复数讲义——精选推荐

沈阳杰中杰教育—陈莉莉陈莉莉
Ⅰ复习提问
1、 复数的相关概念
⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=. ⑵复数及其相关概念：⑵复数及其相关概念： ① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a Î，）； ② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ；
③ 虚数—当0¹b 时的复数a + b i ； ④ 纯虚数—当a = 0且0¹b 时的复数a + b i ，即b i. ⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数）都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示.
请问z =3(1)a a i +-，z 的实部是（的实部是（ ），虚部是（，虚部是（ ）。

当a =（ ）时，z 是实数；是实数； 当a =（ ）时，z 是虚数；当a =（ ）时，z 是纯虚数。

是纯虚数。

2、 复数的表示⑴(,)z a bi a b R =+Î，⑵点(,)Z a b ，⑶向量OZ
3、
三个充要条件 ㈠ ①z=a+bi z=a+bi∈∈R
Û
b=0b=0（（a 、b ∈R ）
； ②z ∈R Û
z =z ； ③Z ∈R
Û2
2
Z Z =
㈡ ①z =a+bi 是纯虚数Ûa=0且b ≠0（a 、b ∈R ）； ②z 是纯虚数或0ÛZ+z =0=0；③；③；③z z 是纯虚数Û
z 2＜0。

㈢
00==Û=+Î==Û+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 4、两个复数在什么情况下可以比较大小？ 判断正误：判断正误：
①若21,z z 为复数，则
1若021 z z +，则21z z - .（ ） 2若21z z
，则021 z z -.（ ）
②若C c b a Î,,，则0)()()(2
2
2
=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件（ ） 5、复数的运算：
设),,,(,2
1
R d c b a di c z bi a z Î+=+=，
则i d b c a z z )()(21±+±=±；i bc ad bd ac z z )()(21++-=×；i d c ad
bc d c bd ac z z 222221+-+++=
6、绝对值不等式：
设21z z ，是不等于零的复数，则是不等于零的复数，则 ①
2
12121z z z z z z +£+£-..②
2
12121z z z z z z +£-£-.
7、共轭复数：设z=a+bi ，则z =（ ），（a 、b ∈R ），实数的共轭复数是（，实数的共轭复数是（
） 性质
z
z = 、
2
121z z z z +=+ 、
a
z z 2=+，
i
2b z z =-（
=
z a
+ b i ）、2
2|
|||z z z z ==×
复数部分
2121z z z z -=- 、2121z z z z ×=× 、21
21z z
z z =÷÷øöççèæ（02¹z ） 、 n n
z z )(=
判断：①两个共轭复数之差是纯虚数. （ ）②11)(2
121
42
==
==i i （
） 8、常用结论 1,,1,,143
42
41
42
=-=-==-=+++n
n n n i
i i
i
i i
i )(,0321
Z n i
i
i i n n n n
Î=+++
+
+
+
i i i i i i i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2
若w 是1的立方虚数根，即
i
232
1
±
-=w ，
. 9、复数集中解一元二次方程： 在复数集内解关于x 的一元二次方程
)
0(02
¹=++a c bx ax 时，应注意下述问题：时，应注意下述问题：
①当R R
c c b b a a Î,,时，什么时候有二不等实数根？有二相等实数根？两个互为共轭的复数根？时，什么时候有二不等实数根？有二相等实数根？两个互为共轭的复数根？ ②当c b a ,,不全为实数时，是否可以用D 判断方程根的情况？判断方程根的情况？
③不论c b a ,,为何复数，是否都可用求根公式求根？韦达定理是否也成立？为何复数，是否都可用求根公式求根？韦达定理是否也成立？
Ⅱ 题型与方法归纳
1、题型与考点ìï
ïíïï
î复数的概念，复数表示
复数的计算
复数相等，共轭复数复数与方程，函数，三角，向量复数与方程，函数，三角，向量,,不等式等的结合
2、解题方法与步骤、解题方法与步骤
1）复数的概念：
例1. 当m 为何实数时，复数z ＝22
232
25
m m m ---+（m 2+3m －10）i ； （1） 是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．）是纯虚数．
解题思路：z 是实数，虚部=0；z 是虚数，虚部¹0；z 是纯虚数，实部=0，虚部¹0.
解：（1）z 为实数，则虚部m 2
+3m －10=0，即22
3100
250m m m ì+-=í-¹î， 解得m =2，∴，∴ m =2时，z 为实数。

为实数。

（2）z 为虚数，则虚部m 2
+3m －10≠0，即22
3100250m m m ì+-¹í-¹î，
解得m ≠2且m ≠±5. 当m ≠2且m ≠±5时，z 为虚数．为虚数．
（3）22223203100250
m m m m m ì--=ï
+-¹íï
-¹î，
)(0,01,1,,121223Z n n n n Î=++=++===++w w w w w w
w w w w
解得m =－
21
, ∴当m =－
21
时，z 为纯虚数．为纯虚数．
练习1：若复数2
(1)(1)z x x i =-+-
当x 为何值时，⑴为何值时，⑴ 是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数）是纯虚数 2）复数的表示： 例2．在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于（对应的点位于（
）． A ．第一象限．第一象限 B ．第二象限．第二象限 C ．第三象限．第三象限 D ．第四象限．第四象限
解题思路：复数(,)z a bi a b R =+Î，可以表示成点(,)Z a b 复数(12)2z i i i =+=-+,(2,1)z -,所以z 在第二象限。

第二象限。

练习2：在复平面内，复数13z i =+对应的点位于（对应的点位于（
）． A ．第一象限．第一象限 B ．第二象限．第二象限 C ．第三象限．第三象限 D ．第四象限．第四象限 3）复数计算
例3.复数31i
i --等于（等于（
）． A ．i 21+ B ．12i - C ．2i + D ．2i - 解题思路：31i z i -=
-分子分母同时乘以(1)i +，(3)(1)
(1)(1)i i z i i -+=-+=2i + 练习3：复数32322323i i i i
+--=
-+（ ）．
A ．0
B ．2
C ．－2i
D ．2
4）复数相等
例4.已知复数z 满足（3＋3i ）z ＝3i ，则z=（ ）．
A ．3322i － B. 3344i － C. 3322i ＋ D.3344
i ＋
解题思路：00==Û=+Î==Û+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，
，，，（其中，且 z a bi =+，（3＋3i ）z ＝3i (33)()(33)(33)i a bi a b b a i Þ++=-++330,333a b b a Þ-=+= 3
3,44
a b Þ== 练习4：若复数z 满足z +21
|z
|=－1＋2i ，则z =
例5.已知关于x 的方程x 2
－（2i －1）x ＋3m －i ＝0有实根，则实数m 应取的值是（应取的值是（ ） A 、m ≥－41 B 、m ≤－41 C 、m =112 D 、m =－112
解体思路：当c b a ,,不全为实数时，不可以用D 判断方程根，但是可以用求根公式，求得复数根
a
i
b x 2||2
,1D ±-=。

练习5：方程x 2＋（k +2i ）x ＋2＋ki ＝0至少有一实根的条件是（至少有一实根的条件是（ ） A 、－22≤k ≤22 B 、k ≤－22或k ≥22 C 、k =±=±222 D 、k ≠22 6）复数与函数
例6.设f （z ）＝|1+z |－z ，若f （－z ）＝10－3i ，则z 等于（等于（ ） A 、5＋3i B 、5－3i C 、－5＋3i D 、－5－3i 解题思路：()1()1f z z z f z z z =+-Þ-=-+ ，()103f z i -=- 设z a bi =+，z a bi =-。

1(1)z a bi -=-+， 2
2
121z a a b \-=-++，2
2
1103a a b bi i \-+++=- 答案：B 7）复数与三角
例7. 若cos sin z i q q =+（i 为虚数单位），则21z =-的q 值可能是（值可能是（
）． A ．
6p B ．4
p
C ．
3p D ．2
p
解题思路：2
2
2
(cos sin )(cos sin )cos sin 2sin cos 1z i i i q q q q q q q q =++=-+=-
22
cos sin 1,2sin cos 0i q q q q -=-= ，q 一定在坐标轴上，所以选择D.
练习7. 设z ∈C ，|z |=1，则|z +3+i |的最大值为的最大值为
例8.使不等式m 2
－（m 2－3m ）i ＜（m 2
－4m ＋3）i ＋10成立的实数m ＝ . 解题思路:∵只有实数才能比较大小，
∵只有实数才能比较大小， ∴.3m ,1
m 3m 3m 0m 10|m |,03m 4m 0
m 3m 10
m 22
2=\ï
îï
íì====<ïïî
ïïíì=+-=-<或或解得 当m ＝3时，原不等式成立．时，原不等式成立．
9）轨迹问题
例9.若复数z 满足z =
11ti
ti
+-（t ∈R ），求z 的对应点Z 的轨迹方程．的轨迹方程． 解体思路：设z ＝x ＋yi ，（x , y ∈R ），∵，∵ z =11ti ti +-=2222
(1)12(1)(1)11ti t t i ti ti t t +-=+-+++， ∴ 2
2
21121t x t t y t ì-=ïï+íï=ï+î
，消去参数，消去参数 t ，得x 2＋y 2= 1，且x ≠－1． ∴ 所求z 的轨迹方程为x 2
＋y 2
＝1（x ≠－1）． 练习9：设1
z
z +是纯虚数，求复数z 对应的点的轨迹方程．对应的点的轨迹方程．
Ⅲ趁热打铁
1．若复数12429,69,z i z i =+=+其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为的实部为
． 2．已知复数12z i =-，那么1
z
=（ ）．
A ．52555+i
B ．525
55i - C ．1255i + D ．1255i -
3．i 是虚数单位，若
17(,)2i
a bi a
b R i
+=+Î-，则乘积ab 的值是（的值是（
）． A ．－15
B ．－3
C ．3
D ．15
4．若2
1a bi i =+-（i 为虚数单位，,a b R Î
）则a b +=_________． 5．已知=+-=+ni m i n m ni i
m 是虚数单位，则是实数，，，其中11（ ）．
(A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i 6．复数
31i
i --等于（等于（
）． A ．i 21+ B ．12i - C ．2i + D ．2i -
7．复数
2
(12)34i i
+-的值是（的值是（ ）． A ．－１．－１ Ｂ．１Ｂ．１
Ｃ．－i Ｄ．i
8．设1z i =+（i 是虚数单位），则
2
2z z
+=（
）． A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ． 1i +
9．已知2,ai b i ++是实系数一元二次方程2
0x px q ++=的两根，则,p q 的值为（的值为（
）． A ．4,5p q =-= B ．4,5p q == C ．4,5p q ==- D ．4,5p q =-=- 10．i 是虚数单位，2
3
8
i 2i 3i 8i ++++= ．（用i a b +的形式表示，a b ÎR ，）
Ⅳ 温故强化
1、设条件甲：x =0，条件乙：x ＋yi （x ，y ∈R ）是纯虚数，则（）是纯虚数，则（
） A 、甲是乙的充分非必要条件、甲是乙的充分非必要条件 B 、甲是乙的必要非充分条件、甲是乙的必要非充分条件 C 、甲是乙的充分必要条件、甲是乙的充分必要条件 D 、甲是乙的既不充分，又不必要条件、甲是乙的既不充分，又不必要条件
2、36
(13)2(1)12
i i
i i -+-+-++等于（等于（ ） A 、0 B 、1 C 、－1 D 、i
3、若2＋3i 是方程x 2+mx +n ＝0的一个根，则实数m ，n 的值为（的值为（ ） A 、m ＝4，n =－3 B 、m =－4，n ＝13 C 、m ＝4，n =－21 D 、m =－4，n ＝－5
4、已知下列命题：、已知下列命题：
（1）在复平面中，x 轴是实轴，y 轴是虚轴；轴是虚轴； （2）任何两个复数不能比较大小；）任何两个复数不能比较大小； （3）任何数的偶次幂都是非负数；）任何数的偶次幂都是非负数；
（4）若）若 t ＋si =3－4i ，则，则
t =3、s =－4． 其中真命题为其中真命题为
． 5、若复数z 满足z +21
|z |=－1＋2i ，则z =
. 6、设z ∈C ，|z |=1，则|z +1+i |的最大值为的最大值为
. 7、已知复数z 满足|z |＝5，且（3+ 4i ）z 是纯虚数，求z ．
8、 已知z =x ＋yi （x ，y ∈R ），且，且 222log 8(1log )x y
i x y i ++-=-，求z ．。