湖北省孝感2015-2016学年高二下学期期末考试数学(文)试题

孝感高中2015—2016学年度高二下学期期末考试
数学（文）试题
本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：张享昌
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若(z a ai =-+为纯虚数，其中7
,1+∈+a i a R ai
则=（ ）
A ．i
B ．1
C ．i -
D ．－1
2．与极坐标2,
6π⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
不表示同一点的极坐标是（ ） A ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．112,6
π⎛⎫--
⎪⎝
⎭ D ．132,6π⎛⎫-
⎪⎝
⎭ 3．如图，ABC ∆是圆的内接三角形，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F . 在上述条件下，给出下列四个结论：
①BD 平分CBF ∠； ②2
;FB FD FA = ③;AE CE BE DE =
④AF BD AB BF =.则所有正确结论的序号是（ ） A ．①②
B ．③④
C ．①②③
D ．①②④
4．已知命题:p “存在[
)01,,x ∈+∞使得()02log 31x
≥”，则下列说法正确的是（ ） A ．p 是假命题；:p ⌝“任意[
)1,x ∈+∞，都有()2log 31x
<”
B ．p 是真命题；:p ⌝“不存在[
)01,,x ∈+∞使得()02log 31x <”
C ．p 是真命题；:p ⌝“任意[
)1,,x ∈+∞都有()2log 31x <”
D ．p 是假命题；:p ⌝“任意(),1,x ∈-∞都有()2log 31x
<”
5．设()f x 是定义在正整数集上的函数，且()f x 满足：“当()2
f k k ≥成立时，总可推出
()()2
11f k k +≥+成立”. 那么，下列命题总成立的是（ ）.
A ．若()39f ≥成立，则当1k ≥时，均有()2
f k k ≥成立
B ．若()525f ≥成立，则当5k ≤时，均有()2
f k k ≥成立.
C ．若()749f <成立，则当8k ≥时，均有()2
f k k <成立.
D ．若()425f =成立，则当4k ≥时，均有()2
f k k ≥成立.
6．已知下列四个命题：
1:p 若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥；
2:p 若()22,x x
f x -=-则()(),x R f x f x ∀∈-=-；
3:p 若()1
,1
f x x x =+
+则()()000,,1x f x ∃∈+∞=； 4:p 在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >.
其中真命题的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．对具有线性相关关系的变量,,x y 测得一组数据如下表：
x 2 4 5 6 8 y
20
40
60
70
80
根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为ˆˆ10.5y
x a =+，据此模型来预测当20x =时，y 的估计值为（ ） A ．210
B ．210.5
C ．211.5
D ．212.5
8．已知双曲线()22
2107
y x a a -
=>的一个焦点与抛物线2
116
y x =的焦点重合，则实数a =（ ） A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
9．执行如图所示的程序框图，如果输入的100N =， 则输出的x = A ．0.95
B ．0.98
C ．0.99
D ．1.00
10．在同一直角坐标系中，函数22
a y ax x =-+
与()232
2y a x ax x a a R =-++∈的图象不可能．．．
的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直
径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为（ ）
A ,
3
d B ．
,33
d d C ．
33d d D ．3
d 12．已知“整数对”按如下规律排成一列：（1,1），（1,2），（2,1），（1,3），（2,2），（3,1），（1,4），（2,3），（3,2），（4,1），……，则第60个数对是（ ） A ．（5,7）
B ．（7,5）
C ．（2,10）
D ．（10,1）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答案卡中的横线上）
13．如图，点D 在
O 的弦AB 上移动，4,AB =连接OD ，过点D 作
OD 的垂线交O 与点C ，则CD 的最大值为____________.
14．若不等式21
12222
x x a a -++≥+
+对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围为____________.
15．若函数()2sin f x x x =+任意的[]
()()2,2,30m f mx f x ∈--+<恒成立，则x 的取
值范围是_________.
16．已知抛物线()2
40x py p =>的焦点为F ，直线2y x =+与该抛物线交于,A B 两点，
M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若
()
215AF BF AF BF FN p ++=--，则p 的值为__________.
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，AB 是圆O 的直径，AC 是圆O 的切线，BC 交圆O 于点E . （1）若D 为AC 的中点，求证：DE 是圆O 的切线； （2
）若,OA =求ACB ∠的大小.
18．已知函数()3f x x x a =---. （1）当2a =时，解不等式()1
;2
f x ≤-
（2）若存在实数a ，使得不等式()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围.
19．已知直线l
的参数方程为1,12
x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
. （1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）若(),P x y 是直线l 与圆面4sin 6πρθ⎛⎫
≤- ⎪⎝
⎭
y +的取值范围.
20．设命题:p 关于x 的方程2210x mx ++=有两个不相等的正实根，命题:q 关于x 的方
程()2
223100x m x m +--+=无实根. 若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数
m 的取值范围.
21．已知12,F F 分别是椭圆2
214
x y +=的左、右焦点. （1）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，125
,4
PF PF =-
求点P 的坐标； （2）设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ，且A O B ∠为锐角
（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.
22． 已知()3
2
f x ax bx cx d =+++是定义在R 上的函数，其图象交x 轴于A B C 、、三
点，若点B 的坐标为()2,0，且()f x 在[]1,0-和[]4,5上有相同的单调性，在[]
0,2和[]4,5上有相反的单调性.
（1）求
b
a
的取值范围；
（2）在函数()f x 的图象上是否存在点()
0,0M x y ，使得曲线()y f x =在M 处的切线
的斜率为3b ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）求AC 的取值范围.
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高二数学（文）参考答案
一、选择题
题号 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C
B D
C
D
B
C
C
C
B
C
A
二、填空题 13．2
14．1[,0]2-
15．(3,1)- 16．1
2
17．（10分）（1）证明：连接,AE OE .由已知，得,AE BC AC AB ⊥⊥. 在Rt AEC ∆中，由已知得DE DC =， DEC DCE ∴∠=∠.
,90OBE OEB ACB ABC ∠=∠∠+∠=，
90DEC OEB ∴∠+∠=,
90,OED DE ∴∠=∴是圆O 的切线.
（2）解：设1,CE AE x ==
，由已知得AB BE =, 由射影定理可得：2AE CE BE =
.
2x ∴
解得60x ACB =∴∠=.
18．（12分）解：（1）当2a =时，1,2,()|3||2|52,23,1,3,x f x x x x x x ≤⎧⎪
=---=-<<⎨⎪-≥⎩
1()2f x ∴≤-等价于2,112x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩或23,1522x x <<⎧⎪⎨-≤-⎪⎩或3,
11,2
x ≥⎧⎪
⎨-≤-⎪⎩
解得
11
34x ≤<或3x ≥,∴原不等式的解集为114x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩
⎭ （2）由绝对值三角不等式可知()|3||||(3)()||3|f x x x a x x a a =---≤---=-. 若存在实数a ，使得不等式()f a a ≥成立，则|3|a a -≥，解得3
2
a ≤
， ∴实数a 的取值范围是3,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.
19．（12分）解（1）因为圆C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
,
所以2
14sin 4cos 622πρρθρθθ⎛⎫⎛
⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 又222
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==
，所以22
2x y x +=-，
所以圆C
的直角坐标方程为22
20x y x ++-=.
（2
）设z y =+.
因为圆C
的方程2220x y x ++-=
可化为22
(1)(4x y ++-=，
所以圆C
的圆心是(-，半径是2.
将1212
x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入z y =+，得z t =-. 又直线l
过(C -，圆C 的半径是2，所以22t -≤≤，
y +的取值范围是[2,2]-.
20．解：设方程2
210x mx ++=的两根分别为12,x x ，由2112
440,20m x x m ⎧∆=->⎨+=->⎩得1,m <-所
以:1p m <-；
由方程2
2(2)3100x m x m +--+=无实根，可得2
24(2)4(310)0m m ∆=---+<，知
23m -<<，所以:23q m -<<.
由p q ∨为真，p q ∧为假，可知命题,p q 一真一假，当p 真q 假时，1,
32,
m m m <-⎧⎨
≥≤-⎩或此
时2m ≤-；当p 假q 真时，1,
23,
m m ≥-⎧⎨
-<<⎩此时13m -≤<，所以m 的取值范围是2m ≤-或
13m -≤<.
21．解（1）由椭圆方程为2
214
x y +=
，知2,1,a b c ===
12(F F ∴.
设(,)(0,0)P x y x y >>
，则22125(,),)34
PF PF x y x y x y ⋅=--⋅-=+-=-，即2274
x y +=
. 又点P 在椭圆上，联立22
227,41,4
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得22
1.3.
4x y ⎧=⎪
⎨=⎪⎩ 点P
在第一象限，1,,(1,22
x y P ∴==
∴. （2）显然0x =不满足题意，可设直线l 的方程为2y kx =+，设1122(,),(,)A x y B x y .
联立2
21,42,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并整理，得22
(14)16120k x kx +++=，
1212
22
1216,1414k
x x x x k k ∴=
+=-++，且 2223
(16)4(14)120,4
k k k ∆=-+⋅>∴>.
又
AOB ∠为锐角，12120,0OA OB x x y y ∴⋅>∴+>，
1212(2)(2)0x x kx kx ∴+++>，
22
2
1212222
12164(4)(1)2()4(1)240,141414k k k x x k x x k k k k k -⎛⎫
∴++++=++-+=> ⎪+++⎝⎭
24k ∴<.
又2
2
3333,4,2,,24422k k k ⎛⎫⎛⎫>∴<<∴∈-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 22．解：（1）依题意知，函数()f x 在[1,0]-和[0,2]上有相反的单调性，所以0x =是()f x 的一个极值点，故(0)0f '=，即2320ax bx c ++=的一个解为0x =，则0c =. 此时，易得2
()320f x ax bx '=+=的另一解为2.3b
x a
=-
因为函数()f x 在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性，所以223b a -
≥且243b a
-≤，则63b a
-≤
≤-，故b
a 的取值范围为[6,3]--.
（2）假设存在点00(,)M x y ，使得曲线()y f x =在点M 处的切线的斜率为3b .则
0()3.f x b '=即2
003230ax bx b +-=.
22(2)43(3)4364(9)b
b a b b ab ab a
∆=-⨯⨯-=+=+，而
63,0b
a -≤≤-∴∆<.故不存在点00(,)M x y ，使得曲线()y f x =在点M 处的切线的斜率
为3b .
（3）依题意可令
32()(2)()()[(2)(22)2]f x a x x a x a x x x βαβαβαβαβ=---=-+++++-.
则(2),2b a d a αβαβ=-++⎧⎨=-⎩得2,2b a
d a αβαβ⎧
+=--⎪⎪⎨
⎪=-
⎪⎩
因为曲线()y f x =的图象交x 轴于点(2,0)B ，所以840a b d ++=， 即4(2)d b a =-+，于是
4(2)d b
a a
=-+
, ||||AC αβ∴=-==
==，
因为63b a
-≤
≤-，所以当6b
a =-时，||AC 取得最大值，
max ||AC =3b
a
=-时，||AC 取得最小值，
min ||3AC =.
故3||AC ≤≤。