交大附中2018~2019学年高三第二次模拟考试数学(理)试题
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交大附中2018~2019学年第二学期
高三第二次模拟考试数学(理)试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2.选择题每小题选出答案后,用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集U R =,则正确表示集合{1,0,1}M =-和{
}
2
|0N x x x =+=关系的韦恩(Venn )图是( )
A B C D
2.设复数yi x z +=(x ,y 是实数)满足5
23i i z ++=,则
1
2
++x y 的值为( ) A .
34 B .43 C .54 D .4
5 3.函数的图像大致为( ) x x
x x
e e y e e
--+=-
A B C D
4.若向量a ,b 满足1
2a b ==,且a 与b 的夹角为3
π
,则a b +=( ) A .6 B .6 C .7 D .7 5.执行右边的程序框,若p =0.8,则输出的n =( ) A .4 B .6 C .8 D .10
6.已知a ,b ,c 为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,向量m =(1,3-),n
=(cos A ,sin A ).若n m
⊥,且a cos B +b cos A =c sin C ,则角B =( )
A .
3π B .4π C .6
π D .2π
7.设1a >,则双曲线22
22
1(1)
x y a a -=+的离心率e 的取值范围是( )
A .(22),
B .(25),
C .(25),
D .(25),
8.如图所示的圆形图案是我国古代建筑中的一种装饰图案,形若铜钱,寓意富贵吉祥.在圆内随机取一点,则该点取自中间阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是( )
A .
21 B .31 C .π
4
-2 D .1-4π 9.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等,E 是SB 的中点,则AE SD ,所成的角的余弦值为( )
A .
13
B .
23
C .
33
D .
23
10.已知不等式a x x x ≤+cos sin 对任意[]π,0∈x 恒成立,则整数a 的最小值为( ) A .2 B .1 C .0 D .-1
11.在数列{}n a 中,().21,11221≥-==-n a n n a a n n 记n S 为数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧2
n a n 的前n 项和,若2549=n S ,则n =( )
A .25
B .48
C .49
D .50
12.已知函数[)+∞∈-+
+=,4,4ln )4()(2
k x
x x k k x f ,曲线)(x f y =总存在两点),(),,(2211y x N y x M ,使曲线)(x f y =在N M ,两点处的切线互相平行,则21x x +的取值
范围为( )
A .),5
8
(+∞ B .),516(
+∞ C .⎪⎭⎫
⎢⎣⎡+∞,58 D .⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,516
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.若⎰
-=
π
)cos sin 2(dx x x a ,则6
⎪⎭
⎫
⎝⎛-x x a 的展开式中常数项为________.
14.设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x +2y ≤1,2x +y ≥-1,x -y ≤0,
则z =3x -2y 的最小值为________.
15.近日,据《三秦都市报》消息称陕西新高考方案初稿已经形成,新高考从2019年秋季入学的新高一学生开始执行“3+3”模式,即除语文、数学、外语三科为必考科目外,还要在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿定为北京大学环境科学专业,按照2018年北大高考招生选考科目要求物理、化学必选,为该生安排课表(上午四节、下午四节,每门课每天至少一节课),现该生某天最后两节为自习课,且数学不排下午第一节,语文、外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻),则该生该天课表不同的排法有________种.
16.在四棱锥S -ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形,若四棱锥S -ABCD 体积的取值范围为⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡38,334,则该四棱锥外接球表面积的取值范围是________.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知a>b ,a =5,c =6,sin B =3
5.
(△)求b 和sin A 的值;
(△)求⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
42sin πA 的值. 18.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,平面⊥BC A 1侧面11A ABB .
(△)求证:AB BC ⊥;
(△)若直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ,二面角1A BC A --的大小为ϕ,试判断θ与ϕ的大小关系,并予以证明.
19.甲乙两队参加趣味数学知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为
32,乙队中3人答对的概率分别为2
1
,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分. (△)求随机变量ε分布列和数学期望;
(△)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P (AB ).
20.设椭圆中心在坐标原点,(20)(01)A B ,,
,是它的两个顶点,直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点.
(△)若6ED DF =,求k 的值; (△)求四边形AEBF 面积的最大值.
21.已知函数()()x
x x x f +-+=11ln 2
2
.
(△)求函数()f x 的单调区间;
(△)若不等式e n a
n ≤⎪
⎭
⎫
⎝⎛++11对任意的N*n ∈都成立(其中e 是自然对数的底数).求a 的最
大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C :22
149x y +=,直线l :222x t y t
=+⎧⎨=-⎩(t 为 参数). (△)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;
(△)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o
30的直线,交l 于点A ,求||PA 的最大值与最小值. 23.选修4—5:不等式选讲 已知函数f (x )=|x +1|-2|x -a |,a >0.
(△)当a =1时,求不等式f (x )>1的解集;
(△)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.
交大附中2018~2019学年第二学期
高三第二次模拟考试数学(理)答案
13.240 14.-5 15.1776 16.]ππ
20,328⎢⎣⎡
17.
解:(1)在△ABC 中,因为a>b ,所以由sin B =35,可得cos B =4
5. 由已知及余弦定理,有b 2=a 2+c 2-2ac cos B =13,所以b =13.
由正弦定理a sin A =b sin B ,得sin A =a sin B b =313
13. 所以b 的值为13,sin A 的值为313
13.
(2)由(1)及a<c ,得cos A =21313,所以sin 2A =2sin A cos A =12
13,cos 2A =1-2sin 2A
=-513.
故sin (2A +π4)=sin 2A cos π4+cos 2A sin π4=72
26. 18.
解析:(△)证明:如右图,过点A 在平面A 1ABB 1内作 AD △A 1B 于D ,则
由平面A 1BC △侧面A 1ABB 1,且平面A 1BC 侧面A 1ABB 1=A 1B ,得 AD△平面A 1BC ,又BC ⊂平面A 1BC ,所以AD △BC .
因为三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱,则AA 1△底面ABC ,所以AA 1△BC. 又AA 1
AD =A ,从而BC △侧面A 1ABB 1,又AB ⊂侧面A 1ABB 1,故AB △BC .
(△)解法1:连接CD ,则由(△)知ACD ∠是直线AC 与平面A 1BC 所成的角,
1ABA ∠是二面角A 1—BC —A 的平面角,即1,,ACD ABA ∠=θ∠=ϕ
于是在Rt△ADC 中,sin ,AD AC θ=
在Rt△ADB 中,sin ,AD
AB
ϕ= 由AB <AC ,得sin sin θϕ<,又02
π
θϕ<,<,所以θϕ<,
解法2:由(△)知,以点B 为坐标原点,以BC 、BA 、BB 1所在的直线分 别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设AA 1=a ,AC =b , AB =c ,则 B (0,0,0), A (0,c ,0), 221(,0,0),(0,,),C b c A c a -于是
221(,0,0),(0,,),BC b c BA c a =-= 221(,,0),(0,0,).AC b c c AA a =--= 设平面A 1BC 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则
由10,0,n BA n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩得220,0,cy az b c x +=⎧⎪-= 可取n =(0,-a ,c ),于是0n AC ac AC =>,
与n 的夹角β为锐角,则β与θ互为余角. 2
2
sin cos n AC n AC
b a c
θ-β=
=
+(应为等号)
12
2
1cos BA BA BA BA
a c
ϕ=
=
+所以2
2
sin a c
ϕ=+
于是由c <b 2
2
2
2
b a c
a c
++
即sin sin ,θϕ<又0,2π
θϕ<,<所以,θϕ<
19.
(△)解法一:由题意知,ε的可能取值为0,1,2,3,且
,
9
2)321(32)1(,271)321()0(231
330
=-⨯⨯===-⨯==C P C P εε
所以ε的分布列为
ε的数学期望为 Eε=.227
839429212710=⨯+⨯+⨯+⨯
(△)解法一:用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件,用D 表示“甲得3分乙得
0分”这一事件,所以AB =C △D ,且C 、D 互斥,又
223433352211121211102
()(1),
()333233233233
21114
()()(),
33323
P C C P D C ⎡⎤=-⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⎢⎥⎣⎦=⨯⨯⨯⨯=
由互斥事件的概率公式得
24334
3343543
10)()()(54
==+=
+=D P C P AB P .
解法二:用A k 表示“甲队得k 分”这一事件,用B k 表示“已队得k 分”这一事件,
k =0,1,2,3由于事件A 3B 0,A 2B 1为互斥事件,故事 P (AB )=P (A 3B 0△A 2B 1)=P (A 3B 0)+P (A 2B 1).
2
3213223222112111234()()().33232323243
C C =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
20.
(△)解:依题设得椭圆的方程为2
214
x y +=,
直线AB EF ,的方程分别为22x y +=,(0)y kx k =>. ··························· 2分 如图,设001122()()()D x kx E x kx F x kx ,,,,,,其中12x x <, 且12x x ,满足方程22(14)4k x +=,
故21x x =-=
.△
由6ED DF =知01206()x x x x -=-
,得021215(6)77x x x x =+==;
由D 在AB 上知0022x kx +=,得02
12x k
=
+.
所以
212k =+,化简得2242560k k -+=, 解得23k =
或3
8
k =. ········································································ 6分 (△)解法一:根据点到直线的距离公式和△式知,点E F ,到AB
的距离分别为
1h =
=
,
2h =
=
·············································· 9分
又AB ==,所以四边形AEBF 的面积为
121()2S AB h h =+14(125
25(14k k +=
+=
=≤ 当
21k =,即当12
k =时,上式取等号.所以S 的最大值为. ············· 12分 解法二:由题设,1BO =,2AO =.
设11y kx =,22y kx =,由△得20x >,210y y =->,
故四边形AEBF 的面积为
BEF AEF S S S =+△△222x y =+ ·······················································
········· 9分
=
=
=,
当222x y =时,上式取等号.所以S 的最大值为.
21.
解: (△)函数()f x 的定义域是(1,)-+∞,
22222ln(1)22(1)ln(1)2().1(1)(1)
x x x x x x x f x x x x ++++--'=-=+++ 设2()2(1)ln(1)2,g x x x x x =++--则()2ln(1)2.g x x x '=+- 令()2ln(1)2,h x x x =+-则22()2.11x h x x x
-'=-=++ 当10x -<<时, ()0,h x '> ()h x 在(-1,0)上为增函数,
当x >0时,()0,h x '<()h x 在(0,)+∞上为减函数.
所以h (x )在x =0处取得极大值,而h (0)=0,所以()0(0)g x x '<≠,
函数g (x )在(1,)-+∞上为减函数.
于是当10x -<<时,()(0)0,g x g >=
当x >0时,()(0)0.g x g <=
所以,当10x -<<时,()0,f x '>()f x 在(-1,0)上为增函数.
当x >0时,()0,f x '<()f x 在(0,)+∞上为减函数.
故函数()f x 的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为(0,)+∞.
(△)不等式1(1)n a e n ++≤等价于不等式1()ln(1) 1.n a n ++≤由111n
+>知, 1
.1ln(1)a n n ≤-+ 设(]11(),0,1,ln(1)G x x x x
=-∈+则 22
222211(1)ln (1)().(1)ln (1)(1)ln (1)
x x x G x x x x x x x ++-'=-+=++++ 由(△)知,2
2
ln (1)0,1x x x +-≤+即22(1)ln (1)0.x x x ++-≤ 所以()0,G x '<(]0,1,x ∈于是G (x )在(]0,1上为减函数.
故函数G (x )在(]0,1上的最小值为1(1) 1.ln 2G =-
所以a 的最大值为1 1.ln 2-
22.解:
2cos.
().
3sin.
60.
x
y
l x y
θ
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
+-=
(I)曲线C的参数方程为为参数直线的普通方程为2
cos sin
3sin 6.
l
d
θθ
θθ
=+-
(II)曲线C上任意一点P(2.3)到的距离为
4
)6,tan.
sin303
sin
5
sin()1
5
d
PA
PA
PA
θααα
θα
θα
==+-=
︒
+=
则其中为锐角,且
当(+)=-1时,取得最大值,最大值为
当时,取得最小值,最小值为
23.(Ⅰ)当1
a=时,不等式()1
f x>化为|1|2|1|10
x x
+--->,
当1
x-
≤时,不等式化为40
x->,无解;
当11
x
-<<时,不等式化为320
x->,解得
2
1
3
x
<<;
当1
x≥时,不等式化为20
x
-+>,解得12
x<
≤.
所以()1
f x>的解集为
2
{|2}
3
x x
<<.
(Ⅰ)有题设可得,
12,1
()312,1
12,
x a x
f x x a x a
x a x a
--<-
⎧
⎪
=+--
⎨
⎪-++>
⎩
≤≤,所以函数()
f x图象与x轴围成的
三角形的三个顶点分别为
21
(,0),(21,0),(,1)
3
a
A B a C a a
-
++,ABC
∆的面积为2
2
(1)
3
a+.有题设得2
2
(1)6
3
a+>,故2
a>.所以a的取值范围为(2,)
+∞.。