北京大学杨家忠常微分方程2016春期中考试题
常微分方程计算题及答案
计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
(完整版)常微分方程试题及答案
第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。
（X ）2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
15•微分方程xy |nx 0的通解是y 2In① y 3 In xdx xdy 0是可分离变量微分方程。
② xy 2x dx y x 2y dy 0是可分离变量微分方程。
③ x? y 4是齐次方程。
y 2y 0是二阶常系数齐次线性微分方程。
6. ysiny 是一阶线性微分方程。
（X)7. y 3 3x yxy 不是一阶线性微分方程。
(O )8. y 2y 5y 0的特征方程为r 22r 5 0。
(9. dy 1 xy 2 xy 2是可分离变量的微分方程。
dx、填空题1.在横线上填上方程的名称o )(O )2. sin xy x cosx 的通解中应含 _3个独立常数。
3. 1 e 2x 的通解是-e 2x C 1x C 2。
42x4.1 sin2x cosx 的通解是 -sin2x cosx C 1x C 2。
45. xy 2x 2yx 41是二 ______ 阶微分方程。
3.函数y 3sinx 4cosx 是微分方程y y 0的解。
（0 ）4.函数y x 2 e x 是微分方程y 2y y0的解。
（X ）C （C 为任意常数）。
（0 ）④xyy x 2 sinx 是一阶线性微分方程。
6 .微分方程y y阶微分方程。
1A. 3 B7. y y 满足y L 0 2的特解是（B ） oxA. y e x 1 B . y 2e x C . y 2 e 2&微分方程y y sinx 的一个特解具有形式 A . y a sinx24 .微分方程y 3y 3的一个特解是（cosxC 1e xC 2e x 是方程y y 0的（A ）,其中C 1,C 2为任意常数。
A.通解B .特解C .是方程所有的解 D .上述都不对7. 8.丄所满足的微分方程是yx空的通解为y xCx 2。
9.dx dy 0的通解为 x10.dy dx 2yx 15x 1 2,其对应的齐次方程的通解为11. 方程xy 1 0的通解为y 12. 3阶微分方程x 3 * 5的通解为yx 2Cxe 2 o x C 1 x C 2 x C 3 o120三、选择题1 .微分方程 xyy 3y 4y 0的阶数是（D ） oA. 3 B 2 .微分方程x 51的通解中应含的独立常数的个数为3.下列函数中，哪个是微分方程dy 2xdx 0的解（A . y 2xB . y x 2C .2x Dy a cosxy xy 3y 2 011 .在下列函数中，能够是微分方程 y y 0的解的函数是（C ）y 1 B . y x C . y sinx D . y.Cx17.微分方程0的解为（B ）C . y x asin x bcosxy acosx bsinx9.下列微分方程中,是二阶常系数齐次线性微分方程。
北京大学高等代数_I+2016+期中考试题+-+答案
北京大学数学学院期中试题一．（16分）（1）叙述向量组线性相关, 线性无关, 向量组极大无关组的定义 ;（2）已知向量组α1 , ... , α s 能线性表出β1 , ... , β r , 且α1 , ... , α s 的秩等于β1 , ... , β r 的秩 . 证明: β1 , ... , β r 也能线性表出α1 , ... , αs .二．（16分）计算n 级行列式 D = nn 2n 1n n 22212n 12111b a n b a n b a n b a b a b a b a b a b a +++++++++222111. 解：n = 1时，D = 1+ a 1b 1 ；n = 2时，D =（2a 1–a 2 ）（b 1–b 2 ）；n>2时，D = n1n 21n 11n n 12212112n 12111b a n a b a n a b a n a b a a b a a b a a b a b a b a )()()()2()2()2(111------+++= 0 .三．（24分）设矩阵 A 的列向量依次为α1 , ... , α5 . 已知齐次方程组A X = 0解空间的一组基为 [ 3 1 1 0 0 ] T , [ 5 6 1 2 -1 ] T .1) 求A 的简化阶梯型矩阵J ;2) 求A 列向量组的一个极大无关组, 并用此极大无关组表出A 的每个列向量;3) 求 A 行空间的一组基, 并判断当a 取何值时，β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 写出此时β在 基底下的坐标；4) 将A 写成BC 的形式，B 是列满秩的矩阵，C 是行满秩的矩阵.解: 1) 矩阵A 的行空间与A 的解空间在R 5中互为正交补 , 即向量 [ a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ] 在A 的行空间中当且仅当 3 a 1 + a 2 + a 3 = 0 且 5a 1 + 6a 2 + a 3 +2 a 4 – a 5 = 0 .解此方程组得行空间的一组基⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12052001131216500113 得 ⎩⎨⎧++=--=42152132523a a a a a a a a 1 , a 2 , a 4为自由变量. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21000501102030125234214214212154321a a a a a a a a a a a a a a a a 故A 的简化阶梯形为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-- 00000210005*********. 2) A 列向量组的一个极大无关组为α1 , α2 , α4 , 且α3 = –3 α1 – α2 , α5 = 2 α1 + 5α2 + 2α3 ;3) A 行空间的一组基为简化阶梯形的前3个行向量；若 β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 则β在此基底下的坐标只能是 [ 1 a 3 ] T ，且有–3–a = 0 , 2 + 5 a + 6 =2a –1 .此条件当且仅当 a = –3 时成立.故当且仅当 a = –3 时β落在A 的行空间里, 此时β的坐标是[ 1 –3 3 ] T .4) A = [ a 1 a 2 a 4 ] ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--210005*********.四．（12分）设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000100010. 记 C( A) = { X ∈ M 3 (R) | A X = X A }.1) 证明: 集合C( A )是线性空间M 3 (R) 的子空间;2) 求子空间C( A ) 的维数和一组基 .解：2) C( A ) 的一组基为 I ，A ，A 2 （ A 3 = 0 ）。
高等数学题库常微分方程
高等数学题库常微分方程第6章常微分方程习题一一、填空题： 1、微分方程1sin 2=+''-'''x y y 的阶数为__________。
2、设某微分方程的通解为()xex c c y 221+=，且00==x y，10='=x y 则___________1=c ，_____________2=c 。
3、通解为xce y =（c 为任意常数）的微分方程是___________。
4、满足条件()()=+?dx x f x f x2的微分方程是__________。
5、 y y x 4='得通解为__________。
6、1+=y dxdy的满足初始条件()10=y 的特解为__________。
7、设()n c c c x y y =,,,21是微分方程12=+'-'''y y x y 的通解，则任意常数的个数__________=n 。
8、设曲线()x y y =上任意一点()y x ,的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程为___________。
二、求下列微分方程满足初始条件的特解： 1、y y x y ln sin ='，e y x ==2π2、()0sin 1cos =-+-ydy e ydx x ，40π==x y3、yx ey -='2，00==x y4、xdx y xdy y sin cos cos sin =，4π==x y三、求下列微分方程得通解：1、1222+='y y y x 2、2211y y x -='-3、0ln =-'y y y x4、by ax e dx dy+= 5、022=---'x y y y x 6、xy y dx dy x ln = 四、验证函数xe c x c y 21+=是微分方程()01=-'+''-y y x y x 的通解，并求满足初始条件1,100='-===x x y y的特解。
《常微分方程》练习题二
常微分方程 练习题二一、填空题1．方程y y xy ln d d =所有常数解是（ y=1 ）． 2．方程y x x y cos cos d d +=满足解的存在惟一性定理条件的区域是（ 全平面 ）．3．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个（ n ）维线性空间．4．方组0y y ''+=的基本解组是（ y 1=cos x, y 2=sin x ）．5．若函数组)()(21x x ϕϕ，在区间),(b a 上线性相关，则它们的朗斯基行列式)(x W 在区间),(b a 上（ 恒等于零 ）． 6．方程d cos d x y y xe x+=的任一解的最大存在区间必定是 (,)-∞+∞ ． 7．方程sin cos dy x y dx =⋅满足解的存在惟一性定理条件的区域是 xoy 平面 ．8．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 n 维线性空间．9．方程2sin dy x y dx=的所有常数解是 ,0,1,2,y k k π==±± ． 10．方程20y y y '''++=的基本解组是 y=ex - y=xe x - ．一、 单项选择题 1．方程t t x x xcos 2=++ 的任一解的最大存在区间都是（ B ）． （A ）),0(∞+ （B ）),(∞+-∞ （C ）)0,(-∞ （D ）)2,1(2. 李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ A ）条件．（A ）充分 （B ）必要 （C ）充分必要 （D ）必要非充分3．方程2d d y xy =过点)1,3(-的解的存在区间是（ C ）． （A ）),0(∞+ （B ）)3,(-∞ （C ）),2(∞+ （D ）),2[∞+4．方程03=+x x的任一非零解在),,(x x t 空间中（ A ）． （A ）不能与t 轴相交 （B ）可以与t 轴相交（C ）可以与t 轴横解相交 （D ）可以与t 轴相切5．用待定系数法求方程x y y sin 2=+''的非齐次特解1y 时，应将特解1y 设为（ D ）．（A ）x A y sin 1= （B ）x B x A y cos sin 1+=（C ）x B y cos 1= （D ）)cos sin (1x B x A x y +=6．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解唯一的( B )条件．（A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分7． 方程0x x +=的任一非零解在tox 平面上（ A ）与t 轴横截相交．（A ）可以 （B ）不可以 （C ）只能在0t =处可以 （D ）只能在2t π=处可以8. 方程1y '=（ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ） 无9．方程y '=(0,0)解sin y x =，这个解的存在区间是（ C ）．（A ）(0,)+∞ （B ）(,0)-∞ （C ）[,]22ππ-（D ）(,)-∞+∞ 10．线性齐次微分方程组的解组12(),(),,()n Y x Y x Y x 在区间I 上线性相关的（ B ）条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式()0W x =．（A ）充分 （B ）充分必要 （C ）充分非必要 （D ）必要三、简答题1. 用分离变量法求解方程()()dy f x y dxϕ=的步骤和原理是什么？ 化成积分方程求解且二者等价1. 该方程在全平面上满足解的存在唯一及延展定理条件,因此该方程任一解可以延展到平面的无穷远处，为什么该方程的所有解不能都在(,)-∞+∞上存在,这与解的延展定理矛盾吗?为什么？不矛盾，因为平面的无穷远有任意的方向。
常微分方程练习题
常微分方程练习题习题一一、单项选择题.1.微分方程yy32coyy5的阶数是（）.A.1B.2C.3D.52.克莱罗方程的一般形式是（）.A.y某y(y)B.某某y(y)C.y某y(某)D.某某y(y)3.下列方程中为全微分方程的是（）.A.某dyyd某某dyyd某0B.022某y某y22C.某dyyd某0D.某dyyd某0 2某某4.用待定系数法求方程y2yy某e的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y 某(a某b某c)e5．Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题1．方程y某tany的所有常数解是.某2某某22某某2某某2某某3某2C满足的一阶方程是.2．函数y523．设y1某e某e2某,y2某e某e 某,y3某e某e某e2某为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此方程为.24．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.d某某dt5．系统的零解的是稳定的.dyydt三、求下列一阶微分方程的通解.dyy4某2y210d某某dyyy2(co某in某)2.d某1.3.(某2y)d某某dy0.四、求下列高阶方程的通解.1.yy1co某2.试用观察法求方程(1ln某)y11y2y0的通解．某某某y5z五、求解微分方程组y5某3y的通解.z某3zd某33某ydt六、判定系统的零解稳定性.dy3某3y3dt七、证明题1．设f(某)在[0,)上连续，且limf(某)0，求证：方程某dyyf(某)的任意解yy(某)均d某有limy(某)0.某2.假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组其中C,P是常数向量.d某A某Cemt，有一解形如：(t)Pemt.dt习题二一、单项选择题1.微分方程dyy2某2的阶数是（）.d某A.1B.2C.3D.42.克莱罗方程的一般形式是（）.A.y某y(y)B.某某y(y)C.y某y(某)D.某某y(y)3.Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.n阶齐次线性常微分方程的任意n1个解必定（）.A.可组成方程的一个基本解组B.线性相关C.朗斯基行列式不为0D.线性无关5．用待定系数法求方程y2yy某e的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y某(a某b某c)e二、填空题.1．当n时，微分方程yP(某)yQ(某)y为伯努利方程．n某2某某22某某2某某2某某某2．在方程某p(t)某q(t)某0中，当系数满足条件时，其基本解组的朗斯基行列式等于常数.3．若y=y1(某)，y=y2(某)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．24．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.5．设某0I，Y1(某),,Yn(某)是区间I上线性齐次微分方程的n个解，则Y1(某),,Yn(某)在区间I上线性相关的条件是向量组Y1(某0),,Yn(某0)线性相关.三、求下列一阶微分方程的通解.1.某yy(某y)ln2.某y某dyyy2(co某in某)d某3.(ye某ey)d某(1ey)dy0四、求下列高阶方程的通解.1.y某yy02.yy21co某d某5y4某dt五、求解微分方程组的通解.dy4y5某dtd某33某ydt六、判定系统的零解稳定性.dy3某3y3dt七、证明题.1．设分因子.f(某,y)及f连续,试证方程dyf(某,y)d某0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与某的积yd2ydyp(某)q(某)y0中，p(某)在区间I上连续且恒不为零，2.设在方程试证它的任意两个线d某d某2性无关解的朗斯基行列式是在区间I上严格单调函数．习题三一、单项选择题.1.微分方程y某某iny的阶数是（）.A.1B.2C.3D.52.下列方程中为全微分方程的是（）.A.某dyyd某某dyyd某0B.022某y某yC.某dyyd某0D.某2dyy2d某03.微分方程yP(某)yQ(某)y，当n1时为（）.A.一阶线性齐次微分方程B.一阶线性非齐次微分方程C.伯努利方程D.里卡蒂方程4.Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．用待定系数法求方程y2yy(某22某)e某的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y某(a某b某c)e二、填空题.1．函数某c1cotc2int(其中c1,c2为任意常数)满足的一阶方程是.2．方程tanyd某cot某dy0所有常数解是．3．设y1某e某e2某,y2某e某e某,y3某e某e某e2某为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此方程为.24．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.n某某2某某2某某2某某22某5．与初值问题某2某7t某et,某(1)7,某(1)2等价的一阶方程组的初值问题为.三、求下列一阶微分方程的通解.1.(某1)y2某y02.22dyyy2(co某in某)d某3.(某4y)y2某3y5四、求下列高阶方程的通解.1.t某2t某2某02.某某2某02某y5z五、求解微分方程组y5某3y的通解.z某3zd某33某ydt六、判定系统的零解稳定性.dy3某3y3dt七、证明题.1．设f(某)在[0,)上连续，且limf(某)0，求证：方程某dyyf(某)的任意解yy(某)均d某有limy(某)0.某2.证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数．习题四一、单项选择题1.微分方程y某y某2的通解中含有任意常数的个数为（）.A.1B.2C.3D.42.当n1时，微分方程yp(某)yq(某)yn最确切的名称为（）.A.一阶线性齐次微分方程B.伯努利方程C.一阶线性非齐次微分方程D.里卡蒂方程3.Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在整个数轴上线性无关的一组函数为（）.A.某,C.e某2,某1,某1B.0,某,某2,某3e某2D.e2某,某e某25．用待定系数法求方程y2yy某2e某的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y某(a某b某c)e二、填空题.1.方程tanyd某cot某dy0所有常数解是．2．若yy1(某),yy2(某)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．23．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.某2某某2某某2某某22某4．已知cot和int是二阶齐次线性方程某a(t)某b(t)某0的两个解，则a(t)．5．如果常系数线性方程组某A某的特征值的实部都是负数，则该方程组的任一解当t时收敛于．三、求下列一阶微分方程的通解1.dyyytand某某某dyy某22.d某2某2y3.(ye某ey)d某(1ey)dy0四、求下列高阶方程的通解1.t某3t某5某02.某''某tant2d某4某5ydt五、求解常微分方程组.dy4y5某dt某ya某3六、判定系统（这里的a）的零解稳定性.3y某ay七、设y(某)在[0,)上连续可微，且有lim[y(某)y(某)]0，试证：limy(某)0.某某。
常微分方程期中考试题
优秀学习资料 欢迎下载常微分方程期中测试试卷(1)一、填空(dy)ndy y 2 x 21 微分方程 dx dx的阶数是 ____________2若M ( x, y)和N ( x, y)在矩形区域 R 内是 (x, y)的连续函数 , 且有连续的一阶偏导数 , 则方 程 M ( x, y) dx N ( x, y)dy0 有 只 与 y有 关 的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是 _________________________ 3 _________________________________________ 称为齐次方程 .dyf ( x, y)4 如果f ( x, y)___________________________________________ , 则 dx存在唯一的解 y(x) , 定义于区间 x x 0h 上 , 连续且满足初始条件 y 0( x 0 ) , 其中h_______________________ .5 对 于 任 意 的( x, y 1 ) ,( x, y 2)R (R 为某一矩形区域), 若存在常数N(N0) 使______________________ , 则称f (x, y)在 R 上关于 y满足利普希兹条件 .dy x 2 y 22 x2, 2 y2上 , 则经过点(0,0) 的解6 方程 dx定义在矩形区域 R :的存在区间是 ___________________7 若 x i (t )(i 1,2,.....n) 是齐次线性方程的n 个解 , w(t )为其伏朗斯基行列式 , 则w(t )满足一阶线性方程 ___________________________________8若 x i (t)(i1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组,x(t)为非齐次线性方程的一个特解 , 则非齐次线性方程的所有解可表为_________________________9 若( x)为毕卡逼近序列 n (x)的极限，则有 (x) n ( x)__________________10 _________________________________________称为黎卡提方程， 若它有一个特解y(x) ，则经过变换___________________，可化为伯努利方程．二求下列方程的解dyy１dx x y 3dy xy 2２求方程dx经过( 0,0)的第三次近似解dyy21的解的存在区间３讨论方程 dx， y(1)(dy)2y 21 04 求方程 dx的奇解(cos x1)dx (1x)dy5y yy 26y ' y 2 2 y sin x cosx sin 2 x 7( 2xy 23y 3 )dx (7 3xy 2 ) dy 0三 证明题1 试证 : 若已知黎卡提方程的一个特解, 则可用初等积分法求它的通解2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明: 一阶线性方程 P( x) , Q( x) 在 ,上连续时 , 其解存在唯一参考答案一 填空题 1 1dyQ( x)P(x) ydx, 当234 56M N1()()( y)yx Mdy g ( y)形如dxx 的方程在 R 上连续且关于y满足利普希兹条件f ( x, y 1 ) f (x, y 2 ) N y 1y 21 1 x44h min( a, b)m7w ' a 1 (t )w 0n8xc i x ixi 1nMLh n 19(n 1)!dyp( x) y 2 q( x) y r ( x)y z y10 形如 dx的方程二 求下列方程的解dxxy 3x 211 dyy3y x eydyxcy1解：dyyy( y 2 eydy c)，则所以2另外 y 0也是方程的解2解：0 ( x)x2( x) dx1x 2 1 ( x)x2x12( x) dx 1 x 2 1 x 5 2 ( x)x220x22( x) dx1x 21x 51 x 111x 83 (x)x2204400160dydx3解： y21x c两边积分y1y所以方程的通解为x c过 y(1) 1 的解为y12故x通过点(1,1)的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到 ２，所以解的存在区间为(,2)4 解 : 利用 p判别曲线得p 2y 2 1 02 p 0消去 p 得 y21 即 y1所以方程的通解为ysin( x c) , 所以 y1是方程的奇解My 2N y2MN5 解 :y = ,x =,y =x, 所以方程是恰当方程 .u cos x1x yv 1 x得usin xx( y)y y y2yu xy2'( y)( y)ln yy所以sin xx ln y cy故原方程的解为6解 :y ' y 2 2 ysin x cosx sin 2 x 故方程为黎卡提方程 . 它的一个特解为ysin x , 令 yzsin x ,dz z 2z1 则方程可化为 dx,x cy sin x1ysin x1x c ,xc即故7解 : 两边同除以 y 2得2xdx 3ydx7 dy 3xdy 0y 2dx2d3xyd7y优秀学习资料欢迎下载x 23xy7c y 0也是方程的解所以y, 另外三证明题1证明 : 设黎卡提方程的一个特解为y y令yz y ,dy dz d y dy p( x) y2q( x) y r ( x)dx dx dx又dxdz p( x)( z y) 2q( x)( z y)r ( x) d y dx dxd y2q( x) y r ( x)dzp( x) z2 2 p( x) yp( x) y得 dx由假设dx此方程是一个 n2的伯努利方程,可用初等积分法求解2证明 :令 R :x,,y RP( x) ,Q( x) 在,上连续, 则f ( x, y)P(x) y Q( x)显然在 R 上连续,因为 P( x)为,上的连续函数 ,故 P(x) 在,上也连续且存在最大植,记为L即 P( x)L ,x,y1, y2R f ( x, y1 ) f ( x, y2 )P(x) y1P( x) y2=P(x) y1因此一阶线性方程当P( x) ,Q ( x) 在,上连续时 , 其解存在唯一q( x) zy2L y1y2常微分方程期中测试卷(2)1．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)dydy4322x 2x sin yd y2 d yd y 0y x（1） dx（ 2） dx（3） dx 4dx 3 dx 2dr3d 2r（4） x xx x t（ 5） ( ds)1 ds 2（ 6） x2dy y 2dx 02、填空题 (8%)dyx tan y（1）．方程dx的所有常数解是 ___________.（ 2）．若 y=y 1( x ) ， y=y 2( x ) 是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ________________.（ 3 ） . 若 方 程 M ( x, y )d x + N ( x, y )d y = 0 是 全 微 分 方 程 ， 同 它 的 通 积 分 是________________. （4） . 设 M ( x 0, y 0) 是可微曲线 的截距分别是 _________________.3、单选题 (14%)y = y ( x ) 上的任意一点，过该点的切线在 x轴和 y 轴上（1）．方程y ln ydx( x ln y)dy是（） .(A) 可分离变量方程 （ B ）线性方程 (C) 全微分方程（ D ）贝努利方程dyy (0y)（ 2）．方程 dx，过点（ 0， 0）有（） .(A) 一个解（ B ）两个解(C) 无数个解 22 （ D ）三个解（ 3）．方程 (1)d( 1)d=0 的所有常数解是（ ） .y － yxx+y x －(A) y =± 1, x =±1,(B) y =± 1(C) x =± 1(D)y =1, x =1（ 4）．若函数 y ( x ) 满足方程xyy y 2 ln x，且在 x =1 时， y =1, 则在 x = e 时y =().11(A)e(B)2(C)2(D) e（ 5）． n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间．（ A ） n 维（ B ）n1维（ C ）n1维（ D ）n2 维dyxy 2（ 6） . 方程 dx（）奇解．（ A ）有三个（ B ）无（ C ）有一个（ D ） 有两个dy23y3（ 7）．方程 dx 过点 (0, 0) （）．（ A ）有无数个解（B ）只有三个解（C ）只有解y（ D ）只有两个解4. 计算题 (40%)求下列方程的通解或通积分：dy xy（ 1） . dx 1 x 2dy 3ye 2 x（2）. dx（3） .(x 3xy 2 )dx (x 2 y y 3 )dy 0dy y ( y ) 2（4）.dxxx（5） . y (x ln y ) 15. 计算题 (10%)求方程y5 y sin 5x 的通解．6．证明题（ 16%）设f ( x, y) 在整个xoy平面上连续可微，且f ( x, y 0 ) 0 ．求证：方程dy f (x, y)dx的非常数解yy( x) ，当 xx0 时，有y(x)y0 ，那么x0 必为或．参考答案： 1．辨别题（ 1）一阶，非线性 （ 2）一阶，非线性 （3）四阶，线性 （ 4）三阶，非线性 （ 5）二阶，非线性 （6）一阶，非线性2．填空题（ 1）．yk , k 0, 1, 2,（2）．C 1[ y 1( x)y 2 ( x)] y 1 (x) xM (x, y) dxy N ( x 0 , y) dyx 0y0 ,y 0 x 0 y（ 3）． x 0 y 0（ 4）．y3．单选题（ 1）．B （2）．C（3）．A （4）．B （5）. A （6）.B 7.A4. 计算题（ 1）．解 当y 0时，分离变量得dy xdxy1 x2 等式两端积分得ln y1ln(1 x 2 ) ln C2即通解为y C 1 x 2（ 2）．解 齐次方程的通解为y Ce 3x令非齐次方程的特解为y C (x)e 3 xC (x)1e 5 x C代入原方程，确定出5原方程的通解为yCe 3x 1e 2 x+ 5M 2xyN（3）．解yx，所以原方程是全微分方程．由于取 ( x 0 , y 0 )( 0, 0)，原方程的通积分为x xy 2)dxyC 10 (x3y 3dy即x 4 2 x 2 y 2 y 4 C令yxuy ux du（4）. ，则dx ，代入原方程，得ux duu u 2x duu 2dx，dx当u时，分离变量，再积分，得du dxCu2x1 ln x Cu1uln xC，yxln xC即：5. 计算题令yp，则原方程的参数形式为x 1 ln ppypdy y由基本关系式dx，有dy y dxp (1 1)dp1 p2p (1p )dp积分得y p ln p C得原方程参数形式通解为x1 ln ppy p ln pC5．计算题解方程的特征根为 1， 25齐次方程的通解为 yC 1 C 2e 5 x因为i5i不是特征根。
常微分方程期中考试题
y sin x 1
, 另外
又
y 0
xc
dz z 2 z 1
也是方程的解
dy p(x) y 2 q(x) y r(x) dx
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，通力根1保过据护管生高线产中敷工资设艺料技高试术中卷0资不配料仅置试可技卷以术要解是求决指，吊机对顶组电层在气配进设置行备不继进规电行范保空高护载中高与资中带料资负试料荷卷试下问卷高题总中2体2资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况1卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并3术试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽 纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
常微分方程计算题及答案
计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdt x y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解 13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
常微分方程试题及参考答案
常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分)1.常微分方程中的自变量个数是________.2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程.4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.5.方程=(x+1)3的通解为________.6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解.7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________.9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________.12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________.13.方程组的奇点类型是________.二、计算题(共45分)1.(6分)解方程= .2.(6分)解方程x″(t)+ =0.3.(6分)解方程(y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程5.(7分)求方程：S″(t)-S(t)=t+1满足S(0)=1, (0)=2的解.6.(7分)求方程组的基解矩阵Φ(t).7.(7分)验证方程：有奇点x1=1, x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.三、证明题(每小题8分，共16分)1.设f(x,y)及连续，试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.2.函数f(x)定义于-∞<x<+∞，且满足条件|f(x1)-f(x2)|≤N|x1-x2|,其中0<N<1,证明方程x=f(x)存在唯一的一个解.常微分方程试题参考答案一、填空题(每小题3分，共39分)1.12. 2+c1t+c23.u=4. c为任意常数5.y= (x+1)4+c(x+1)26.y=y0+7. (x)=8.对任意t9.x(t)=c1e t+c2te t+c3e-t+c4te-t10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +c n x n(t)11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=312.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+ ]13.焦点二、计算题（共45分）1.解：将方程分离变量为改写为等式两边积分得y-ln|1+y|=ln|x|-即y=ln 或e y=2.解：令则得=0当0时-arc cosy=t+c1y=cos(t+c1) 即则x=sin(t+c1)+c2当=0时y= 即x3.解：这里M=y-1-xy, N=x令u=xye-xu关于x求偏导数得与Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有则因此u=xye-x+e-x方程的解为xye-x+e-x=c4.解：方程改写为这是伯努利方程，令z=y1-2=y-1 代入方程得解方程z==于是有或5.特征方程为特征根为对应齐线性方程的通解为s(t)=c1e t+c2e-tf(t)=t+1, 不是特征方程的根从而方程有特解=（At+B）,代入方程得-(At+B)=t+1两边比较同次幂系数得A=B=-1故通解为S(t)=c1e t+c2e-t-(t+1)据初始条件得c1=因此所求解为：S(t)=6.解：系数矩阵A=则，而det特征方程det( )=0, 有特征根对对对因此基解矩阵7.解：因故x1=1，x2=0是方程组奇点令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得化简得*这里R(X)= , 显然（当时）方程组*中，线性部分矩阵det(A- )=由det(A- )=0 得可见相应驻定解渐近稳定三、证明题（每小题8分，共16分）1.证明：若dy-f(x,y)dx=0为线性方程则f(x,y)=因此仅有依赖于x的积分因子反之，若仅有依赖于x的积分因子。
1.《常微分方程》在线考试答案
1、方程(xx2x)y""(xx2)y''(2xx2)yy0的通解为（AC）
A、yyc1eec
B、)yyc1eec2e
C、yyc1eec2x
D、yyc1eec2x
2、dyyxx1的一切积分曲线均正交的曲线方程是(BCD)
A、sinx
B、cosx
C、shx
D、chx
3、初值问题y""4yy0,y(0))0,y'(0))1的解是y(x))（ ）（其中其通解为y(x))c1sin2xxc2cos2x,c1,c2为任意常数）ABCD
15、设y1(x),y2(x),y3(x)是二阶线性非齐次微分方程y""P(x)y''Q(x)yyf(x)的三个线性无关解，c1,c2是任意常数，则微分方程的解为(A)
A、c1y11c2y22y3
B、c1y11c2y22(11c11c2)y3
C、c1y11c2y22(c11c2)y3
D、c1y11c2y22(11c11c2)y3
D、 xxyyc (c为常数）
6、微分方程(y2-6x)yy +2y=0的通解为（A）
A、2x-y2+cy3=0
B、2y-x3+cx3=0
C、2x-cy2+y3=0
D、 2y-cx3+x3=0
7、下列函数组在定义域内线性无关的是（D）
A、01 t
B、et
C、2et
D、e-t
8、若y11e,y22xe，则它们所满足的微分方程为（C）
C、 c1+(x-c2)2
D、 c1(x-c2)2
13、下列函数在定义域内线性无关的是（B）
常微分期末考试试题和答案a#
《常微分方程》期终测试试卷<A ）<适用班级：班）下属学院_________________班级_________姓名____________成绩______________________。
2、一阶方程0=+Ndy Mdx ，若存在可微函数)0)(,(≠μy x 使_____________ _________________________时，称),(y x μ为这个方程的积分因子。
3、____________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换____________________，可化为伯努利方程。
4、对R y x y x ∈∀),(),,(21，存在常数)0(>N ，使____________________则称),(y x f 在R 上关于y 满足李普希兹条件。
5、若)(x ϕ为毕卡逼近序列)}({x n ϕ的极限，则有≤ϕ-ϕ|)()(|x x n _________。
6、方程22y x dx dy +=定义在矩形域R ：22≤≤-x ，22≤≤-y 上，则经过点)0,0(解的存在区间是__________________。
7、若),,3,2,1)((n i t x i =是n 阶齐线性方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n 的n 个解，)(t w 为其伏朗基斯行列式，则)(t w 满足一阶线性方程__________________。
8、设0)(1≠t x 是二阶齐线性方程0)()(21=+'+'x t a x t a x 的一个解，则该方程的通解为____________________________________________。
9、若),,3,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的通解为_____________________________。
《常微分方程》在线作业题库
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（判断题1表示正确，0表示错误）1．第1题满足初始条件和方程组的解为( ).A. ;B. ;C. ;D. .A..B..C..D..答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.02．第2题可将四阶方程化为二阶方程的变换是( ).A.;B. ;C.;D..A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.03．第3题下列四个微分方程中, 二阶常微分方程有( )个.(i) , (ii) ,(iii) , (iv) .A. 四个;B. 三个;C. 两个;D. 一个.A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.04．第4题可将一阶方程化为变量分离方程的变换为A. ；B. ；C. ；D. .A..B..C..D..答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.05．第9题设有四个常微分方程：(i) , (ii) ,(iii) , (iv) .A.非线性方程有一个;B.非线性方程有两个;C.非线性方程有三个;D.非线性方程有四个.答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.06．第10题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A..B..C..D..答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.07．第11题设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则A. 的伏朗斯基行列式恒为零;B. 的伏朗斯基行列式或恒为零, 或恒不为零;C. 的伏朗斯基行列式恒不为零;D. 无法判断的伏朗斯基行列式是否为零.A..B..C..D..答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.08．第12题下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个.(i) , (ii) ,(iii) , (iv) .A.1B.2C.3D.4答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.09．第13题微分方程是( ).A.n阶变系数非齐次线性常微分方程;B.n阶变系数齐次线性常微分方程;C.n阶常系数非齐次线性常微分方程;D.n阶常系数齐次线性常微分方程.答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.010．第14题微分方程是( ).A.n阶常系数非齐次线性常微分方程;B.n阶常系数齐次线性常微分方程;C.n阶变系数非齐次线性常微分方程;D.n阶变系数齐次线性常微分方程.答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.011．第15题设有四个常微分方程：(i) , (ii) ,(iii) , (iv) .A.线性方程有一个;B.线性方程有两个;C.线性方程有三个;D.线性方程有四个.答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.012．第16题微分方程是( ).A.n阶常系数非齐次线性常微分方程;B.n阶常系数齐次线性常微分方程;C.n阶变系数非齐次线性常微分方程;D.n阶变系数齐次线性常微分方程.答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.013．第17题设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则A. 的朗斯基行列式恒不为零;B. 的朗斯基行列式恒等于零;C. 的朗斯基行列式一定是负的;D. 的朗斯基行列式一定是正的.A..B..C..D..答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.014．第18题设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是A. B.C. D.A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.015．第19题初值问题, 的第二次近似解可以写为( ).A. ;B. ;C. + ;D. .A..B..C..D..答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.016．第20题初值问题, 的第二次近似解可以写为( ).A. 4;B. ;C. ;D. + .A..B..C..D..答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.017．第21题可将四阶方程化为一阶方程的变换是( ).A.;B. ;C.;D..A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.018．第26题常微分方程的基本解组是A.B.C.D.A.AB.BC.CD.D答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.019．第5题利用变换( )可将伯努利方程化为线性方程( ).答案:, .标准答案：, .您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.020．第6题当求方程的一个待定系数特解时, 可将这个特解设为( ).答案:标准答案：您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.021．第7题利用变换( )可将伯努利方程化为线性方程( ).答案:, .标准答案：, .您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.022．第8题平面上过点的曲线为, 曲线上任意一点的切线与该点的向径之间夹角为, 则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为( ，).答案:, .标准答案：, .您的答案：题目分数：5.0此题得分：0.023．第22题平面上过点的曲线为, 曲线上任意一点的切线与该点的向径之间夹角为, 则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为( ，).答案:, .标准答案：, .您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.024．第23题利用变换( )可将伯努利方程化为线性方程( ).答案:, .标准答案：, .您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.025．第24题对于初值问题, , 可判定其解在的某邻域内存在且唯一, 理由是( ).答案:连续且关于y 满足局部利普希茨条件.标准答案：连续且关于y 满足局部利普希茨条件.您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.026．第25题利用变换( )可将伯努利方程化为线性方程( ).答案:, .标准答案：, .您的答案：题目分数：5.0此题得分：0.0作业总得分：0.0作业总批注：作业1．第1题已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ).A. ;B.; C.; D. .A.AB.BC.CD.D答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.02．第2题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A..B..C..D..答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.03．第3题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A..B..C..D..答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.04．第4题微分方程是( ).A.n阶常系数非齐次线性常微分方程;B.n阶常系数齐次线性常微分方程;C.n阶变系数非齐次线性常微分方程;D.n阶变系数齐次线性常微分方程.答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.05．第5题已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ).A. ;B.; C.; D. .A..B..C..D..答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.06．第6题可将四阶方程化为二阶方程的变换是( ).A.;B.; C.;D..A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.07．第7题设和是方程组的两个基解矩阵, 则A. 存在某个常数方阵C使得, 其中;B. 存在某个常数方阵C使得, 其中;C. ;D. .A..B..C..D..答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.08．第8题初值问题, 的第二次近似解可以写为( ). ＋A. 5;B.; C.; D. +.A..B..C..D..答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.09．第13题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A.AB.BC.CD.D答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.010．第14题满足初始条件和方程组的解为( ).A. ;B.; C.; D. .A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.011．第15题设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是A. B.C. D.A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.012．第16题微分方程是( ).A.n阶变系数非齐次线性常微分方程;B.n阶变系数齐次线性常微分方程;C.n阶常系数非齐次线性常微分方程;D.n阶常系数齐次线性常微分方程.答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.013．第17题设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则A. 的朗斯基行列式一定小于零;B. 的朗斯基行列式恒不为零;C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零;D. 的朗斯基行列式一定大于零.A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.014．第18题可将六阶方程化为二阶方程的变换是( ).A.;B.; C.;D..A..B..C..D..答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.015．第19题设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是A. B.C. D.A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.016．第20题设和是方程组的两个基解矩阵, 则A. ;B.;C. 存在某个常数方阵C使得, 其中;D. 存在某个常数方阵C使得, 其中.A..B..C..D..答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.017．第21题可将一阶方程化为变量分离方程的变换为A. ；B. ；C.； D. .A..B..C..D..答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.018．第26题常微分方程的基本解组是A.B.C.D.A.AB.BC.CD.D答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.019．第9题当求方程的一个待定系数特解时, 可将这个特解设为().答案:标准答案：您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.020．第10题对于初值问题, , 可判定其解在的某邻域内存在且唯一, 理由是().答案:连续且关于y 满足局部利普希茨条件.标准答案：连续且关于y 满足局部利普希茨条件.您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.021．第11题欧拉方程的一个基本解组为( ).答案:.标准答案：.您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.022．第12题当求方程的一个待定系数特解时, 可将这个特解设为().答案:标准答案：您的答案：题目分数：5.0此题得分：0.023．第22题对于初值问题, , 可判定其解在的某邻域内存在且唯一, 理由是().答案:连续且关于y 满足局部利普希茨条件.标准答案：连续且关于y 满足局部利普希茨条件.您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.024．第23题对于初值问题, , 可判定其解在的某邻域内存在且唯一, 理由是().答案:连续且关于y 满足局部利普希茨条件.标准答案：连续且关于y 满足局部利普希茨条件.您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.025．第24题利用变换( )可将伯努利方程化为线性方程().答案:,.标准答案：,.您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.026．第25题当求方程的一个待定系数特解时, 可将这个特解设为().答案:标准答案：您的答案：题目分数：5.0此题得分：0.0作业总得分：0.0作业总批注：作业1．第1题设有四个常微分方程：(i) , (ii),(iii) , (iv) .A.非线性方程有一个;B.非线性方程有两个;C.非线性方程有三个;D.非线性方程有四个.答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.02．第2题设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是A. B.C. D.A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.03．第3题设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是A. B.C. D.A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.04．第4题设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则A. 的伏朗斯基行列式恒为零;B. 的伏朗斯基行列式或恒为零, 或恒不为零;C. 的伏朗斯基行列式恒不为零;D. 无法判断的伏朗斯基行列式是否为零.A..B..C..D..答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.05．第5题已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ).A. ;B.; C.; D. .A..B..C..D..答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.06．第6题微分方程的一个解是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A..B..C..D..答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.07．第7题设和是方程组的两个基解矩阵, 则A. 存在某个常数方阵C使得, 其中;B. 存在某个常数方阵C使得, 其中;C. ;D. .A..B..C..D..答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.08．第8题可将一阶方程化为变量分离方程的变换为A. ；B.； C. ； D..A..B..C..D..答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.09．第9题可将一阶方程化为变量分离方程的变换为A. ；B.； C. ； D..A..B..C..D..答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.010．第14题设有四个常微分方程：(i) , (ii),(iii) , (iv) .A.四阶方程有一个;B.四阶方程有两个;C.四阶方程有三个;D.四阶方程有四个.答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.011．第15题微分方程是( ).A.n阶变系数非齐次线性常微分方程;B.n阶变系数齐次线性常微分方程;C.n阶常系数非齐次线性常微分方程;D.n阶常系数齐次线性常微分方程.答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.012．第16题设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则A. 的朗斯基行列式一定小于零;B. 的朗斯基行列式恒不为零;C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零;D. 的朗斯基行列式一定大于零.A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.013．第17题设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则A. 的朗斯基行列式一定是正的;B. 的朗斯基行列式一定是负的;C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零;D. 的朗斯基行列式恒不为零.A.AB.BC.CD.D答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.014．第18题初值问题, 的第二次近似解可以写为( ). ＋A. +;B.; C.; D. 3.A..B..C..D..答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.015．第19题满足初始条件和方程组的解为( ).A. ;B.; C.; D. .A..B..C..D..答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.016．第20题可将一阶方程化为变量分离方程的变换为A. ；B. ；C.； D. .A..B..C..D..答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.017．第21题微分方程是( ).A. n阶常系数非齐次线性常微分方程;B.n阶变系数齐次线性常微分方程;C.n阶变系数非线性常微分方程;D.n阶常系数非线性常微分方程.答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.018．第26题常微分方程的基本解组是A.B.C.D.A.AB.BC.CD.D答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.019．第10题当求方程的一个待定系数特解时, 可将这个特解设为().答案:标准答案：您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.020．第11题当求方程的一个待定系数特解时, 可将这个特解设为().答案:标准答案：您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.021．第12题当求方程的一个待定系数特解时, 可将这个特解设为().答案:标准答案：您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.022．第13题利用变换( )可将伯努利方程化为线性方程().答案:,.标准答案：,.您的答案：题目分数：5.0此题得分：0.023．第22题欧拉方程的一个基本解组为( ).答案:.标准答案：.您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.024．第23题平面上过点的曲线为, 曲线上任意一点的切线与该点的向径之间夹角为, 则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为(，).答案:, .标准答案：, .您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.025．第24题平面上过点的曲线为, 曲线上任意一点的切线与该点的向径之间夹角为, 则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为(，).答案:, .标准答案：, .您的答案：题目分数：6.0此题得分：0.026．第25题欧拉方程的一个基本解组为( ).答案:.标准答案：.您的答案：题目分数：5.0此题得分：0.0作业总得分：0.0作业总批注：作业1．第1题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A.AB.BC.CD.D答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.02．第2题已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ).A. ;B.; C.; D. .A.AB.BC.CD.D答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.03．第3题设有四个常微分方程：(i) , (ii),(iii) , (iv) .A.四阶方程有一个;B.四阶方程有两个;C.四阶方程有三个;D.四阶方程有四个.答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.04．第4题已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ).A. ;B.; C.; D. .A..B..C..D..答案:D标准答案：D您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.05．第5题下列四个微分方程中, 二阶常微分方程有( )个.(i) , (ii),(iii) , (iv).A. 四个;B. 三个;C. 两个;D. 一个.A..B..C..D..答案:B标准答案：B您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.06．第6题微分方程是( ).A.n阶常系数非齐次线性常微分方程;B.n阶常系数齐次线性常微分方程;C.n阶变系数非齐次线性常微分方程;D.n阶变系数齐次线性常微分方程.答案:C标准答案：C您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.07．第7题设和是方程组的两个基解矩阵, 则A. 存在某个常数方阵C使得, 其中;B. 存在某个常数方阵C使得, 其中;C. ;D. .A..B..C..D..答案:A标准答案：A您的答案：题目分数：3.0此题得分：0.08．第8题微分方程的一个解是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A..B..C..D..答案:D标准答案：D。
常微分方程期末考试试卷(6)
常微分方程期末考试试卷(6)学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______一． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。
1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。
2、________________称为齐次方程。
3、求dxdy =f(x,y)满足00)(y x =ϕ的解等价于求积分方程____________________的连续解。
4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dxdy = 的解 y=),,(00y x x ϕ作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。
5、若)(),..(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。
6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。
7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。
8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。
9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（共6小题，每题10分）。
1、求解方程：dx dy =312+++-y x y x2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程23=dx dy 31y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：t e x x x t cos 32///-=+-5、试求方程组Ax x =/的一个基解矩阵，并计算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3421,为其中A e At 6、试讨论方程组cy dtdy by ax dtdx =+=, （1）的奇点类型，其中a,b,c 为常数，且ac ≠0。
常微分方程 练习题
常微分方程练习题常微分方程练习题常微分方程是数学中的重要分支，也是应用数学中的基础知识。
通过解常微分方程，可以描述许多自然现象和工程问题。
在学习常微分方程的过程中，练习题是非常重要的一环，通过练习题的解答，可以加深对常微分方程的理解和应用。
下面，我们来看一些常微分方程的练习题。
1. 求解一阶线性常微分方程y' + 2xy = x解：这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法来求解。
首先，求出齐次方程的通解：y' + 2xy = 0齐次方程的通解为 y = Ce^(-x^2)，其中 C 为常数。
然后，我们可以猜测特解形式为 y = u(x)e^(-x^2)，将其代入原方程得到： u'(x)e^(-x^2) + 2xu(x)e^(-x^2) + 2xu(x)e^(-x^2) = x简化后得到 u'(x)e^(-x^2) = xe^(x^2)，两边同时除以 e^(x^2) 得到：u'(x) = x对 u(x) 求积分，得到 u(x) = 1/2x^2 + C1，其中 C1 为常数。
将 u(x) 代入特解形式，得到特解为 y = (1/2x^2 + C1)e^(-x^2)。
因此，原方程的通解为 y = Ce^(-x^2) + (1/2x^2 + C1)e^(-x^2)，其中 C 和C1 为常数。
2. 求解二阶常系数齐次线性微分方程y'' + 4y' + 4y = 0解：这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，可以通过特征方程来求解。
首先，设 y = e^(rx) 为方程的解，代入方程得到：r^2e^(rx) + 4re^(rx) + 4e^(rx) = 0化简后得到 r^2 + 4r + 4 = 0，解这个二次方程得到 r = -2。
因此，方程的通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中 C1 和 C2 为常数。
3. 求解二阶非齐次线性微分方程y'' - y' - 2y = 2x解：这是一个二阶非齐次线性微分方程，可以通过常数变易法来求解。
常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷及答案常微分方程练试卷一、填空题。
1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。
2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。
3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。
4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x，则此方程的系数α=-1，β=2，γ=1.5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。
xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。
6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t)，则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。
8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。
9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。
10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。
11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。
12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1，1，-1.二、计算题1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2)，则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2)，切点为(0,0)，切线方程为y=kx，点(1,0)的连线斜率为-1/k，因此k=-1，曲线方程为y=-x/(1+x)。
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y(x0)
=
y0
解的存在性、唯一性、解的有界性以及解的存在区间。
5. （10 分）设 y = ϕ(x) 是 R 上的充分光滑函数，试给出一个以此函数 为奇解的微分方程。
6. （10 分）设 f (x, y) 和 F (x, y) 均 为 定 义 在 平 面 开 区 域 Ω 上 的 连 续 可 微 函 数，且 对 任 意 的 (x, y) ∈ Ω，有 f (x, y) < F (x, y). 设 微 分 方 程 y′ = f (x, y) 和 y′ = F (x, y) 的 同 一 初 值 问 题 y(x0) = y0
(3) 求微分方程 y′2 − 2xy′ + 2y = 0 的所有解。
2. （20 分）
(1) 设 k 是给定常数，c 是变动的参数，求曲线族 Γk(c) : y = 6kc + (x + 3k + 2c)2 关于参数 c 变动时的包络 Γk.
(2) 把（1）中的 k 看作参数，求曲线族 Γk 当 k 变动时的包络 Σ1. (3) 设 c 是 给 定 常 数， k 是 变 动 的 参 数， 求 曲 线 族 Γc(k) : y =
北京大学数学科学学院期中考试试题
2015-2016 学
学期
考试科
试题 6 大题
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
考试 学
2016 4 25
1. （30 分）计算下列各题
(1) 求解初值问题：y′ = y2 − 1, y(0) = 1. √
(2) 求微分方程 y′ = 1 − y2 满足初值 y(0) = 0 存在区间为整个数 轴的解。
的右行解分别为 y = φ+(x) 和 y = Φ+(x), 其中 (x0, y0) ∈ Ω。记 d(x) = Φ+(x) − φ+(x). 试讨论 d(x) 在 x ≥ x0 上的单调性。
(编辑：伏贵荣 2017 年 2 月)
6kc + (x + 3k + 2c)2 关于参数 k 变动时的包络 Γc. (4) 把（3）中的 c 看作参数，求曲线族 Γc 当 c 变动时的包络 Σ2.
3. （15 分）叙述并证明微分方程的 Picard 存在唯一性定理。
4. （15 分）试讨论微分方程
dy dx
=
(x2
+
y2
+
1) sin y,