新教材人教b版选择性必修第二册423二项分布与超几何分布课件9
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(1)求甲射击 3 次，至少 1 次未击中目标的概率； (2)求两人各射击 2 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 1 次的概率．
[解] (1)记“甲射击 3 次至少有 1 次未击中目标”为事件 A1，由题意，射击 3 次，相当于 3 次独立重复试验．
故 P(A1)＝1－P(A1)＝1－233＝1297. (2)记“甲射击 2 次，恰有 2 次击中目标”为事件 A2，“乙射击 2 次，恰有 1 次 击中目标”为事件 B2，则 P(A2)＝C22×232＝49，P(B2)＝C12×341×1－34＝38. 由于甲、乙射击相互独立，故 P(A2B2)＝49×38＝16.
－(N－M))，而且 P(X＝k)＝______C_nN_____，k＝t，t＋1，…，s，这里的 X 称为服从
参数为 N，n，M 的超几何分布，记作 X～_H__(N__，__n_，__M__) _．
二项分布与超几何分布之间的联系 (1)二者之间的辨析：超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散 分布，表面上看，两种分布的概率求解有截然不同的表达式，但看它们的概率分布 表，会发现其相同点，两种分布的差别就在于“有放回”与“无放回”的差别，只 要将概率模型中的“无放回”改为“有放回”，或将“有放回”改为“无放回”，就 可以实现两种分布之间的转化； (2)超几何分布到二项分布：事实上，在次品件数为确定数 M，产品件数 N 很大 时，任意抽取 n 件，无放回与有放回无区别，故可看作 n 次独立重复试验，其中含 有次品的件数服从二项分布．在这里，超几何分布转化为二项分布．
知识点一 n 次独立重复实验 在相同条件下，_重__复___地做 n 次伯努利试验，这 n 次试验是_相__互__独__立___的，那
么一般就称这 n 次伯努利试验为 n 次独立重复试验．
独立重复试验的特征 (1)每次试验都是在相同的条件下进行； (2)每次试验都只有两个结果：事件发生、事件不发生； (3)各次试验之间相互独立； (4)每次试验，某事件发生的概率都是相同的． 独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题，但在实际应用中，从大批 产品中抽取少量样品的不放回检验也可近似地看作是该模型，所以独立重复试验在 实际问题中应用非常广泛．
答案：D
3．独立重复试验满足的条件是________(填序号)． ①每次试验之间是相互独立的； ②每次试验只有发生和不发生两种情况； ③每次试验中某事件发生的机会是均等的； ④每次试验发生的事件是互斥的． 解析：由 n 次独立重复试验的定义知①②③正确． 答案：①②③
独立重复试验的概率计算
[例 1] (链接教科书第 71 页尝试与发现)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概 率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．
[母题探究] (变设问)在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标 1 次的概率． 解：记“甲击中目标 1 次”为事件 A3，“乙击中目标 1 次”为事件 B3，则 P(A3)＝C12 ×23×13＝49，P(B3)＝38，因为甲、乙射击相互独立，所以甲、乙均击中目标 1 次的概 率为 P(A3B3)＝49×38＝16.
所以 X 的分布列为
X
10
20
100
ห้องสมุดไป่ตู้－200
P
3 8
3 8
1 8
1 8
(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i＝1，2，3)，则 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)
＝P(X＝－200)＝18，
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为
1－P(A1A2A3)＝1－183＝1－5112＝551112. 因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是551112.
独立重复试验概率求法的三个步骤
[跟踪训练] 甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用五场三胜制，即若有一队先胜三场，则此队 为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12.据以 往资料统计，第一场比赛可获得门票收入 40 万元，以后每场比赛门票收入比上一场 增加 10 万元． (1)求总决赛中获得门票总收入恰好为 150 万元且甲获得总冠军的概率； (2)求乙队获得总冠军的概率； (3)求门票总收入恰好为 220 万元的概率．
解：(1)门票总收入恰好为 150 万元且甲获得总冠军，即甲队连胜 3 场，故其概率 P1 ＝C33×123＝18. (2)乙队获得冠军，有以下几种情形： ①共比赛 3 场，乙队连胜 3 场，此时概率为 C33×123＝18； ②共比赛 4 场，乙队在前 3 场比赛中获胜 2 场，另外 1 场甲队获胜，然后第 4 场比 赛乙队获胜，此时概率为 C23×122×1－12×12＝136； ③共比赛 5 场，乙队在前 4 场比赛中获胜 2 场，另外 2 场甲队获胜，然后第 5 场比 赛乙队获胜，此时概率为 C24×122×1－122×12＝136. 故乙队获得总冠军的概率为 P2＝18＋136＋136＝12.
校的概率均为23，故 X～B3，23，从而 P(X＝k)＝Ck3×23k×133－k，k＝0，1，2，3. 所以随机变量 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
1 27
2
4
9
9
8 27
(2)设乙同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数为 Y，则 Y～B3，23，且 M ＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，
知识点三 超几何分布
一般地，若有总数为 N 件的甲、乙两类物品，其中甲类有 M 件(M＜N)，从所
有物品中随机取出 n 件(n≤N)，则这 n 件中所含甲类物品数 X 是一个离散型随机变
量，X 能取不小于 t 且不大于 s 的所有自然数，其中 s 是 M 与 n 中的较小者，t 在 n
不大于乙类物品件数(即 n≤N－M)时取 0，否则 t 取 n 减乙类物品件数之差(即 t＝n CkMCnN－－kM
且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由(1)知，P(M)＝P({X
＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P({X＝3，Y＝1})＋P({X＝2，Y＝0})＝P(X＝3)P(Y＝1)
＋P(X＝2)P(Y＝0)＝287×29＋49×217＝22403.
求解二项分布列的步骤 (1)判断随机变量 X 是否服从二项分布； (2)建立二项分布模型； (3)确定 X 的取值并求出相应的概率； (4)写出分布列．
1．二项分布与两点分布有什么关系？ 提示：根据二项分布与两点分布的定义，可知两点分布是一种特殊的二项分布， 即 n＝1 时的二项分布．
2．二项分布中公式 P(X＝k)＝Cknpkqn－k 与二项式定理的通项之间有什么关系？ 提示：记 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k＝Cknpkqn－k，则它恰好是二项式(q＋p)n 展开式 中的第 k＋1 项，即[(1－p)＋p]n 展开式的第 k＋1 项．
[跟踪训练] 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐， 要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获 得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分(即获得－200 分)．设 每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立． (1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的 分布列；
(2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学 在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率．
[解] (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到
解：(1)X 的取值范围是{10，20，100，－200}．根据题意，X 服从参数为 3，12的二 项分布，即 X～B3，12，因此 P(X＝10)＝C13×121×1－122＝38， P(X＝20)＝C23×122×1－121＝38， P(X＝100)＝C33×123×1－120＝18， P(X＝－200)＝C03×120×1－123＝18.
1．已知在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便，现从中任意选 10 个村庄，用 X 表
示 10 个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率等于CC47C110568的是
A．P(X＝2)
B．P(X≤2)
()
C．P(X＝4)
D．P(X≤4)
解析：由题意得，变量 X 服从超几何分布，样本点总数为 C1105，所求事件数为
超几何分布
[例 3] (链接教科书第 77 页例 3、例 4)某海域共有 A，B 型两种搜救船 10 艘， 其中 A 型船 7 艘，B 型船 3 艘．
(1)现从中任选 2 艘执行搜救任务，求恰好有一艘 B 型船的概率； (2)假设每艘 A 型船的搜救能力指数为 5，每艘 B 型船的搜救能力指数为 10.现从 这 10 艘船中随机抽出 4 艘执行搜救任务，设搜救能力指数为 ξ，求 ξ 的分布列．
[解] (1)设“恰好有 1 艘 B 型船”为事件 A，则 P(A)＝CC17C21013＝175，即恰好有 1 艘 B 型船的概率为175.
(2)法一：依题意，ξ的取值范围是{20，25，30，35}．
且 P(ξ＝20)＝CC41470＝16，P(ξ＝25)＝CC37C41013＝12， P(ξ＝30)＝CC27C41023＝130，P(ξ＝35)＝CC17C14033＝310. 因此 ξ 的分布列为
第四
章
概率与统计
4.2 随机变量 4．2.3 二项分布与超几何分布
新课程标准解读 1.能够结合具体实例理解 n 次独立重复试验的概念 2.能够结合具体实例理解并掌握独立重复试验的概率公式，能运用 这个公式解决实际问题 3.能够结合具体实例理解二项分布及其在实际生活中的应用 4.能够结合具体实例理解超几何分布的概念，掌握超几何分布的概 率公式 5.能应用超几何分布解决简单的实际问题，了解二项分布与超几何 分布之间的关系
CX7 C180－X， ∴P(X＝4)＝CC47C110568，故选 C. 答案：C
2．已知某品种的幼苗每株成活率为 p，则栽种 3 株这种幼苗恰好成活 2 株的概率为
A．p2 C．C23p2
B．p2(1－p) D．C23p2(1－p)
()
解析：令 X 为栽种 3 株这种幼苗成活的株数，则 X～B(3，p)，故 P(X＝2)＝C23p2 (1－p)．
(3)门票总收入恰好为 220 万元时，比赛共进行了 4 场． 若甲队获胜，则概率为 C23×122×1－12×12＝136； 若乙队获胜，则概率为 C23×122×1－12×12＝136， 故所求概率 P3＝136＋136＝38.
二项分布
[例 2] (链接教科书第 73 页例 1)设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前 到校的概率均为23，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情 况相互独立．
核心素养 数学抽象 数学建模 逻辑推理 数学抽象
逻辑推理
在学校组织的高二篮球比赛中，通过小组循环，甲、乙两班顺利进入最后的决 赛．在每一场比赛中，甲班取胜的概率为 0.6，乙班取胜的概率是 0.4，比赛既可以 采用三局两胜制，又可以采用五局三胜制．
[问题] 如果你是甲班的一名同学，你认为采用哪种赛制对你班更有利？
知识点二 二项分布
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为 p，记 q＝1－p，且 n
次独立重复试验中出现“成功”的次数为 X，则 X 的取值范围是{0，1，…，k，…， n}，而且 P(X＝k)＝_C_kn_p_k_q_n_－_k ，k＝0，1，…，n，因此 X 的分布列如下表所示.
X
0
1
…
k
…
n
P
C0np0qn
C1np1qn－1
…
Cknpkqn－k
…
Cnnpnq0
注意到上述 X 的分布列第二行中的概率值都是二项展开式，(q＋p)n＝C0np0qn＋
C1np1qn－1＋…＋Cknpkqn－k＋…＋Cnnpnq0 中对应项的值，因此称 X 服从参数为 n，p 的 二项分布，记作 X～__B_(_n_，__p_)_．
[解] (1)记“甲射击 3 次至少有 1 次未击中目标”为事件 A1，由题意，射击 3 次，相当于 3 次独立重复试验．
故 P(A1)＝1－P(A1)＝1－233＝1297. (2)记“甲射击 2 次，恰有 2 次击中目标”为事件 A2，“乙射击 2 次，恰有 1 次 击中目标”为事件 B2，则 P(A2)＝C22×232＝49，P(B2)＝C12×341×1－34＝38. 由于甲、乙射击相互独立，故 P(A2B2)＝49×38＝16.
－(N－M))，而且 P(X＝k)＝______C_nN_____，k＝t，t＋1，…，s，这里的 X 称为服从
参数为 N，n，M 的超几何分布，记作 X～_H__(N__，__n_，__M__) _．
二项分布与超几何分布之间的联系 (1)二者之间的辨析：超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散 分布，表面上看，两种分布的概率求解有截然不同的表达式，但看它们的概率分布 表，会发现其相同点，两种分布的差别就在于“有放回”与“无放回”的差别，只 要将概率模型中的“无放回”改为“有放回”，或将“有放回”改为“无放回”，就 可以实现两种分布之间的转化； (2)超几何分布到二项分布：事实上，在次品件数为确定数 M，产品件数 N 很大 时，任意抽取 n 件，无放回与有放回无区别，故可看作 n 次独立重复试验，其中含 有次品的件数服从二项分布．在这里，超几何分布转化为二项分布．
知识点一 n 次独立重复实验 在相同条件下，_重__复___地做 n 次伯努利试验，这 n 次试验是_相__互__独__立___的，那
么一般就称这 n 次伯努利试验为 n 次独立重复试验．
独立重复试验的特征 (1)每次试验都是在相同的条件下进行； (2)每次试验都只有两个结果：事件发生、事件不发生； (3)各次试验之间相互独立； (4)每次试验，某事件发生的概率都是相同的． 独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题，但在实际应用中，从大批 产品中抽取少量样品的不放回检验也可近似地看作是该模型，所以独立重复试验在 实际问题中应用非常广泛．
答案：D
3．独立重复试验满足的条件是________(填序号)． ①每次试验之间是相互独立的； ②每次试验只有发生和不发生两种情况； ③每次试验中某事件发生的机会是均等的； ④每次试验发生的事件是互斥的． 解析：由 n 次独立重复试验的定义知①②③正确． 答案：①②③
独立重复试验的概率计算
[例 1] (链接教科书第 71 页尝试与发现)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概 率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．
[母题探究] (变设问)在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标 1 次的概率． 解：记“甲击中目标 1 次”为事件 A3，“乙击中目标 1 次”为事件 B3，则 P(A3)＝C12 ×23×13＝49，P(B3)＝38，因为甲、乙射击相互独立，所以甲、乙均击中目标 1 次的概 率为 P(A3B3)＝49×38＝16.
所以 X 的分布列为
X
10
20
100
ห้องสมุดไป่ตู้－200
P
3 8
3 8
1 8
1 8
(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i＝1，2，3)，则 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)
＝P(X＝－200)＝18，
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为
1－P(A1A2A3)＝1－183＝1－5112＝551112. 因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是551112.
独立重复试验概率求法的三个步骤
[跟踪训练] 甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用五场三胜制，即若有一队先胜三场，则此队 为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12.据以 往资料统计，第一场比赛可获得门票收入 40 万元，以后每场比赛门票收入比上一场 增加 10 万元． (1)求总决赛中获得门票总收入恰好为 150 万元且甲获得总冠军的概率； (2)求乙队获得总冠军的概率； (3)求门票总收入恰好为 220 万元的概率．
解：(1)门票总收入恰好为 150 万元且甲获得总冠军，即甲队连胜 3 场，故其概率 P1 ＝C33×123＝18. (2)乙队获得冠军，有以下几种情形： ①共比赛 3 场，乙队连胜 3 场，此时概率为 C33×123＝18； ②共比赛 4 场，乙队在前 3 场比赛中获胜 2 场，另外 1 场甲队获胜，然后第 4 场比 赛乙队获胜，此时概率为 C23×122×1－12×12＝136； ③共比赛 5 场，乙队在前 4 场比赛中获胜 2 场，另外 2 场甲队获胜，然后第 5 场比 赛乙队获胜，此时概率为 C24×122×1－122×12＝136. 故乙队获得总冠军的概率为 P2＝18＋136＋136＝12.
校的概率均为23，故 X～B3，23，从而 P(X＝k)＝Ck3×23k×133－k，k＝0，1，2，3. 所以随机变量 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
1 27
2
4
9
9
8 27
(2)设乙同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数为 Y，则 Y～B3，23，且 M ＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，
知识点三 超几何分布
一般地，若有总数为 N 件的甲、乙两类物品，其中甲类有 M 件(M＜N)，从所
有物品中随机取出 n 件(n≤N)，则这 n 件中所含甲类物品数 X 是一个离散型随机变
量，X 能取不小于 t 且不大于 s 的所有自然数，其中 s 是 M 与 n 中的较小者，t 在 n
不大于乙类物品件数(即 n≤N－M)时取 0，否则 t 取 n 减乙类物品件数之差(即 t＝n CkMCnN－－kM
且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由(1)知，P(M)＝P({X
＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P({X＝3，Y＝1})＋P({X＝2，Y＝0})＝P(X＝3)P(Y＝1)
＋P(X＝2)P(Y＝0)＝287×29＋49×217＝22403.
求解二项分布列的步骤 (1)判断随机变量 X 是否服从二项分布； (2)建立二项分布模型； (3)确定 X 的取值并求出相应的概率； (4)写出分布列．
1．二项分布与两点分布有什么关系？ 提示：根据二项分布与两点分布的定义，可知两点分布是一种特殊的二项分布， 即 n＝1 时的二项分布．
2．二项分布中公式 P(X＝k)＝Cknpkqn－k 与二项式定理的通项之间有什么关系？ 提示：记 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k＝Cknpkqn－k，则它恰好是二项式(q＋p)n 展开式 中的第 k＋1 项，即[(1－p)＋p]n 展开式的第 k＋1 项．
[跟踪训练] 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐， 要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获 得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分(即获得－200 分)．设 每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立． (1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的 分布列；
(2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学 在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率．
[解] (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到
解：(1)X 的取值范围是{10，20，100，－200}．根据题意，X 服从参数为 3，12的二 项分布，即 X～B3，12，因此 P(X＝10)＝C13×121×1－122＝38， P(X＝20)＝C23×122×1－121＝38， P(X＝100)＝C33×123×1－120＝18， P(X＝－200)＝C03×120×1－123＝18.
1．已知在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便，现从中任意选 10 个村庄，用 X 表
示 10 个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率等于CC47C110568的是
A．P(X＝2)
B．P(X≤2)
()
C．P(X＝4)
D．P(X≤4)
解析：由题意得，变量 X 服从超几何分布，样本点总数为 C1105，所求事件数为
超几何分布
[例 3] (链接教科书第 77 页例 3、例 4)某海域共有 A，B 型两种搜救船 10 艘， 其中 A 型船 7 艘，B 型船 3 艘．
(1)现从中任选 2 艘执行搜救任务，求恰好有一艘 B 型船的概率； (2)假设每艘 A 型船的搜救能力指数为 5，每艘 B 型船的搜救能力指数为 10.现从 这 10 艘船中随机抽出 4 艘执行搜救任务，设搜救能力指数为 ξ，求 ξ 的分布列．
[解] (1)设“恰好有 1 艘 B 型船”为事件 A，则 P(A)＝CC17C21013＝175，即恰好有 1 艘 B 型船的概率为175.
(2)法一：依题意，ξ的取值范围是{20，25，30，35}．
且 P(ξ＝20)＝CC41470＝16，P(ξ＝25)＝CC37C41013＝12， P(ξ＝30)＝CC27C41023＝130，P(ξ＝35)＝CC17C14033＝310. 因此 ξ 的分布列为
第四
章
概率与统计
4.2 随机变量 4．2.3 二项分布与超几何分布
新课程标准解读 1.能够结合具体实例理解 n 次独立重复试验的概念 2.能够结合具体实例理解并掌握独立重复试验的概率公式，能运用 这个公式解决实际问题 3.能够结合具体实例理解二项分布及其在实际生活中的应用 4.能够结合具体实例理解超几何分布的概念，掌握超几何分布的概 率公式 5.能应用超几何分布解决简单的实际问题，了解二项分布与超几何 分布之间的关系
CX7 C180－X， ∴P(X＝4)＝CC47C110568，故选 C. 答案：C
2．已知某品种的幼苗每株成活率为 p，则栽种 3 株这种幼苗恰好成活 2 株的概率为
A．p2 C．C23p2
B．p2(1－p) D．C23p2(1－p)
()
解析：令 X 为栽种 3 株这种幼苗成活的株数，则 X～B(3，p)，故 P(X＝2)＝C23p2 (1－p)．
(3)门票总收入恰好为 220 万元时，比赛共进行了 4 场． 若甲队获胜，则概率为 C23×122×1－12×12＝136； 若乙队获胜，则概率为 C23×122×1－12×12＝136， 故所求概率 P3＝136＋136＝38.
二项分布
[例 2] (链接教科书第 73 页例 1)设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前 到校的概率均为23，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情 况相互独立．
核心素养 数学抽象 数学建模 逻辑推理 数学抽象
逻辑推理
在学校组织的高二篮球比赛中，通过小组循环，甲、乙两班顺利进入最后的决 赛．在每一场比赛中，甲班取胜的概率为 0.6，乙班取胜的概率是 0.4，比赛既可以 采用三局两胜制，又可以采用五局三胜制．
[问题] 如果你是甲班的一名同学，你认为采用哪种赛制对你班更有利？
知识点二 二项分布
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为 p，记 q＝1－p，且 n
次独立重复试验中出现“成功”的次数为 X，则 X 的取值范围是{0，1，…，k，…， n}，而且 P(X＝k)＝_C_kn_p_k_q_n_－_k ，k＝0，1，…，n，因此 X 的分布列如下表所示.
X
0
1
…
k
…
n
P
C0np0qn
C1np1qn－1
…
Cknpkqn－k
…
Cnnpnq0
注意到上述 X 的分布列第二行中的概率值都是二项展开式，(q＋p)n＝C0np0qn＋
C1np1qn－1＋…＋Cknpkqn－k＋…＋Cnnpnq0 中对应项的值，因此称 X 服从参数为 n，p 的 二项分布，记作 X～__B_(_n_，__p_)_．