正态分布在成绩分析中的应用

正态分布在成绩分析中的应用
【标题】正态分布在成绩分析中的应用【作者】胡明月【关键词】正态分布，定义及性质，成绩分析，设计与实现【指导老师】林昌盛【专业】数学与应用数学
【正文】
1.引言?
在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似服从正态分布规律，即人们通常所讲的“中间粗两头细”．正态分布又称高斯分布，它在现实生活中用途极为广泛．正态分布是生活中一种常见的连续分布，它是以均值为中心，左右对称的钟形分布．在各种概率分布中，正态分布有着重要地位．物理学中测量同一物体的测量误差，生物学中同一种生物机体的某一量度（如：身高、体重）都近似地呈正态分布．正态分布在统计理论及应用中居中心地位，在实际生活中有些随机现象需要涉及无穷多个随机变量，这些都要用到正态分布中心极限定理以及danker不变原理的理论发展过程等方面知识．其次，在很多实际问题中都要用到正态分布的知识．在教育实践中，反映出人的能力、智力同样服从正态分布，如考试分数这种随机变量也符合正态分布．由于考试仍是目前检查教学的主要手段，因而考试成绩及其分布也就成为评价教学的重要尺度，本文就正态分布在成
绩分析中的应用作初步探讨．
2.?正态分布的定义及性质
2.1正态分布的定义
设连续型随机变量有分布密度函数
为常数，（＊）
其中?，?是参数，分别表示总体的平均数与标准差，这种分布叫正态分布，记
作?．（＊）
的图象被称为正态曲线．在函数（＊）中，当?=0，?=1，正态总体称为标准正态总体，相应的正态曲线称为标准正态曲线．
2.2?正态曲线的性质
标准正态分布的概率密度曲线如图2-1．
图 2―1
从正态分布密度函数式（＊）可见，正态曲线具有如下性质：①曲线在?轴的上方，与?轴不相交；②曲线关于直线?=?对称；③曲线在?=?时位于最高点；④当? ?时，曲线上升；当? ?时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以?轴为渐近线，向它无限靠近；⑤当?一定时，无论?怎样变化，曲线的形状是确定的．对于不同的?，两条曲线可通过左右平移，使之重合的正态曲线称为标准正态曲线；⑥当?一定时，曲线的形状由?确定．?越大，曲线就越“矮胖”，表示总体的分布越分散；?越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
3．正态分布在成绩分析中的应用
3.1由考试成绩分析教学效果的一种定量方法
考试的基本目的有两个：一是衡量考生掌握基本知识的程度；二是区分考生的不同水平和层次．要达到这两个目的，先决条件是考题出得恰当，考题太偏、太难或太易都不能得到正确的评估．如果考题适当，如何从分数的统计情况提炼出反
映教学效果的信息，从中得出进一步改进教学的措施意见，这是教育主管部门以及任课教师都很关注的课题．本文以概率统计为基础，利用数据拟合的方法从考分统计中提炼出几个数字特征，去评估教学效果(假定出题符合标准)，或评价考题标准(假定学生学习情况正常)．这对深化教学改革和教学管理定量化有十分积
极的意义．
题
一份考卷中的题目究竟怎样才能达到考试的目的，我们把这称为出题问题．根据教学大纲的要求及通用的百分制标准，大体可将考题分为四类：第一类是最基本要求的题，占分数的60%，优秀生完成所需时间约占考试时间的40%；第二类是基本要求范围的题，但需一定的灵活性，占分数的15%，优秀生时间的15%；第三类是在教学大纲范围内，但要求有一定技巧的难题，占分数的15%，优秀生时间的20%；第四类是在教学大纲范围边缘或涉及知识面较多的难题，占分数的10%，优秀生时间的25%．对上述分类标准当然还可以进一步研究．
态下考生成绩分布规律
我们假定出题基本满足上述要求，并认为考生中的多数能达到教学基本要求．通过考试将考生分出层次，分出优秀者和少数不合格者．由于考试过程是一个受到多因素干扰的随机过程，假定它是平稳的，从统计的意义上看，分布应基本上满
足正态分布规律，即
（１）
其中?表示分数，A表示的数学期望，近似地就是平均值，B是方差，是衡量考生能否拉开距离的一个数学指标，?表示考分为?的考生个数，数学上称为概率密度．分数从?到?这个分数段上考生个数的概率可由公式
（２）
计算得到．
根据教学的基本要求及上面所定的出题标准，数学期望值A应略高于75分，分布要能拉开档次，不及格率在5%以下，90分以上的优秀生在10%以内．所谓理想状态，有三个基本要求：①考题符合基本要求；②教师教学符合要求；③学生
情况正常．
在理想状态下，我们取
A=A'=77,B=B'=10 （３）根据公式(2)计算各分数段所占比例为
理想状态下考生成绩分布
这个分布基本符合我们多年教学统计的结果和多数教师的期望.考生成绩分布的
理想概率密度公式应为
（４）
考试成绩拟合出A与B
如何从考生成绩的统计中求出实际的数学期望A与方差B，在数学上称为拟合问题．设共有考生N个，?,?,.., n分别表示各考生的成绩，则实际期望值A可由
公式
? （５）近似得到．从０到100分每个分数上的人数记为
q(0),q(1)，…, q(100)（6）?
显然有
（7）
方差B的最好拟合值应能使得等式
（8）
对所有的?=0,1,2,...,100都能成立．但实际上这个B存在的可能性极小，因此
记
（9）
（10）
最佳拟合也就是选取B0，使得函数
（11）
在B0处达到最小．一般说来难以用分析表示式求B0，由于B的取值在[0,100]之间，用优化法(如0. 618法、最速下降法等)即可找到B0．
若粗糙些，按精度为0.5的要求直接计算
J(1),J (1.5),J (2),J(2.5)，…,J(100)（12）?
从中选出最小值所对应的B值即为B0．?
用所得A0与B0分析教学中的问题
将所得A0，B0同（3）式中理想的A'，B'进行比较就可判断教学或学生或考题
的状况．
首先应从整体上分清是判断考题还是判断教学情况．例如若在全国统考中，各校的A0，B0值普遍不理想，则表明考题有问题；反之，若多数学校正常，某些学校特殊，则应分析特殊学校的教学原因．类似地在同一学校中也可对各班情况
进行比较．
一般地说，A0 A* =77时表明出题偏难或教学效果较差；反之则表明考题偏易或教学效果良好．如果B太小，表明考题内容太集中，学生不能拉开档次；B太大则表明学习中两极分化或出题没抓住重心．是否大体上按下述标准判定教
学效果或出题水准：
|A．一A*?|? 3,?|B．一B*| 1（13）认为是优秀．
3 |A．一A*|＜6,1 |B．一B*|? 3（14）
认为基本符合要求．超出上述范围，则认为考题不当或教学效果特异，需要研究．
3.2正态分布的应用举例
正态分布在实际生活中应用
问题1 某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区,路线较短,但交通拥挤，所需时间(单位：分)服从正态分布N(50，102);第二条路线沿环城公路走，但交通阻塞少,所需时间服从正态分布N(60，42)．(1)若只有70分钟可用,问应走哪条路线？(2)若只有65分钟可用,又应走
哪条路线？
设走第一条路线及时赶到所用时间为ξ分钟，走第二条路线及时赶到所用时间为η分钟．在70分钟内走第一条和第二条路线赶到火车站的概率分别为 P(ξ≤
70)?=φ(70-5010)?=φ(2)?=0.9772，P(ξ≤70)?=φ(70-604)?=φ
(2.5)?=0.9938,所以应走第二条路线．在65分钟内走第一条和第二条路线赶到火车站的概率分别为P(ξ≤65)?=φ(65-5010)?=φ(1.5)?=0.9332，P(η≤
65)?=φ(65-604)?=φ(1.25)?=0.8944．
所以应走第一条路线.每天都在乘车，可很少有同学留心就在这平凡的生活中竟然有这么多的数学知识，说明了数学与生活是紧密联系的，同时也告诉我们在教与学中要把知识同日常生活与实践结合起来，要让同学们养成用数学知识的良好
习惯．
正态分布在成绩分析中的应用
问题2 某中学入学考试后，语文成绩X1=65分，S1=6分；数学成绩X2=82分，S2=10分．学生A语文得71分，数学得92分，学生B语文得77分，数学得84分．若两科合在一起排名次，哪个学生应排在前边？
对于这种问题，人们一般都用两科总分来排队．那么学生A的总分163，学生B 的总分161，因而学生A应排在学生B前面．如果该校录取分数的下限为162分，则学生A被录取，而学生B没被录取．这种判断不够科学96集宁师专学报2003年也不甚合理，因而是一种错误的判断．原因是各科之间它们的原始分数的参照点与单位不同，不能直接相加求和与比较，应当先将原始分数转化为标准分数后，再合成和排队．合理的解决方法是学生A：Z1=1,Z2=1，ZA=Z1+Z2=2，学生B：Z1=2,Z2=0.2，ZB= Z1+Z2==2.2．因为ZB ZA，所以学生B排在前面，应录取学
生B,恰与原始分数的比较结果相反．
标准分数的意义在于：第一，各科标准分数之间单位相同，零点相同，因此可以将每个学生各科标准分相加求和，比较其总分的优劣．第二，标准分的大小和正负，可以反映其考分在全体考分中的位置，故又称之为相对分数．标准分数一般算到小数点后两位，且有负分，这与平常的评分形式不相一致，如使用时感到不便，还可经某种线性变换变为其它形式的标准分数．由上可知，有了标准分数，
就能正确评估学生的学习成绩了．
3.3考试系统中成绩正态分布检验的设计与实现?
随着网络教育的迅速发展，网络考试也成为研究热点，但在现有的网络考试系统中，鲜有对考试成绩、试题参数做详细分析、统计的,对成绩做正态分布检验的就更少．在网络考试系统中，因计算机强大的计算能力，可以作比较复杂的统计、
分析．
绩正态分布检验的意义
考试质量评价指标包括对试卷进行一般描述和判断的指标(如知识点覆盖率、项目构成结构合理性分析等等)；对考试整体进行量化分析的指标(如成绩分布的正态性检验、考试信度指标测试、考试效度指标的测试等)；对考试题目的质量分析指标(如试题难度分析、试题区分度分析等)，利用这些指标，可以全面评价某一次考试，利于今后改进考试，提高考试质量．本考试系统对这些参数都进行了详细的统计、分析，这里只讨论成绩分布的正态性检验．
考试系统对考试成绩进行正态分布检验的意义主要有两点．一是系统中部分其他统计方法是建立在正态分布的基础上，二是用于对考试成绩的解释．
在考试成绩及试题参数的统计过程中，有些统计方法只适用于正态分布或近似正态分布资料，如用均数和标准差描述成绩的集中或离散情况，用正态分布法确定正常考试成绩的范围等，因此在使用这些方法前,需进行正态性检验．同时，在对考生考试成绩进行解释时，不同。