3.2.2 空间两条直线的位置关系 教学设计-苏教版高中数学必修第二册

第十三章立体几何初步
13.2.2 空间两条直线的位置关系
《立体几何初步》一章，是在义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，教材的编写力图凸显《普通高中数学课程标准》(以下简称《课程标准》)对立体几何的教学要求，通过直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法，以帮助学生实现逐步形成空间想像能力这一教学目的．
课程目标学科素养
1.会判断空间两条直线的位置关系.
2.能用等角定理解决一些简单的相关问题．
3.理解异面直线所成的角的概念．
在学习和应用定理的过程中，通过判定和证明空间两
条直线的位置关系，发展学生的数学抽象素养、逻辑
推理素养和直观想象素养.
1.教学重点：会判断空间两条直线的位置关系.
2.教学难点：理解异面直线所成的角的概念．
多媒体调试、讲义分发。

观察下面图形.
问题：六角螺母中直线CD与BE的位置关系是什么？直线AB与CD的位置关系是什么？
1.直线与直线平行具有传递性
平行于同一条直线的两条直线平行.
2.定理
文字语言
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
图形语言
作用
判断或证明两个角相等或互补
一、平行线的传递性
例1 如图，已知在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．求证：四边形MNA 1C 1是梯形．
证明 如图 ，连接AC ，在△ACD 中，
∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ACD 的中位线， ∴MN ∥AC ，且MN ＝1
2AC .
由正方体的性质，
得AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1. ∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝1
2A 1C 1，
即MN ≠A 1C 1，
∴四边形MNA 1C 1是梯形． 二、等角定理的应用
例2 (1)如图所示，△ABC 和△A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′，BB ′，CC ′交于同一点O ，且OA OA ′＝OB
OB ′
＝
OC OC ′＝2
3，则S △ABC S △A ′B ′C ′
＝________.
答案4 9
解析∵AA′∩BB′＝O，且OA
OA′＝OB OB′＝
2
3，
∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴∠BAC＝∠B′A′C′，同理∠ABC＝∠A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，且AB
A′B′＝
OA
OA′＝
2
3，
∴S△ABC
S△A′B′C′＝⎝
⎛
⎭
⎫2
32＝
4
9.
(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，E1分别是棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1.
证明如图，连接EE1.
∵E1，E分别为A1D1，AD的中点，
∴A1E1AE，
∴四边形A1E1EA为平行四边形，
∴A1A E1E，
又A1A B1B，∴E1E B1B，
∴四边形E1EBB1是平行四边形．
∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC.
即∠B1E1C1与∠BEC的两边分别对应平行且方向相同，
∴∠B1E1C1＝∠BEC.
反思感悟若空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，在实际应
用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能．
三、异面直线的判断
例3(1)在四棱锥P—ABCD中，各棱所在的直线互为异面的有________对．
答案8
解析与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的侧棱都有两条，故共有异面直线4×2＝8(对)．
(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
解三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.
还原的正方体如图所示．
反思感悟判定异面直线的方法
(1)定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交，即不可能同在一个平面内．
(2)利用异面直线的判定定理．
(3)反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可．
四、异面直线所成的角
例4如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角的大小；
(2)FO与BD所成的角的大小．
解(1)∵CG∥FB，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角．
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角为45°.
(2)如图，连接FH，
∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO是FO与BD所成的角，
连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°.
延伸探究
在本例中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角．
解如图，连接EG，HF，
则P为HF的中点，
连接AF，AH，则OP∥AF，
又CD∥AB，
∴∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，
∵△ABF是等腰直角三角形，∴∠BAF＝45°，
∴OP与CD所成的角为45°.
反思感悟求异面直线所成的角的步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，将异面直线转化为相交直线．
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°<θ<180°，则180°－θ为所求．
1．若一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角()
A．相等B．互补
C．相等或互补D．无法确定
答案C
解析一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补．
2．直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是()
A．相交B．平行
C．异面D．以上都有可能
答案D
解析如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，AB∥A1B1；AD 与AA1相交，AB与AD相交，AA1与AB相交；A1D1与AA1相交，AB与AA1相交，AB与A1D1异面．
3．(多选)如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有()
答案BD
解析A中，直线GH∥MN；
B中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，且N∉GH，因此直线GH与MN异面；
C中，连接MG(图略)，GM∥HN，
因此，GH与MN共面；
D中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，且G∉MN，所以GH与MN异面．
4．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，异面直线A′B′与BC所成的角的大小为________．异面直线AD′与BC所成的角的大小为________．
答案90°45°
解析∵BC∥B′C′，∴∠A′B′C′即异面直线A′B′与BC所成的角，且∠A′B′C′＝90°，又BC∥AD，∴∠D′AD是异面直线AD′与BC所成的角，且∠D′AD＝45°.
5．如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成的角的大小为________．
答案60°
解析依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角为θ，且0°<θ≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小.。