江西省白鹭洲中学10-11学年高二下学期期中考试(数学理)

白鹭洲中学2010~2011学年度下学期期中考试
高二年级数学试题（理科)
总分：150分 完成时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共50分)
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

⒈设集合⎭
⎬⎫
⎩
⎨
⎧<<-=22
1|x x A ，{}1|≤=x x B ,则=B A （ ） A ．{}21|<≤-x x B ．{}2|<x x C ．{}21|<≤x x D ． ⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧≤<-121|x x 2. 已知2
1i
=-，则
31i
i
-=-（ ）
A ．-2i -
B ．-2i +
C ．
i +i - 3。

已知命题p ：(,0),x ∃∈-∞使2
3x
x <都有tan sin x x >A. p q ∧ B ．()p q ∨⌝
C. ()p q ⌝∧ D ．()p q ∧⌝
4. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的
等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2, 那么这个几何体的体积为（ ）
A ．2
B ．13
C ．23
D ．43www 。

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5．已知(12)n
x +的展开式中,所有项的系数之和等于81，则这个展开式
中2
x 的系数是（ )
A ．32
B ．28
C ．26
D ．24 俯
D 。

12-
7．已知αβ、、γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线,下列命题中正确的是( ）
A ．若ββα⊥⊥l ,,则α//l
B ．若α//l ，α∥β，则l ∥β
C ．若βα//,l l ⊥,则βα⊥
D ．若γαβα⊥⊥,，则βγ⊥
8．从一个正方体的8个顶点中任取3个,则以这3个点为顶点构成等
边三角形的概率为（ ) A 。

1
7
B 。

27
C.57
D.67
9．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F
，
且两曲线的一个交点为P ，若5PF =,则双曲线的渐近线方程为( )
A ．30x y ±=
B ．30x y ±=
C ．20x y ±=
D ．20x y ±=
10。

对于在区间[],a b 上有意义的两个函数()f x 和()g x ，如果对于任意
[],x a b ∈均有1()()1f x g x -≤-≤成立，
则称函数()f x 与()g x 在区间[],a b 上是接近的。

若2
()log (1)f x ax =+与2
()log g x x =在区间[]1,2上是接近的，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[]0,1
B ．[]2,3
C ．[0,2)
D ．(1,4)
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5个小题,每小题5分,共25分,把答案填写在题
中的横线上. 11.20
cos()4
x dx ππ
+=⎰。

12. 曲线3
()f x x
x =-在点(1,0)处的切线方程是_____________．
C 1
13. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的S 的值是 ． 14。

已知数列{}n
a 满足11a
=，1
n n a a ++= 1()4
n ()n N *∈,
2112344...4n n n S a a a a -=++++，类比课本中推导等比数列
前n 项和公式的方法，可求得54n n
n S
a - =
．
15。

（考生注意:请在下列两题中任选一题作答，两题全做的，
只计算第一小题的得分.）
A ．(线性规划选做题)设实数x 、y 满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤+-≥≥211y x y x ,令y x a -=，则实数a 的
取值范围是 。

B ．（不等式选做题) 若关于x 的不等式1x x a +-≤有解，则实数a 的取
值范围是 .
三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
16。

（本小题满分12分）
已知向量(sin ,1)a α=, (1,cos )b α=，设函数()f a b α=⋅.
（Ⅰ）求函数()f α的最大值； www.k@s@5@ 高＃考#资#源#网 (Ⅱ)在锐角△ABC 中，角A B C 、、
的对边分别为a b c 、、，()f A =，
且△
ABC 的面积3S =，2b c +=+a 的值。

17。

（本小题满分12分）
如图：直三棱柱111
ABC A B C -中，2,90AC BC AA ACB ===∠=. E 为1
BB 的中
点，
D 点在AB 上且D
E =。

（Ⅰ）求证：CD ⊥平面1
1
A AB
B ； （Ⅱ）求三棱锥1
1
A B CE -的体积.
18．（本小题满分12分）
某科技公司遇到一个技术难题，紧急成立甲、乙两个攻关小组,按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关，同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励．已知此技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为23
,被乙小组攻克的概率为34
．
（Ⅰ）设ξ为攻关期满时获奖的攻关小组数,求ξ的分布列及E ξ； （Ⅱ）设η为攻关期满时获奖的攻关小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方,记“0η>”为事件C ,求事件C 的概率．
19。

（本小题满分12分） 已知数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，1
2a
=,1(1)n n na S n n +=++。

（Ⅰ)求数列{}n
a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列1{}n
S 的前n 项和为n
T ，求证：1n
T
<。

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20．（本题满分13分）
设椭圆C :)0(,122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别是21,F F ，A 是椭圆上一点，
且
02
1
2
=⋅F
F AF ，原点O 到直线1AF ，且椭圆C 上的点到2
F 的
最小距离是12-。

(Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若圆3
2
22
=
+y x
的切线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，求证：OQ OP ⊥。

21.（本小题满分14分） 已知a ∈R ,函数2
()()e x f x x
ax -=-+.(x ∈R ，e 为自然对数的底数）
(Ⅰ)当2a =-时，求函数()f x 的单调递减区间;
(Ⅱ）若函数()(1,1)f x -在内单调递减，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）函数()f x 是否为R 上的单调函数，若是，求出实数a 的取值范
围;若不是，请说明理由.
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2010-2011学年度下学期期中考试
高二年级数学试题参考答案及评分标准(理科)
一、选择题
11. 0
12．
22y x =-
13．12
-
14．n 15．
A 。

[0,4] B.
[)+∞,1
三、解答题
16.解：（Ⅰ)
()=sin cos )4
f a b π
αααα=⋅+=+4
分
(
Ⅱ）())4f A A π=+=A 为锐角，故4
A π
=
，从而sin A =
6分
由1
sin 32
ABC
S
bc A =
=可知bc =2b c +=+ 2,b c ==或
2,c b == ……………………………………………………9分
再由余弦定理得2
222cos 10a
b c bc A =+-=,故a =12
分
17。

证明：(Ⅰ）直三棱柱111
ABC A B C -中，1
BB ⊥底面ABC ,
112,BB AA ==E 为1BB 的中点，所以Rt BDE 中
1,BE DE ==，从而
BD =， www 。

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Rt ACB 中2,90
AC BC ACB ==∠=，故AB =
于
是
D
为
AB
的中
点，………………………………………………………3分
CD
⊥
AB
，又
1BB ⊥
AB
，故
CD
⊥平面
11A ABB 。

(6)
分
（Ⅱ)1111111
3A B CE C A B E A B E
V V S
CD --==⋅⋅…………………………………9分
11111112
132323
A B B E CD =⋅⋅⋅=⨯⨯=…………………12分
18.（Ⅰ）解：记“甲攻关小组获奖”为事件A ，则2()3P A =，记“乙攻关
小
组获奖”为事件B ,则
3
()4P B =
．
…………………………………………………………1分
由题意，ξ的所有可能取值为0，1，2．
231
(0)()(1)(1)3412
P P A B ξ==⋅=--=
，
23235
(1)()()(1)(1),
343412P P A B A B ξ==⋅+⋅=-⨯+⨯-=
231
(2)()342
P P A B ξ==⋅=⨯=
， …… 4分
∴ξ的分布列为:
∴
151170*********
E ξ=⨯
+⨯+⨯=． (6)
分
(Ⅱ)∵获奖攻关小组数的可能取值为0，1,2,相对应没有获奖的攻关小组的取值为2，1，0．∴η的可能取值为0，4．当0η>时，即4η=
∴117
()(4)()()21212
P C P P A B P A B η===⋅+⋅=
+=．…………………… 12分
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19．解：（Ⅰ）因为1
(1)n n na
S n n +=++，当2n ≥时，有1(1)(1)n n n a S n n --=+-
两式相减，得1
(1)2n n n na n a a n +--=+，即12n n a a +-=(2)n ≥
当1n =,2
124a S =+=,所以212a a -=，所以12n n a a +-=(1)n ≥
故
{}
n a 是以首项为2
，公差为2
的等差数列,即
2n a n = (7)
分
（Ⅱ）(22)(1)2n
n n S n n +=
=+，由裂项相消，得1
111
n T n =-<+…………12分 20.
解：(Ⅰ
）
12
22
=+y x ………………………………………………………………5分
（Ⅱ)当直线斜率不存在时，易证,90
=∠POQ OQ OP ⊥∴…………………7分
当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为),(),,(,2
2
1
1
y
x Q y x P m kx y +=
满足⎩
⎨⎧=++=222
2y x m
kx y 2
22(12)4220k
x kmx m ∴+++-=
2
221221212
2,14k m x x k km x x +-=
+-=+∴ (9)
分
2
2
222
2
21212
21212142122)())((m k
km km k m k m x x k x x k m kx x kx y y ++-++-=+++=++= 2
2
2212k k m +-=
l 与圆3
2
22
=
+y x
相切 3
61
2=
+∴
k m ,即)1(3
22
2
+=
k m
2
22222222121212
232122122k
k m k k m k m y y x x +--=+-++-=+ ……………………………11分
将)1(3
22
2
+=
k m 代入上式得：02121=+y y x x 即OQ OP ⊥
综
上
：
OQ
OP ⊥……………………………………………………………………
13分
21．解：(Ⅰ)当2a =-时,2
()(2)e x
f x x x -=--2
()(2)e x
f x x -'∴=- 令()f x
'2
0,20,x x <-<<得
∴函数的单调递减区间是（。

（注：写成⎡⎣也对） ………4分
（Ⅱ）2
-()()e x
f x x ax =-+
-2
-()(2)e ()(e )x
x
f x x a x ax '∴=-++-+-=2
-(2)e x
x a x a ⎡⎤-++⎣⎦. ()()f x 要使在-1,1上单调递减，
则()0f x '≤ 对(1,1)x ∈- 都成立，即2
(2)0x a x a -++≤ 对(1,1)x ∈-都成立。

令2
()(2)g x x a x a =-++,则
(1)0(1)0g g -≤⎧⎨≤⎩ 1(2)01(2)0a a a a +++≤⎧⇒⎨
-++≤⎩
3
2a ⇒≤-。

(9)
分
（Ⅲ）①若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≤ 对x ∈R 都成立 即2
-(2)0x
x a x a e ⎡⎤-++≤⎣⎦ 对x ∈R 都成立。

2
e 0,(2)0x x a x a ->∴-++≤ 对x ∈R 都成立
令2
()(2)g x x a x a =-++， www.k ＠s@5＠ 高#考#资#源＃网
图象开口向上 ∴不可能对x ∈R 都成立
②若函数()f x 在R 上单调递增,则()0f x '≥ 对x ∈R 都成立, 即2-(2)e 0x
x a x a ⎡⎤-++≥⎣⎦ 对x ∈R 都成立，
e 0,x -> 2
(2)0x a x a ∴-++≥ 对x ∈R 都成立。

22
(2)440a a a ∆=+-=+>
故函数()f x 不可能在R 上单调递增。

综上可知,函数()f x 不可能是R 上的单调函
数………………………………………14分
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w。

w。

w.k.s。

5.u。

c.o.m。