高中数学人教a版高二选修4-5_第一讲_不等式和绝对值不等式_学业分层测评2 有答案

高中数学人教a 版高二选修4-5_第一讲_不等式和绝对值不等式_学业分层
测评2 有答案
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数f (x )＝x x ＋1
的最大值为( ) A.25 B.12 C.22
D ．1 【解析】 显然x ≥0.当x ＝0时，f (x )＝0；
当x >0时，x ＋1≥2x ，∴f (x )≤12
， 当且仅当x ＝1时，等号成立，
∴f (x )max ＝12
. 【答案】 B
2．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )
A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2
B ．a ＜ab ＜a ＋b 2
＜b C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2
D.ab ＜a ＜a ＋b 2
＜b 【解析】 取特殊值法．取a ＝2，b ＝8，则ab ＝4，a ＋b 2＝5，所以a ＜ab ＜a ＋b 2
＜b .故选B.
【答案】 B
3．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4
有( )
A．最大值为5
4B．最小值为
5
4
C．最大值为1 D.最小值为1
【解析】∵x≥5
2，∴x－2≥
1
2，
∴f(x)＝(x－2)2＋1
2(x－2)
＝
1
2(x－2)＋
1
2(x－2)
≥
2x－2
2·
1
2(x－2)
＝1，当且仅当
x－2
2＝
1
2(x－2)
，
即x＝3时，等号成立，∴f(x)min＝1.【答案】 D
4．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则(a＋b)2 cd的
最小值是()
A．0 B．1
C．2 D.4
【解析】由题意知a＋b＝x＋y，cd＝xy，∴(a＋b)2＝(x＋y)2≥4xy＝4cd，
∴(a＋b)2
cd≥4，当且仅当x＝y时，取等号．
【答案】 D
5．已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b
2
，y＝a＋b，则x，y的关系是()
A．x>y B．y>x C．x>2y D.y>2x
【解析】因为a，b是不相等的正数，所以x2＝a＋b
2＋ab<
a＋b
2＋
a＋b
2＝a＋b＝
y2，即x2<y2，故x<y.
【答案】 B
二、填空题
6．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________.
【解析】 x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2
－(x ＋y )24＝34(x ＋y )2，∴(x ＋y )2≤43，∴|x ＋y |≤233，即x ＋y 的最大值为23
3. 【答案】 23
3 7．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4
＝1，则xy 的最大值为________． 【解析】 因为x ＞0，y ＞0，
所以x 3＋y 4
≥2x 3·y 4＝xy 3，即xy 3
≤1，解得xy ≤3，所以其最大值为3. 【答案】 3
8．已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．
【解析】 ∵a ，b ，m ，n ∈R ＋，且a ＋b ＝1，mn ＝2，
∴(am ＋bn )(bm ＋an )
＝abm 2＋a 2mn ＋b 2mn ＋abn 2
＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)
≥2ab ·mn ＋2(a 2＋b 2)
＝4ab ＋2(a 2＋b 2)
＝2(a 2＋b 2＋2ab )
＝2(a ＋b )2＝2，
当且仅当m ＝n ＝2时，取“＝”，
∴所求最小值为2.
【答案】 2
三、解答题
9．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋b y
＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .
【解】 ∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫a x ＋b y
＝a ＋b ＋bx y ＋ay x
≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当bx y ＝ay x
时取等号． 又(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18，
即a ＋b ＋2ab ＝18.
① 又a ＋b ＝10， ②
由①②可得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝8或⎩⎨⎧
a ＝8，
b ＝2.
10．已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3
≥1. 【证明】 ∵x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3
＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 21＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2， ∴x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1. [能力提升]
1．设x ，y ∈R ＋，且满足x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( )
A ．40
B ．10
C ．4 D.2
【解析】 因为x ，y ∈R ＋，∴4xy ≤x ＋4y 2
， ∴xy ≤x ＋4y 4
＝10，∴xy ≤100. ∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2.
【答案】 D
2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A ．5千米处
B ．4千米处
C ．3千米处 D.2千米处
【解析】 由已知：y 1＝20x
， y 2＝0.8x (x 为仓库到车站的距离)．
费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x
≥20.8x ·20x
＝8. 当且仅当0.8x ＝
20x ， 即x ＝5时等号成立．
【答案】 A
3．y ＝3＋x ＋x 2
x ＋1
(x ＞0)的最小值是________． 【解析】 ∵x ＞0，∴y ＝3＋x ＋x 2x ＋1＝3x ＋1
＋x ＋1－1≥23－1. 当且仅当x ＋1＝3时取等号．
【答案】 23－1
4．若对任意x >0，x x 2
＋3x ＋1≤a 恒成立，求实数a 的取值范围.
【解】 由x >0，知原不等式等价于
0<1a ≤x 2＋3x ＋1x ＝x ＋1x
＋3恒成立． 又x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x
＝2， ∴x ＋1x
＋3≥5，当且仅当x ＝1时，取等号． 因此⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋3min ＝5， 从而0<1a ≤5，解得a ≥15
. 故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫15，＋∞.。