高考数学二轮复习导数及其应用多选题复习题及解析

高考数学二轮复习导数及其应用多选题复习题及解析
一、导数及其应用多选题
1．已知偶函数()y f x =对于任意的0,
2x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式中不成立的是（ ）
A
34f ππ⎛⎫⎛⎫
-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B
34f ππ⎛⎫⎛⎫
-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．(
)04f π⎛⎫
>- ⎪⎝⎭ D
．63f ππ⎛⎫⎛⎫
<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】ABC 【分析】 构造函数()()cos f x g x x =
，结合导数和对称性可知()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
上单调递
2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，从而可判断ABD 选项，由()04g g π⎛⎫
< ⎪⎝⎭
可判断C 选项.
【详解】
因为偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
满足()()cos sin 0f x x f x x '+>， 所以构造函数()
()cos f x g x x =
，则()()2
cos sin ()0cos f x x f x x g x x
'+'=>， ∴()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，32333cos 3f g g f πππππ⎛⎫
⎪
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
4444cos 4f g g πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，666cos 6
f g f ππππ⎛⎫ ⎪
⎛⎫
⎛⎫⎝⎭== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
由函数单调性可知643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<
< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
， 对于AB
，4343f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<=- ⎪ ⎪⎛⎫-
= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪⎭⎭
⎝，故AB 错误； 对于C ，()04g g π⎛⎫<
⎪
⎝⎭
，(
)044f ππ⎛⎫⎛⎫
<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；
对于D 263f f
ππ⎛⎫
⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，即63f ππ⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故D 正确； 故选：ABC. 【点睛】
关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是利用已知条件构造对
应的新函数()
()cos f x g x x
=
，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小，考查学生的逻辑推理能力与转化思想，属于较难题.
2．关于函数()2
ln f x x x
=
+，下列判断正确的是（ ） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数y
f x
x 有且只有1个零点
C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立
D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD 【分析】
对于A ，利用导数研究函数()f x 的极值点即可； 对于B ，利用导数判断函数y f x
x 的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；
对于C ，参变分离得到22ln x
k x x <
+，构造函数()22ln x g x x x
=+，利用导数判断函数()g x 的最小值的情况；
对于D ，利用()f x 的单调性，由()()12f x f x =得到1202x x <<<，令()2
1
1x t t x =
>，由()()12f x f x =得21222
ln t x x t t
-+=，所以要证124x x +>，即证2224ln 0t t t -->，构
造函数即得． 【详解】
A ：函数()f x 的定义域为0,
，()2
2212
x f x x x x
-'=-
+=，当()0,2x ∈时，0f x
，()f x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，0f
x
，()f x 单调递增，所以
2x =是()f x 的极小值点，故A 错误．
B ：()2ln y f x x x x x
=-=+-，222212
10x x y x x x -+'=-+-=-<，所以函数在0,
上单调递减．又()112ln1110f -=+-=>，()221ln 22ln 210f -=+-=-<，所以
函数y f x
x 有且只有1个零点，故B 正确．
C ：若()f x kx >，即
2
ln x kx x +>，则22ln x k x x <+．令()22ln x g x x x
=+，则()3
4ln x x x
g x x
-+-'=
．令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1∈x 时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()130h x h ≤=-<，所以0g x
，所以()22ln x g x x x
=
+在0,上单调递减，
函数无最小值，所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错误． D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，
∴2x =是()f x 的极小值点．
∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<． 令()211x t t x =>，则21x tx =，由()()12f x f x =，得1212
22
ln ln x x x x +=+， ∴
211222ln ln x x x x -=-，即()2121212ln x x x x x x -=，即()11121ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t
-=，()2121ln t t x tx t t
-==
，所以21222
ln t x x t t
-+=．
故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证
22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t t
t t
-->． ∵2
1
1x t x =
>，则ln 0t t >， ∴证2224ln 0t t t -->．令()()2
224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，
()()()414401t H t t t t
-''=-
=>>，所以()H t '在1,上是增函数．
因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在1,上是增函数．
因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以2224ln 0ln t t t
t t
-->，
∴124x x +>，故D 正确． 故选：BD ． 【点睛】
关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值点，结合零点存在性定理判断A 、B 的正误；应用参变分离，构造函数，并结合导数判断函数的最值；由函数单调性，应用换元法并构造函数，结合分析法、导数证明D 选项结论.
3．对于函数2
ln ()x
f x x =，下列说法正确的有（ ） A ．()f x
在x =12e
B ．()f x 有两个不同的零点 C
．(2)f f f <<
D ．若2
1
()f x k x >-
在(0,)+∞上有解，则2
e k <
【答案】ACD 【分析】
利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A ；利用函数的单调性和函数值的范围判断B ；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C ；利用不等式有解问题的应用判断D ． 【详解】
函数2ln ()x f x x =，所以2
43
1ln 212ln ()(0)x x x
x x f x x x x ⨯-⨯-'==>， 令()0f x '=，即2ln 1x =
，解得x =
当0x <<()0f x '>，故()f x
在上为单调递增函数．
当x >
()0f x '<，故()f x
在)+∞上为单调递减函数．
所以()f x
在x =
1
2f e
=
，故A 正确；
当0x <<
()0f x '>，()f x
在上为单调递增函数，
因为()10f =，所以函数()f x
在上有唯一零点，
当x ≥
2ln ()0x
f x x
=
>恒成立，即函数()f x
在)
+∞上没有零点， 综上，()f x 有唯一零点，故B 错误．
由于当x >
()0f x '<，()f x
在)+∞上为单调递减函数，
因为2>>>
(2)f f f <<，故C 正确；
由于2
1()f x k x
>-
在(0,)+∞上有解，故221ln 1()x k f x x x +<+=有解， 所以2ln 1()max x k x +<，设2
ln 1()x g x x +=，则32ln 1
()x g x x --'=，
令()0g x '=
，解得x =
当x >
()0f x '<，故()f x
在)+∞上为单调递减函数．
当0x
<<
时，()0f x '>，故()f x 在上为单调递增函数． 所以()
22
max e e
g x g e ==-
=． 故2
e
k <
，故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
4．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'
()1f x f x ->，(1)3f =，则（ ）
A ．(4)(3)f ef >
B ．2(4)(2)f e f ->-
C ．3(4)41f e >-
D ．2(4)41f e -<--
【答案】ACD 【分析】
由已知构造得'
()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦
，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；
()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.
【详解】 因为当0x >时，()'
()1f
x f x ->，所以()'()10f x f x -->，即
()[]
'()+10x
f x f e x ->，所以'
()+10x x e f ⎡⎤
>⎢⎥⎣⎦
， 令()()+1x
f x
g x e =
，则当0
x >时，()'
>0g x ，函数()g x 单调递增， 所以()()4>3g g ，即43
(4)+1(3)+1
>f f e e
，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；
()()4>2g g ，即
42
(4)+1(2)+1>f f e e
，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-， 所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2
(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；
()()4>1g g ，即
4
(4)+1(1)+1>f f e e
，又(1)3f =，化简得3
(4)41f e >-，故C 正确； 由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所以2
(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD. 【点睛】
关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.
5．下列说法正确的是（ ） A ．函数(
)2
3sin 0,42f x x x x π⎛⎫
⎡⎤=+-
∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
的最大值是1 B ．函数()cos sin tan 0,tan 2x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值域为(
C ．函数()1
sin 2cos 2
f x x a x =
+⋅在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是(],1-∞- D ．函数(
)222sin 42cos tx x x
f x x x
π⎛
⎫+++ ⎪⎝⎭=
+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则1t = 【答案】ACD 【分析】
化简函数解析式为(
)2
cos 1f x x ⎛=--+ ⎝
⎭，利用二次函数的基本性质可判断A 选项的正误；令sin cos t x x =+，可得()()3
231
t t f x g t t -==-，利用导数法可判断B 选项的正
误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；计算出()()2f x f x t +-=，利用函数的对称性可判断D 选项的正误. 【详解】 A 选项，
(
)2
22
311cos cos cos 1442f x x x x x x ⎛=--=-+=--+ ⎝⎭
， 又
0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦可得：[
]cos 0,1x ∈，则当cos x =时函数()f x 取得最大值1，A 对； B 选项，()2233sin cos sin cos cos sin sin cos x x x x
f x x x x x
+∴=+=
⋅
()()22sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x
++-⋅=
⋅
()(
)2
sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x x x x x x x
⎡⎤
++-⋅⎣⎦=
⋅，
设sin cos 4t x x x π⎛
⎫=+=
+ ⎪⎝
⎭，则()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，则
21
sin cos 2
t x x -⋅=， 0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，3,
444x πππ⎛⎫∴
+∈ ⎪⎝⎭，sin 42x π⎛⎤⎛
⎫∴+∈ ⎥
⎪ ⎝
⎭⎝⎦，(t ∴∈， 令()223
2
2132311
2
t t t t t g t t t ⎛⎫
--⨯ ⎪
-⎝⎭==--，(
t ∈，()()422301t g t t --'=<-
， ()g t ∴在区间
(
上单调递减，(
)
()3
2
min 1
g t g
==
=-
所以，函数()f x 的值域为)
+∞，B 错； C 选项，
()1
sin 2cos 2
f x x a x =+⋅在区间()0,π上是增函数，
()cos2sin 0f x x a x ∴=-⋅≥'，即212sin sin 0x a x --⋅≥，
令sin t x =，(]
0,1t ∈，即2210t at --+≥，
1
2a t t ∴≤-+，令()12g t t t =-+，则()2120g t t
'=--<，()g t ∴在(]0,1t ∈递减，
()11a g ∴≤=-
，C 对；
D 选项，
(
)2
22cos 222cos tx x x x
f x x x
⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=
+ ()()
2222cos sin sin 2cos 2cos t x x t x x t x x t x x
x x
++⋅+⋅+=
=+
++， 所以，()()()()
2
2sin sin 2cos 2cos t x x t x x
f x t t x x
x x --+-=+
=-
+⋅-+-，()()2f x f x t ∴+-=，
所以，函数()f x 的图象关于点()0,t 对称，所以，22a b t +==，可得1t =，D 对. 故选：ACD.
【点睛】
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点； （4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.
6．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有
一个对称中心点()()
00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''
是
()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式
(ln 1)x e e mx x -+32()3e
f x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）
A ．3a =
B ．1b =
C ．m 的值可能是e -
D ．m 的值可能是1
e
-
【答案】ABC 【分析】
求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，
()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化
为()1ln 1
e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1e
e x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得
()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e
e x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.
【详解】
由题意可得()1112f a b -=-+-+=，
因为()2
321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，
所以()1620f a ''=-+=-，
解得3,1a b ==，故()3
2
31f x x x x =+++.
因为1x >，所以()()3
2
ln []13x
e
e
e mx x
f x x x e x -+≥--+等价于
()1ln 1
e x x e x e m x --++≤
+. 设()()10x
g x e x x =-->，则()10x
g x e '=->，
从而()g x 在()0,∞+上单调递增.
因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1e
e x x
x
x e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），
从而()1ln ln 1ln 1
e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.
故选：ABC. 【点睛】
本题解题的关键在于根据题意得()3
2
31f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化
为()1ln 1
e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得
ln ln 1e
e x x
x
x e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难
题.
7．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()
()f x f x x
'<
，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（ ）
A ．()()()1212f x x f x f x +<+
B ．()()()()21121212
x x
f x f x f x f x x x +<
+ C ．()1
1
2
2
(1)x x f f <
D ．()()()1212f x x f x f x <
【答案】ABC 【分析】
构造()()f x g x x
=，由()
()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各
选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.
【详解】 由()
()f x f x x '<知：
()()0xf x f x x
'-<， 令()
()f x g x x =
，则()()()2
0xf x f x g x x '-='<， ∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即
122112121212()()()()
0()
g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--
当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >； A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有
1
12112
()()x f x x f x x x +<+，
2
12212
()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+； B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有
()()()()21121212
x x
f x f x f x f x x x +<
+； C ：由1
21x >，所以11
1
(2)(1)(2)(1)21
x x x f f g g =<=，整理得()
11
22(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211
x x =
，1211
1()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，
有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小. 故选：ABC 【点睛】
思路点睛：由()
()f x f x x '<
形式得到
()()0xf x f x x
'-<， 1、构造函数：()()f x g x x =
，即()()
()xf x f x g x x
'-'=
. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.
3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.
8．对于函数2ln ()x
f x x
=，下列说法正确的是（ ） A ．()f x
在x =12e
B ．()f x 有两个不同的零点 C
．
f
f f <<
D ．若()21
f x k x
<-
在()0,∞+上恒成立，则2
e k >
【答案】ACD 【分析】
求得函数的导数3
12ln ()-'=
x
f x x ，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A 正确；根据函数的单调性和()10f =
，且x >
()0f x >，可判定B 不正确；
由函数的单调性，得到f f >
，再结合作差比较，得到f f >，可判定C 正确；分离参数得到()22
1ln 1x k f x x x +>+
=在()0,∞+上恒成立，令()2
ln 1
x g x x
+=
，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】
由题意，函数2
ln ()x f x x
=
，可得312ln ()(0)x
f x x x -'=>，
令()0f x '=，即3
12ln 0x
x -=，解得x =
当0x <<()0f x '>，函数()f x 在上单调递增；
当x >
()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，
所以当x =
()f x 取得极大值，极大值为1
2f e
=
，所以A 正确； 由当1x =时，()10f =，
因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，
当x >
()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，
综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；
由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，
由于ln ln 2ln ,242f f π
ππ
=
===
，
则2ln ln 2ln ln 22444f f π
πππππ
-=-=-
，
因为22ππ>，所以0f f ->，即f f >，
所以f
f f <<，所以C 正确；
由()2
1f x k x <-在()0,∞+上恒成立，即()
221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立， 设()2ln 1x g x x +=，则()
3
2ln 1
x g x x --'=， 令()0g x '=，即
3
2ln 1
0x x --=，解得x =
所以当0x
<<()0g x '>，函数()g x 在上单调递增； 当x
>
()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减， 所以当x
=()g x 取得最大值，最大值为
22e e
g e =-=， 所以2
e
k >
，所以D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把
问题转化为函数的最值问题．
9．已知函数()e sin x
f x a x =+，则下列说法正确的是（ ）
A ．当1a =-时，()f x 在0,
单调递增
B ．当1a =-时，()f x 在()()
0,0f 处的切线为x 轴
C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<
D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】AC 【分析】
结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】
对于A ，当1a =-时，()e sin x
f x x =-，()e cos x
f x x '=-，
因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1x
x >≤，即0f
x
，所以()f x 在0,
上单调递
增，故A 正确；
对于B ，当1a =-时，()e sin x
f x x =-，()e cos x
f x x '=-，则
()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线
方程为1y =，故B 错误；
对于C ，当1a =时，()e sin x
f x x =+，()e cos x
f x x '+=，()e sin x
f x x '=-'，
当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0x
x f x -'=>'恒成立，即
()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，
又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫
'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
+>，
3π3π443π3πe cos e 442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-
⎭+，因为1
2
3π3π
421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭
< ⎝，所以
3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭
<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '
=成立，
所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，
由()000e cos 0x
f x x +'==，可得
()
000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛
⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，
因为03ππ,4
2x ⎛⎫
∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则
(
)00π4f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭()1,0∈-，故C 正确；
对于选项D ，()e sin x
f x a x =+，()π,x ∈-+∞，
令()e sin 0x
f x a x =+=，得1sin e
x x
a -
=， ()sin e
x x
g x =，()π,x ∈-+∞，则(
)πcos sin 4e e x x
x x x g x ⎛
⎫- ⎪-⎝⎭'==， 令0g x ，得πsin 04x ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，
令0g x
，得πsin 04x ⎛
⎫-> ⎪⎝
⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函
数()g x 单调递减， 令0g x
，得πsin 04x ⎛
⎫-< ⎪⎝
⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函
数()g x 单调递增， 所以5π
2π4
x k =+
()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π
2π2π44
5π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛
⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ， 在()g x 的极小值中，3π
4
sin 3π45π
5π42π4e
g g -
⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪
⎝
⎭
⎝
+⎭
-最小，
当3ππ,4x ⎛⎫
∈--
⎪⎝⎭
时，()g x 单调递减，所以函数()g x
的最小值为3π
3π4
4
5πsin 3π144e
g -
-⎛⎫-==- ⎪⎝⎭
，
当3π4
11a
--
<-
时，即3π40a -
<<
时，函数()g x 与1
=-
y a
无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.
故选：AC. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.
10．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是（ ）. A ．2- B ．1-
C ．0
D ．1
【答案】ABC 【分析】
将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭
，.当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x
F x x x x x
=++>，利用导数法研究其最小值即可. 【详解】
因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立， 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫
<
++ ⎪⎝⎭
，当1x >时，恒成立， 令()()3ln ln 1x
F x x x x x
=++>， 则()222
131ln 2ln x x x F x x x x x ---'=
-+=. 令()ln 2x x x ϕ=--， 因为()1
0x x x
ϕ-'=
>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增. 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ， 于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()0
00min 00
ln 3ln x F x F x x x x ==++.（*） 因为()1ln 3309F -'=
<，()()21ln 22ln 4401616
F --'==>，
所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=， 将00ln 2x x =-代入（*）式， 得()()0000min 000
231
21x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈. 因为00
1
1t x x =+-在()3,4上为增函数， 所以713,34t ⎛⎫∈
⎪⎝⎭，即()min 1713,41216F x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
因为k 为整数，所以0k ≤. 故选：ABC
【点睛】
本题主要考查函数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.。