2019备战中考数学押轴题解析汇编-圆与圆的位置关系的位置关系一

2019备战中考数学押轴题解析汇编-圆与圆的位置关系的位置
关系一
注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！
圆与圆的位置关系
一、 选择题
1.〔2017福建泉州，5，3分〕假设⊙1O 的半径为3，⊙2O 的半径为1，且圆心距1O 2O =4，那么⊙1O 与⊙2O 的位置的关系是〔〕.
A.内含
B.内切
C.相交
D.外切
【解题思路】根据圆与圆的位置关系，当R r d +=时，两圆相外切。

因为314+=所以两圆的位置关系是外切。

【答案】D
【点评】此题考查两圆之间的位置关系，利用圆心距与两圆的半径关系可以加以判定，难度较小。

1.〔2017江苏盐城，5，3分〕假设⊙O 1、⊙O 2的半径分别为4和6，圆心距O 1O 2=8，那么⊙O 1与⊙O 2的位置关系是
A 、内切
B 、相交
C 、外切
D 、外离
【解题思路】圆心距O 1O 2满足6-4＜8＜6+4，所以B 选项相交正确、当O 1O 2=2时，两圆内切；当O 1O 2=10时，两圆外切；当O 1O 2＞10时，两圆外离、
【答案】B 、
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系、利用圆心距与半径之间的关系来确定圆与圆的位置关系，特别是当两圆相交时，圆心距处于内切和外切之间、难度较小、
〔2017江苏扬州，4，3分〕相交两圆的半径分别为4和7，那么它们的圆心距可能是〔〕
A 、2
B 、3
C 、6
D 、11
【解题思路】两圆相交⇔R －r ＜d ＜R ＋r 〔R ≥r 〕，即3<d<11、
【答案】C 、
【点评】此题主要考查圆和圆的位置与两圆半径R 、r 、圆心距d 的关系、①当d ＞R ＋r 时，两圆外离；②当d ＝R ＋r 时，两圆外切；③当R －r ＜d ＜R ＋r 时，两圆相交；④当d ＝R －r 时，两圆内切；⑤当０≤d ＜R －r 时，两圆内含、难度较小、
1.〔2017台北25〕如图(九)，圆A 、圆B 的半径分别为4、2，且AB ＝12。

假设作一圆C 使得三圆的圆心在同一直在线，且圆C 与圆A 外切，圆C 与圆B 相交，相交于两点，那么下 列何者可能是圆C 的半径长？
(A)3(B)4
(C)5(D)6
【分析】：根据两圆之间的位置关系很容易发现圆C 与圆A 、
圆B 都外切时，圆C 半径是3，
所以圆C 半径应当大于3。

圆C 与圆A 外切与圆B 相内切时，
半径是5
【答案】：B
【点评】：此题考查了圆与圆的位置关系。

相外切时，圆心距等于半径之和，相内切时，圆
心距等于半径之差。

难度中等.
【二】填空题
14、〔2017四川广安，14，3分〕⊙O 1与⊙O 2的半径1r 、2r 分别是方程2
680x x -+=的两
实根，假设⊙O 1与⊙O 2的圆心距d =5、那么⊙O 1与⊙O 2的位置关系是____ 【解题思路】由题知，1r 、2r 分别是方程2680x x -+=的两实根，解得1=4r ，2=2r ，
故1212r -r <d<r +r 所以两圆相交、
【答案】相交、
【点评】此题将一元二次方程和圆和圆的位置关系结合考察是一道较好的题目，难度中等、
15、〔2017内蒙古乌兰察布，15，4分〕如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=900,AB=8cm,BC=6cm,分别以A,C 为圆心，以
2AC 的长为半径作圆,将Rt △ABC 截去两个扇形，那么剩余〔阴影〕部分的面积为cm 2〔结果保留π〕
【解题思路】求不规那么图形的面积那么转换为规那么图形面积的和差，图中阴影部分面积等于△ABC 与两扇形面积的差，那么为：
4121-⨯BC AB 〔π25〕42524-=π 【答案】4
2524-π、 【点评】此题主要考查了勾股定理、扇形面积公式及转化和整体思想，学生在求解两扇形的面积和时不宜想到两者和即
41个圆面积.难度较大. 【三】解答题
1.〔广东省，14，6分〕如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为〔－4，0〕，⊙P 的半径为2，将⊙P 沿x 轴向右平移4个单位长度得⊙P 1、
〔1〕画出⊙P 1，并直接判断⊙P 与⊙P 1的位置关系；
〔2〕设⊙P 1与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，求劣弧AB 与弦AB 围成的图形的面积〔结果保留π〕、
【解题思路】
【答案】〔1〕⊙P 与⊙P 1相外切.
〔2〕劣弧AB 与弦AB 围成的图形的面积为：211222242
ππ⨯-⨯⨯=- 【点评】此题考查了在圆的平移后，判断圆与圆的位置关系及弓形面积的计算.同时也考查了学生动手画图能力.难度中等.
2.
2.〔2017湖北黄石，24，9分〕⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，点O 1在⊙O 2上，C 为⊙O 2上一
点(不与A ，B ，O 1重合)，直线CB 与⊙O 1交于另一点D.
〔1〕如图〔8〕，假设AC 是⊙O 2的直径，求证：AC=CD ；
〔2〕如图〔9〕，假设C 是⊙O 1外一点，求证：O 1C ⊥AD ；
〔3〕如图〔10〕，假设C 是⊙O 1内的一点，判断〔2〕中的结论是否成立、
【解题思路】问题1中，先利用直径所对的圆周角为直角，得∠AO 1C =∠B=90°，所以AD 为⊙O 1的直径，再用垂直平分线的性质得AC CD =，问题2中先在⊙O 1用圆内接四边形的外角等于内对角，得∠E =∠ABC ，再结合∠AO 1C =∠ABC ，所以1E AO C ∠=∠，所以1//CO ED ，因为ED AD ⊥，所以1CO AD ⊥，问题3的思路与问题2类似.
【答案】证明：〔1〕如图〔8〕，连接AB ，1CO
∵AC 为⊙2O 的直径∴DB AB ⊥
∴AD 为⊙1O 的直径∴1O 在AD 上
又1CO AD ⊥，1O 为AD 的中点
∴△ACD 是以AD 为底边的等腰三角形
∴AC CD =
〔2〕如图〔9〕，连接1AO ，并延长1AO 交⊙1O 与点E ，连ED
∵四边形AEDB 内接于⊙1O ∴∠E =∠ABC
又∵AC AC =∴∠AO 1C =∠ABC
E
∴1E AO C ∠=∠
∴1//CO ED
又AE 为⊙1O 的直径∴ED AD ⊥
∴1CO AD ⊥
〔3〕如图〔10〕，连接1AO ，并延长1AO 交⊙1O 与点E ，连ED
∵1B EO C ∠=∠又E B ∠=∠
∴1EO C E ∠=∠
∴1//CO ED 又ED AD ⊥
∴1CO AD ⊥
【点评】此题较好利用了同弧所对的圆周角相等和圆内接四边形的外角等于内对角这两个定理，通过等量代换达到证同位角相等或内错角相等的目的，此题表达了形变质不变，是较难题，需要学生有较强的思维能力，辅助线方面也值得总结、难度较大、
3.〔2017台湾25〕假设有两圆相交于两点，且圆心距离为13公分，那么以下哪一选项中
的长
度可能为此两圆的半径？
(A)25公分、40公分(B)20公分、30公分(C)1公分、10公分(D)5公分、7公分
【分析】：由于两圆相交，所以其两圆半径之差<圆心距<两圆半径之和
【答案】：B
【点评】：此题考查了两圆的位置关系。

难度较小
4.〔2017湖北襄阳，9，3分〕在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm 、假设⊙A ，⊙B
的半径分别是1㎝，4㎝，那么⊙A 与⊙B 的位置关系是〔〕
A 、外切
B 、内切
C 、相交
D 、外离
【解题思路】由勾股定理求出⊙A 与⊙B 的圆心距AB
＝5(cm)，而1＋4＝5，所以问题中的数量关系符合d ＝R ＋r ，两圆的位置关系是外切、
【答案】A 、
【点评】根据两圆的圆心距和半径大小之间的关系判断两圆的位置关系，是各地中考常见考点，多以选择、填空的形式出现、难度较小、
5.〔2017江西南昌，21，7分〕有一种用来画圆的工具板〔如下图〕，工具板长21cm ，上面依次排列着大小不等的五个圆〔孔〕，共中最大圆的直径为3cm ，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm 、最大圆的左侧距工具板左侧边缘 1.5cm ，最小圆的右侧距工具板右侧边缘
1.5cm ，相邻两圆的间距d 均相等、
⑴直接写出其余四个圆的直径长；
⑵求相邻两圆的间距、
【解题思路】〔1〕最大圆的半径是3cm ，由题意：其余圆的直径从左到右依次递减
E
0.2cm ，很容易求得其余四个圆的直径长分别为 2.8cm ,2.6cm ,2.4cm ,2.2cm ；〔2〕工具板长21cm ，最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm ，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm ，相邻两圆的间距d 均相等，再由〔1〕中的数据，要求两圆的间距不难，可以列方程，当然也可列算式、
【答案】〔1〕其余四个圆的直径长分别为2.8cm ,2.6cm ,2.4cm ,2.2cm ；
〔2〕因为工具板长21cm ，左、右侧边缘1.5cm ，
所以的五个圆〔孔〕及相邻两圆的间距之和为21-3=18〔cm 〕.
d=[18-(3+2.8+2.6+2.4+2.2)]÷4=54〔cm 〕.
【点评】此时考查知识点不多，关键是学生要能读懂题，把它转化成数学问题，难度不大、 〔2017江苏南京，8分〕如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6㎝，BC =8㎝，P 为BC 的
中点、动点Q 从点P 出发，沿射线PC 方向以2㎝/s 的速度运动，以P 为圆心，PQ 长为半径作圆、设点Q 运动的时间为ts 、
⑴当t =1.2时，判断直线AB 与⊙P 的位置关系，并说明理由；
⑵⊙O 为△ABC 的外接圆，假设⊙P 与⊙O 相切，求t 的值、
【解题思路】直线与圆的位置关系既是指相交、相切、相离，判断的依据是直线与圆习的距离，所以只要求出当t=１.２时圆心P 与直线AB 的距离就可以了；两圆的位置关系有多种，因为点P 在圆内，所以内含、相交、内切就行了，判断的依据是两圆心间的距离，同时要注意存在的多种可能，做到答案的全面性。

【答案】⑴直线AB 与⊙P 相切、
如图，过点P 作PD ⊥AB ,垂足为D 、
在Rt △A BC 中，∠ACB ＝90°，∵AC =6cm ，BC =8cm ，
∴10AB cm =、∵P 为BC 的中点，∴PB =4cm 、
∵∠P DB ＝∠ACB ＝90°，∠PBD ＝∠ABC 、∴△PBD ∽△ABC 、 ∴PD PB AC AB =,即4610
PD =，∴PD =2.4(cm)、 当 1.2t =时，2 2.4PQ t ==(cm)
∴PD PQ =，即圆心P 到直线AB 的距离等于⊙P 的半径、
(第26题)
∴直线AB 与⊙P 相切、
⑵∠ACB ＝90°，∴AB 为△ABC 的外切圆的直径、∴152OB AB cm =
=、 连接OP 、∵P 为BC 的中点，∴132
OP AC cm ==、 ∵点P 在⊙O 内部，∴⊙P 与⊙O 只能内切、
∴523t -=或253t -=，∴t =1或4、
∴⊙P 与⊙O 相切时，t 的值为1或4、
【点评】此题是具有一定难道的动点型几何问题，具有一定的挑战性，能考查同学们知识的灵活性，特别是第〔２〕问中多个答案的存在，更是具有一定的难道，要考虑到523t -=或253t -=，从而求出两个答案，此题难道较较大。

22、〔2017四川绵阳22，12〕(此题总分值12分〕如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠BAD
＝90°，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切、
(1)求证：OB 丄OC ；
(2)假设AD ＝12，∠BCD ＝60°，⊙O 1与半⊙O 外切，并与BC 、CD 相切，求⊙O 1的面积、
【解题思路】(1)设半圆O 与直线BC 的切点为F ，连接切点与圆心，把∠BOC 分成两个角∠FOB 和∠FOC ，然后由“HL ”定理或“SSS ”定理证明Rt △AOB ≌Rt △FOB ，Rt △COD ≌Rt △COF ，得出∠BOC ＝90°、(2)由切线长定理得出∠DCO ＝∠BCO ＝30°，得出DC ＝12、过点O 1做O 1G ⊥DC ，设O 1G ＝x ，由直角三角形的性质得出O 1C ＝2O 1G ＝2x 、由两圆的连心线经过切点，得出O 1C ＝6－x ，由此构建方程2x ＝6－x ，解方程求出x 的值，然后根据圆的面积公式计算出⊙O 1的面积、
【答案】〔1〕方法一：证明：设半圆O 与BC 切于F ，连接OF 、
∵AD 是半圆O 的直径，∠BAD ＝90°，
∴AB 与半圆O 相切于点A 、
∵AB //CD ，∠BAD ＝90°，
∴∠ADC ＝90°，∴CD 于半圆O 切于D 、
∵半圆O 与BC 切于F ，
∴OF ⊥BC ，BA ＝BF ，FC ＝CD 、
在Rt △AOB 和Rt △FOB 中，
AB =BF OB =OB.⎧⎨⎩
， ∴△AOB ≌△FOB 〔HL 〕、
∴∠FOB ＝∠AOB 、
同理Rt △COD ≌Rt △COF ，
∴∠FOC ＝∠DOC 、
∴∠FOB+∠FOC ＝∠AOB+∠DOC 、
又∵∠FOB+∠FOC+∠AOB+∠DOC ＝180°，
∴∠BOC ＝∠FOB+∠FOC ＝90°，即OB ⊥OC 、
方法二：证明：设半圆O 与BC 切于F ，连接OF 、
∵AD 是半圆O 的直径，∠BAD ＝90°，
∴AB 与半圆O 相切于点A 、
∵AB //CD ，∠BAD ＝90°，
∴∠ADC ＝90°，∴CD 于半圆O 切于D 、
∵半圆O 与BC 切于F ，
∴OF ⊥BC ，即∠OFB ＝∠OFC ＝90°、
又∵OA ＝OF ＝OD ，
在Rt △AOB 和Rt △FOB 中
AO =FO OB =OB.
⎧⎨⎩， ∴Rt △AOB ≌Rt △FOB 〔HL 〕
∴∠FOB ＝∠AOB 、
同理Rt △COD ≌Rt △COF ，
∴∠FOC ＝∠DOC 、
∴∠FOB+∠FOC ＝∠AOB+∠DOC 、
又∵∠FOB+∠FOC+∠AOB+∠DOC ＝180°，
∴∠BOC ＝∠FOB+∠FOC ＝90°，即OB ⊥OC 、
(2)过点O 1做O 1G ⊥DC 、∵CD 与⊙O 1相切，∴O 1G 是⊙O 1的半径、∵∠DOB ＝60°，∴∠DCO ＝∠BCO ＝30°、∵AD ＝12，∴OD ＝6、∴OC ＝12、设O 1G ＝x ，∴O 1C ＝2x ，又O 1C ＝6－x ，∴2x ＝6－x ，解得x ＝2，即⊙O 1的半径为2、∴⊙O 1的面积为π×22＝4π、
【点评】此题主要考查了梯形、圆的有关知识的综合运用，①圆的切线经过半径的外端，且垂直于半径；②过圆心作切线的垂线段，那么垂线段等于半径；证明垂直，可以把相交成的角分成两个角，证明这两个角的和等于平角的一半，即可得证、。