到点A 的坐标，结合点A 与点B 关于直线
y x =-对称得到点B 的坐标，从而求得向量OB uuu v
对应的复数，得到结果.
【详解】
复数12i -+对应的点为(1,2)A -， 点A 关于直线y x =-的对称点为(2,1)B -， 所以向量OB uuu r
对应的复数为2i -+． 故选A ． 【点睛】
该题是一道复数与向量的综合题，解答本题的关键是掌握复数在平面坐标系中的坐标表示.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案. 【详解】
根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D. 【点睛】
本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
4．C
解析：C 【解析】 函数sin 23y x πω⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移43
π
个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx π
πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫
=-
++=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
所以有4333
2013222
w k k k w w k w ππ=∴=>∴≥∴=≥Q 故选C
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
由正弦定理结合条件可得tan tan 1B C ==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状. 【详解】
由正弦定理可知
sin sin sin A B C
a b c ==，又sin cos cos A B C a b c
==， 所以cos sin ,cos sin B B C C ==，有tan tan 1B C ==.
所以45B C ==o .所以180454590A =--=o o o o . 所以ABC ∆为等腰直角三角形. 故选C. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.
6．B
解析：B 【解析】
由题意知，(14051)108.9-÷=，所以分为9组较为恰当，故选B.
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案． 【详解】
根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为9.
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
确定函数在定义域内的单调性，计算1x =时的函数值可排除三个选项． 【详解】
0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足．
故选：A. 【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意先解出集合A,进而得到结果． 【详解】
解：由集合A 得x 1≥, 所以{}A B 1,2⋂= 故答案选C. 【点睛】
本题主要考查交集的运算，属于基础题．
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象，求得T 、ω和φ的值． 【详解】
由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象知，
3T 5π412=-（π3-）3π4
=，
∴T 2π
ω
=
=π，解得ω＝2； 又由函数f （x ）的图象经过（5π
12
，2）， ∴2＝2sin （25π
12
⨯+φ）， ∴
5π6+φ＝2kππ
2
+，k∈Z， 即φ＝2kππ
3
-， 又由π2-
＜φπ2＜，则φπ3
=-； 综上所述，ω＝2、φπ
3
=-． 故选A ． 【点睛】
本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
11．D
解析：D 【解析】
由题意可知双曲线的渐近线一条方程为b y x a =，与抛物线方程组成方程组2,1
b y x
a y x ⎧
=⎪⎨⎪=+⎩消
y 得，2
210,()40b b x x a a -+=∆=-=，即2()4b a =
，所以e == D. 【点睛】
双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的渐近线方程为b y x a =±．
直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，
当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点．
当直线与抛物线对称轴不平行时，当>0∆时，直线与抛物线相交，有两个交点． 当0∆=时，直线与抛物线相切，只有一个交点． 当∆<0时，直线与抛物线相离，没有交点．
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
求解出集合M ，根据并集的定义求得结果. 【详解】
(){}{}{}2log 1001112M x x x x x x =-<=<-<=<<Q
{}2M N x x ∴⋃=≥-
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.
二、填空题
13．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力
【解析】 【分析】
变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11
log 102m a b
+==，得到答案. 【详解】
25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，
故
11
log 2log 5log 102,m m m m a b
+=+==∴=
【点睛】
本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.
14．8【解析】∵函数（且）的图象恒过定点A ∴当时∴又点A 在一次函数的图象上其中∴又∴∴（当且仅当时取）故答案为8点睛：本题主要考查了基本不等式基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值其失误
解析：8 【解析】
∵函数log 1
1a y x =-+（）（0a ＞，且1a ≠）的图象恒过定点A ， ∴当2x =时，1y =，∴()21A ，，又点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中
0mn >，
∴21m n +=，又0mn >，
∴0m >，0n >，∴()12124 248n m
m n m n m n m n
+=+⋅+=++≥（），（当且仅当1
22
n m ==时取“=”），故答案为8.
点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最
值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
15．【解析】【分析】【详解】试题分析：当时的最大值为令解得所以a 的取值范围是考点：利用导数判断函数的单调性
解析：1
(,)9
-+∞
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：2
2
11()2224f x x x a x a ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝
⎭'．当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '的最大值为
22239f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
．
考点：利用导数判断函数的单调性．
16．【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程解之解得【详解】圆化为普通方程为圆心坐标为圆的半径为由直线与圆相切则有解得【点睛】直线与圆的位置关系可以使
解析：3
4
【解析】 【分析】
根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a 满足的方程，解之解得。

【详解】
圆22cos ,12sin x y θθ
=+⎧⎨=+⎩化为普通方程为22(2)(1)2x y -+-=， 圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2，
2=，解得34
a =。

【点睛】
直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断。

17．【解析】由题意二项式展开的通项令得则的系数是考点：1二项式定理的展开式应用 解析：35
【解析】
由题意，二项式3
71()x x
+展开的通项372141771()
()r r
r r r r T C x C x x
--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4
735C =.
考点：1.二项式定理的展开式应用.
18．【解析】【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化
解析：1【解析】 【分析】
根据2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a . 【详解】
因为2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， 由cos sin (0)a a ρθρθ+=>，得(0)x y a a +=>，
由2cos ρθ=，得2
=2cos ρρθ，即22=2x y x +，即22(1)1x y -+=，
1101a a a =∴=±>∴=+Q ，，
【点睛】
（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；
（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2
cos ,sin ,ρθρθρ的形式，
进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
19．画画【解析】以上命题都是真命题∴对应的情况是：则由表格知A 在跳舞B 在打篮球∵③C 在散步是A 在跳舞的充分条件∴C 在散步则D 在画画故答案为画画
解析：画画 【解析】
以上命题都是真命题， ∴对应的情况是：
则由表格知A 在跳舞，B 在打篮球，
∵③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件， ∴C 在散步， 则D 在画画， 故答案为画画
20．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域
解析：[]3,1-
【解析】
试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]
3,1- 考点：函数定义域
三、解答题
21．（1）见解析；（2）1[,)e
+∞.
【解析】 【分析】
（1）()f x 的定义域为()0,+∞，且()()()2
1x x e ax f x x --'=，据此确定函数的单调性即
可；
（2）由题意可知()10x
b x e lnx --≥在[
)1,+∞上恒成立，分类讨论0b ≤和0b >两种情
况确定实数b 的取值范围即可. 【详解】
（1）()f x 的定义域为()0,+∞ ∵()()()2
1x x e ax f x x --'=
，0a <，
∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；()1,x ∈+∞时，()0f x '> ∴函数()f x 在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增. （2）当1a =-时，()1x f x bx b e x x ⎛⎫+--
- ⎪⎝⎭
()1x
b x e lnx =-- 由题意，()10x
b x e lnx --≥在[
)1,+∞上恒成立
①若0b ≤，当1x ≥时，显然有()10x
b x e lnx --≤恒成立；不符题意.
②若0b >，记()()1x
h x b x e lnx =--，则()1x
h x bxe x
'=-
, 显然()h x '在[
)1,+∞单调递增， （i ）当1
b e
≥
时，当1x ≥时，()()110h x h be ≥=-'≥' ∴[
)1,x ∈+∞时，()()10h x h ≥= （ii ）当10b e <<，()110h be -'=<，1
110b h e b e b ⎛⎫
=-> ⎝'->⎪⎭
∴存在01x >，使()0h x '=.
当()01,x x ∈时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '> ∴()h x 在()01,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增 ∴当()01,x x ∈时，()()10h x h <=，不符合题意
综上所述，所求b 的取值范围是1,e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
【点睛】
本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22．(1)3
A π
=(2)b c ==2
【解析】 【分析】 【详解】
(Ⅰ)由3sin cos c a C c A =-及正弦定理得
3sin sin cos sin sin A C A C C -=
由于sin 0C ≠，所以1sin 62
A π⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭， 又0A π<<，故3
A π
=.
(Ⅱ)ABC ∆的面积S =
1
sin 2
bc A =3,故bc =4， 而2222cos a b c bc A =+-故22c b +=8，解得b c ==2
23．（1）22194
x y +=；（2）22
013x y +=. 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、
b 、
c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：
第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、
2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为
()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用
0∆=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方
程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程. （1）由题意知
553a =⇒=，且有2235b -=2b =，
因此椭圆C 的标准方程为22
194
x y +=；
（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-， 当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-， 将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得
()()()2
22000094189360k x k y kx x y kx ++-+--=，
()(
)
()2220000184949360k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--⨯+--=⎣⎦⎣⎦
， 化简得()2
2
00
940y kx k ---=，即()()2
2
20
00
9240x k kx y y --+-=，
则1k 、2
k 是关于k 的一元二次方程()()22
20
00
9240x k kx y y --+-=的两根，则
201220419
y k k x -==--，
化简得22
0013x y +=；
②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆
2213x y +=上.
综上所述，点P 的轨迹方程为2
2
13x y +=.
考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用. 24．（Ⅰ
）3
；（Ⅱ
）7；（Ⅲ
）4
【解析】 【分析】
（Ⅰ）以B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，1BB 所在直线为y 轴，建立坐标系，设异
面直线AC 与11A B 所成角为α，算出11,AC A B u u u r u u u u r ，再利用cos α=11|cos ,|AC A B 〈〉u u u r u u u u r 计算即
可；
（Ⅱ）分别求出平面11AA C 的法向量m u r 与平面111B AC 的法向量n r
，再利用向量的夹角公式
算得cos ,m n 〈〉u r r
即可；
（Ⅲ）设(,,0)M a b ，由MN ⊥平面111A B C ，得11110
0MN A B MN A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ，进一步得到M 的坐标，再由模长公式计算BM 的长. 【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，其中点B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，1BB 所在直线为y 轴， 由题意，
111(0,0,0),B A C A B C ，
（Ⅰ
）11((AC A B ==-u u u r u u u u r ，
所以11
11
11
cos,
3
||||
AC A B
AC A B
AC A B
⋅
〈〉===
u u u r u u u u r
u u u r u u u u r
u u u r u u u u r，设异面直线AC与11
A B所成角为α，
则cosα
=
11
|cos,|
3
AC A B
〈〉=
u u u r u u u u r
，
所以异面直线AC与11
A B
所成角的余弦值为
3
.
（Ⅱ
）易知
111
(
AA AC
==
u u u r u u u u r
，
设平面
11
AA C的法向量(,,)
m x y z
=，
则11
1
m AC
m AA
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
u u u u v
v
u u u v
v
，即
⎧+=
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
令x=
z=
，所以m=
u r
，
同理，设平面111
B AC的法向量(,,)
n x y z
=
r
，
则11
11
n A C
n A B
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
u u u u v
v
u u u u v
v
，即
⎧-+=
⎪
⎨
-=
⎪⎩
，
令y=
z=
n=
r
，
所以
2
cos,
7
||||
m n
m n
m n
⋅
〈〉===
⋅
u r r
u r r，
设二面角111
A AC B
--的大小为θ，
则sin
7
θ==，
所以二面角111
A AC B
--
的正弦值为
7
.
（Ⅲ）由N为棱11
B C
的中点，得,
22
N
⎛
⎝⎭
，设(,,0)
M a b
，则MN a b
=--
⎝⎭
u u u u r
，
由MN⊥平面111
A B C，得11
11
MN A B
MN A C
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
u u u u v u u u u v
u u u u v u u u u v，即
2
(22)022325(2)(2)50222a a b ⎧⎛
⎫-⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫⎛⎫⎪-⋅-+-⋅-+⋅= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
⎩，
解得222
4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，故22,,024M ⎛⎫
⎪⎝⎭，因此22,,024BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ， 所以线段BM 的长为10
||BM =
u u u u r
.
【点睛】
本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查学生的空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
25．（1）l 的普通方程210ax y a +--=；C 的直角坐标方程是22220x y x y +--=；（2）33
±
【解析】 【分析】
（1）把直线l 的标准参数方程中的t 消掉即可得到直线l 的普通方程，由曲线C 的极坐标方程为ρ＝2（θ4π+
），展开得222ρ=（ρsinθ+ρcosθ），利用x cos y sin ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩即可得出曲线C 的直角坐标方程； （2）先求得圆心C 到直线AB 的距离为d ，再用垂径定理即可求解．
【详解】
（1）由直线l 的参数方程为21x t
y at =+⎧⎨=-⎩
，所以普通方程为210ax y a +--=
由曲线C 的极坐标方程是22sin 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，
所以2
2sin 2cos 4πρθρθρθ⎛⎫
=+
=+ ⎪⎝
⎭
， 所以曲线C 的直角坐标方程是2
2
220x y x y +--=
（2）设AB 的中点为M ，圆心C 到直线AB 的距离为d
，则MA =， 圆()()2
2
:112C x y -+-=
，则r =
()1,1C ，
12
d MC ====,
由点到直线距离公式，12
d =
=
=
解得a =±，所以实数a
的值为±
.
【点睛】
本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程，考查了点到直线的距离公式，圆中垂径定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 26．(1) T π= ；26k x ππ
=
+（k Z ∈）. (2) 5(,]6ππ--，[,]36
ππ-和2[
,]3
π
π 【解析】 【分析】
（1）化简得()1sin 262f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，再求函数的周期和对称轴方程；（2）先求出函数
在R 上的增区间为[,3
6
k k π
π
ππ-+
] （k Z ∈），再给k 赋值与定义域求交集得解.
【详解】
解：（1）(
)2
cos cos f x a b x x x =⋅+r r
111sin2cos2sin 222262x x x π⎛
⎫=
++=++ ⎪⎝
⎭ 所以()f x 的周期22
T π
π==, 令26
2
x k π
π
π+
=+
（k Z ∈），即26
k x ππ
=
+（k Z ∈） 所以()f x 的对称轴方程为26
k x ππ
=
+（k Z ∈）.
（2）令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-≤+
≤+
（k Z ∈）
解得36
k x k π
π
ππ-
≤≤+
（k Z ∈），由于(]
,x ππ∈- 所以当1,0k =-或1时，
得函数()f x 的单调递增区间为5,6ππ⎛⎤-- ⎥⎝
⎦，,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和2,3ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期的求法和对称轴的求法，考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。