考研数学三解答题专项强化真题试卷37(题后含答案及解析)

考研数学三解答题专项强化真题试卷37(题后含答案及解析)
题型有：1.
1．(16年)设总体X的概率密度为其中θ∈(0，＋∞)为未知参数，X1，X2，X3为来自总体X的简单随机样本，令T＝max{X1，X2，X3}．(Ⅰ)求T的概率密度；(Ⅱ)确定a，使得E(aT)＝θ．
正确答案：(Ⅰ)先求总体X的分布函数F(χ)＝∫－∞χf(t；θ)dt χ＜0时，F(χ)＝0；χ≥θ时，F(χ)＝1；0≤χ＜θ时，F(χ)＝所以，F(χ)＝再求T的分布函数FT(t) FT(t)＝P(T≤t)＝P{max(X1，X2，X3)≤t} ＝P{X1≤t，X2≤t，X3≤t}＝[P{X1≤t}]3 ＝于是，T的概率密度为(Ⅱ)由题意，θ＝E(αT)＝αET＝可见α＝．涉及知识点：概率论与数理统计
2．(12年)设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为(Ⅰ)求P{X一2Y}；(Ⅱ)求Coy(X－Y，Y)
正确答案：(Ⅰ)P{X＝2Y}＝P{X＝0，Y＝0}＋P{X＝2，Y＝1}＝．(Ⅱ)由(X，Y)的分布可得X，Y及XY的分布分别为：故DY＝E(Y2)－(EY)2＝，Cov(X，Y)＝E(XY)－EX.EY＝×1＝0 得Cov(X－Y，Y)＝Cov(X，Y)－DY ＝0－．涉及知识点：概率论与数理统计
3．(97年)游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光．电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行．设一游客在早上八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在[0，60]上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望．
正确答案：设Y(分钟)为该游客的等候时间，由题意知：而X的概率密度为：涉及知识点：概率论与数理统计
4．(2002年)设
正确答案：令u=(sinx)2，则有涉及知识点：微积分
5．问λ取何值时，二次型f=x12+4x22+4x32+2λx1x2－2x1x3+4x2x3为正定二次型?
正确答案：f的矩阵为二次型f正定的充分必要条件是：A的顺序主子式全为正。

而A的顺序主子式为：D1=1，D2==4－λ2，D3=|A|=－4(λ－1)(λ+2)，于是，f正定的充分必要条件是：D2＞0，D3＞0．由D2=4－λ2＞0，可见－2＜λ＜2由D3=－4(λ－1)(λ+2)＞0，可见－2＜λ＜1可见－2＜λ＜1．因此，二次型f正定当且仅当－2＜λ＜1．涉及知识点：线性代数
6．(2004年)设级数(一∞＜x＜+∞)的和函数为S(x)。

求：(I)S(x)所满足的一阶微分方程；(Ⅱ)S(x)的表达式。

正确答案：因此S(x)是初值问题y(0)=0的解。

由初始条件y(0)=0，得C=1。

故因此和函数S(x)= 涉及知识点：微积分
7．(2009年)设曲线y=f(x)，其中y=f(x)是可导函数，且f(x)＞0。

已知曲线y=f(x) 与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程。

正确答案：旋转体的体积为V=∫1tπf2(x)dx=π∫1tf2(x)dx。

曲边梯形的面积为S=∫1tf(x)dx，则由题可知V=πtS，即π∫1tf2(x)dx=πt∫1tf(x)dx，也就是∫1tf2(x)dx=t∫1tf(x)dx。

两边对t求导可得f2(t)=∫1tf(x)dx+tf(t)，即f2(t)一tf(t)=∫1tf(x)dx (*)继续求导可得2f(t)f’(t)一f(t)一tf’(t)=f(t)，记f(t)=y，化简可得在(*)式中令t=1，则f2(1)一f(1)=f(1)[f(1)一1]=0，因为f(t)＞0，所以f(1)=1。

代入所以该曲线方程为涉及知识点：微积分
8．(2006年)设随机变量X的概率密度为fX(x)=令Y=X2，F(x，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数。

求(Ⅰ)Y的概率密度fY(y)；(Ⅱ)Cov(X，Y)；(Ⅲ)
正确答案：(Ⅰ)设Y的分布函数为FY(y)，即FY(y)=P(Y≤y)P(X2≤y)，则当y＜0时，FY(y)=0；当0≤y＜1时，FY(y)=P(X2＜y)=当1≤y＜4时，FY(y)=P(X2＜y)=当y≥4，FY(y)=1。

所以(Ⅱ)Cov(X，Y)=Cov(X，X2)=E(X2)-E(X)E(X2)，而所以(Ⅲ)
[2002年] 假设随机变量U在区间[－2，2]上服从均匀分布，随机变量试求：
9．X和Y的联合分布；
正确答案：显然(X，Y)为离散型随机变量，其取值为(X，Y)=(－1，1)，(－1，－1)，(1，－1)，(1，1)．下面利用等价事件求出随机变量(X，Y)取上述值的概率．P(X=－1，Y=－1)=P(U≤－1，U≤1)=P(U≤－1)=P(－2≤U≤一1) =[－1－(－2)1／4=1／4，P(X=－1，Y=1)=P(U≤－1，U＞1)=P()=0，P(X=1，Y=－1)=P(U＞－1，U≤1)=P(－1＜U＜1)=[1－(－1)]／4=1／2，P(X=1，Y=1)=P(U＞－1，U＞1)=P(U＞1)=P(1＜U＜2)=(2－1)／4=1／4．于是所求的X与Y的联合分布为涉及知识点：概率论与数理统计
10．D(X+Y)．
正确答案：用同一表格法由上题易求得X+Y，(X+Y)2的概率分布：因而E(X+Y)=－2×(1／4)+0×(1／2)+2×(1／4)=0，E[(X+Y)2]=0×(1／
2)+4×(1／2)=2，D(X+Y)=E[(X+Y)2]－[E(X+Y)]2=2－0=2．涉及知识点：概率论与数理统计。