江苏省南京市2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题含解析

江苏省南京市2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为
0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
【答案】B 【解析】 【分析】
计算出样本在[)2060,的数据个数，再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果. 【详解】
由题意可知，样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=， 样本在[)20,40的数据个数为459+=，
因此，样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915-=. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
2．已知随机变量X 的分布列是
X
1
2 3
P
12
13
a
则()2E X a +=（ ） A ．
53
B ．
73
C ．
72
D ．
236
【答案】C 【解析】 【分析】
利用分布列求出a ，求出期望()E X ，再利用期望的性质可求得结果. 【详解】
由分布列的性质可得
11123
a ++=，得16a =，所以，()11151232363E X =⨯+⨯+⨯=，
因此，()()11517222266362
E X a E X E X ⎛
⎫+=+=+=⨯+= ⎪⎝
⎭. 故选：C. 【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查．
3．己知集合{|13}M y y =-<<，{|(27)0}N x x x =-…，则M N ⋃=（ ） A ．[0,3) B ．70,2⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．71,2⎛⎤- ⎥⎝⎦
D ．∅
【答案】C 【解析】 【分析】
先化简7{|(27)0}|02N x x x x x ⎧
⎫=-=⎨⎬⎩
⎭剟?，再求M N ⋃.
【详解】
因为7{|(27)0}|02N x x x x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩
⎭
剟
?， 又因为{|13}M y y =-<<， 所以71,2
M N ⎛⎤⋃=- ⎥⎝
⎦
，
故选：C. 【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题.
4．已知函数()3
2,0
log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩
，则
=f f ⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（ ） A
B ．
12
C ．3log 2-
D ．3log 2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据分段函数解析式，先求得f ⎝⎭
的值，再求得f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭的值.
【详解】
依题意1
2
331log log 32f -===-⎝⎭
，1
21222f f f -⎛
⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题. 5．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛
⎫⎡⎤=-
∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（ ）
A ．
503
π
B ．21π
C ．
1003
π
D ．42π
【答案】C 【解析】 【分析】 令()26
2x k k Z π
π
π-
=
+∈，求出在130,3⎡⎤
π⎢⎥⎣⎦
的对称轴，由三角函数的对称性可得122315232,2,...,2366
n n x x x x x x -πππ+=
⨯+=⨯+=⨯，将式子相加并整理即可求得123122...2n n x x x x x -+++++的值.
【详解】 令()26
2
x k k Z π
π
π-
=
+∈，得()123x k k Z π=
π+∈，即对称轴为()123
x k k Z π
=π+∈. 函数周期T π=，令
113233k ππ+=π，可得8k =.则函数在130,3x ⎡⎤
∈π⎢⎥⎣⎦
上有8条对称轴. 根据正弦函数的性质可知122315232,2,...,2366
n n x x x x x x -πππ
+=⨯+=⨯+=⨯， 将以上各式相加得：
12312582322...2...26666n n x x x x x -ππππ⎛⎫+++++=++++⨯ ⎪
⎝⎭()2238100323
+⨯ππ=⨯= 故选:C. 【点睛】
本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为1223341...n n x x x x x x x x -++++++++的形式. 6．已知函数332sin 2044
y x x ππ
⎛
⎫⎛⎫
=+
<< ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
的图像与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分
别为12,x x ，则12x x +=（ ） A ．
34
π B ．
23
π C ．
3
π D ．
6
π 【答案】A 【解析】 【分析】
画出函数332sin 2044y x x ππ
⎛⎫⎛⎫
=+<< ⎪⎪
⎝
⎭⎝⎭
的图像，函数对称轴方程为82k x ππ=-+，由图可得1x 与2x 关于38
x π
=
对称，即得解. 【详解】
函数332sin 2044
y x x ππ
⎛⎫⎛⎫
=+
<< ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
的图像如图，
对称轴方程为32()42
x k k Z ππ
π+
=+∈， ()8
2
k x k Z π
π
∴=-
+
∈， 又330,48
x x ππ<<
∴=Q ， 由图可得1x 与2x 关于38
x π
=
对称， 1233284
x x ππ∴+=⨯
= 故选：A 【点睛】
本题考查了正弦型函数的对称性，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 7．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2x
f x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等
式()212f x -<-<的解集是（ ） A ．()0,2 B ．()2,2-
C ．()1,1-
D ．()1,3
【答案】A 【解析】 【分析】
先根据奇函数求出m 的值，然后结合单调性求解不等式. 【详解】
据题意，得()010f m =+=，得1m =-，所以当0x ≥时，()21x
f x x =+-.分析知，函数()f x 在R
上为增函数.又()12f =，所以()12f -=-.又()212f x -<-<，所以111x -<-<，所以02x <<，故选A. 【点睛】
本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.
8．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线
C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A B 1
C D 1
【答案】D 【解析】 【分析】
根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k 的值，设出双曲线方程，求得2a ＝丨AF 2
丨﹣丨AF 11）p ，利用双曲线的离心率公式求得e ． 【详解】
直线F 2A 的直线方程为：y ＝kx 2p -
，F 1（0，2
p ），F 2（0，2p -）， 代入抛物线C ：x 2＝2py 方程，整理得：x 2﹣2pkx+p 2＝0， ∴△＝4k 2p 2﹣4p 2＝0，解得：k ＝±1，
∴A （p ，2p ），设双曲线方程为：22
22y x a b
-=1，
丨AF 1丨＝p ，丨AF 2丨=
=，
2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（ 1）p ，
2c ＝p ，
∴离心率e 221
c a ===+-1， 故选：D ． 【点睛】
本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．
9．如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点， 点P 关于直线OB 的
对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将OP OP '-u u u r u u u r
表示为x 的函数()f x ，则()
y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解. 【详解】
由题意，当0x =时，P 与A 重合，则P '与B 重合，
所以||2OP OP BA '-==u u u r u u u r u u u r
,故排除C,D 选项；
当02x π
<<时，||2sin()2cos 2
OP OP P P x x π
''-==-=u u u r u u u r ，由图象可知选B. 故选：B 【点睛】
本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.
10．已知定义在R 上的函数()2x
f x x =⋅，3(lo
g a f =，31(log )2
b f =-，(ln 3)
c f =，则a ，b ，
c 的大小关系为（ ）
A ．c b a >>
B ．b c a >>
C ．a b c >>
D ．c a b >>
【答案】D 【解析】 【分析】
先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)b f =，
比较33log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，比较出三个数,,a b c 的大小. 【详解】
当0x >时，'()22()2ln 220x
x x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为
()2
2()x
x f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有
33311
(log )(log )(log 2)22
b f f f =-=-=，因为33log lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，
是增函数，所以c a b >>，故本题选D. 【点睛】
本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键. 11．已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=+><<
⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，
且满足()()f x f x ϕϕ+=-，则要得到函数()f x 的图像，可将函数()sin g x x ω=的图像（ ） A ．向左平移12
π
个单位长度 B ．向右平移12
π
个单位长度
C ．向左平移512π
个单位长度 D ．向右平移
512
π
个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】
依题意可得2ω=，且x ϕ=是()f x 的一条对称轴，即可求出ϕ的值，再根据三角函数的平移规则计算可得； 【详解】
解：由已知得2ω=，x ϕ=是()f x 的一条对称轴，且使()f x 取得最值，则3πk ϕ=，π3
ϕ=
，π5ππ()cos 2cos 23122f x x x ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦，π()sin 2cos 22g x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，
故选：C. 【点睛】
本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题. 12．若集合}
{
}{2,33A x y x B x x ==-=-≤≤，则A B =I （ ）
A ．[]3,2-
B ．{}
23x x ≤≤ C ．()2,3 D ．{}
32x x -≤<
【答案】A 【解析】 【分析】
先确定集合A 中的元素，然后由交集定义求解． 【详解】
{}
{}{}22,33A x y x x x B x x ==-=≤=-≤≤Q ，{}32x x ∴A⋂B =-≤≤.
故选：A ． 【点睛】
本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．记实数12,,,n x x x L 中的最大数为{}12max ,,,n x x x L ，最小数为{}12min ,,,n x x x L .已知实数1x y 剟
且三数能构成三角形的三边长，若11max ,
,min ,,x x t y y x y x y ⎧⎫⎧⎫
=⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
，则t 的取值范围是 . 【答案】15
[1,)2
+ 【解析】
试题分析：显然，又，
①当时，，作出可行区域，因抛物线与直线及在第一象限
内的交点分别是（1，1）和，从而
②当时，，作出可行区域，因抛物线与直线及在第一象限
内的交点分别是（1，1）和，从而
综上所述，t 的取值范围是．
考点：不等式、简单线性规划.
14．已知向量a r ，b r 满足||2a =r ，||3b =r ，且已知向量a r ，b r 的夹角为60︒，()()0a c b c --=r r r r
g
，则||c r 的最小值是__． 【答案】197
- 【解析】
【分析】
求||c r
的最小值可以转化为求以AB 为直径的圆到点O 的最小距离，由此即可得到本题答案. 【详解】
如图所示，设,,OA a OB b OC c ===u u u r u u u r u u u r r r r
，
由题，得,||2,||3,,,23cos6033
AOB OA OB CA a c CB b c a b π︒∠=
===-=-⋅=⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r r r
r r r r ，
又()()0a c b c -⋅-=r
r r
r
，所以CA CB ⊥u u u r
u u u r
，则点C 在以AB 为直径的圆上，
取AB 的中点为M ，则1()2
OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r
，
设以AB 为直径的圆与线段OM 的交点为E ，则||c r
的最小值是||OE uuu r ，
因为22211119
||()24239422OM OA OB OA OA OB OB =
+=+⋅+=+⨯+=
u u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 又221
2cos 604922372
AB OA OB OA OB ︒=+-⋅⋅=
+-⨯⨯⨯
=， 所以||c r 的最小值是1
197
||2
OE OM ME OM AB -=-=-=
u u u r
【点睛】
本题主要考查向量的综合应用问题，涉及到圆的相关知识与余弦定理，考查学生的分析问题和解决问题的能力，体现了数形结合的数学思想.
15．曲线()4x
f x x e =-在点()()
0,0f 处的切线方程为________.
【答案】310x y --= 【解析】 【分析】
求导，得到()0f '和()0f ，利用点斜式即可求得结果. 【详解】
由于()01f =-，()4x
f x e '=-，所以()0413f '=-=，
由点斜式可得切线方程为310x y --=. 故答案为：310x y --=. 【点睛】
本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属基础题. 16．若0,0x y >>，且21
1x y
+=，则2x y +的最小值是______. 【答案】8 【解析】 【分析】
利用1的代换，将2x y +写成()212x y x y ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
，然后根据基本不等式求解最小值. 【详解】
因为()2142248y x
x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥ ⎪
⎝⎭（2x y =即42x y =⎧⎨=⎩
取等号）， 所以最小值为8. 【点睛】
已知a b
c x y
+=，求解mx ny +（0a b c m n >、、、、 ）的最小值的处理方法：利用
1a b cx cy +=，得到()()a b
mx ny mx ny cx cy
+=++，展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图,设点2(1,0)F 为椭圆22
22:
1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点，圆222:(),C x a y a -+=过2F 且斜率
为(0)k k >的直线l 交圆C 于,A B 两点，交椭圆E 于点,P Q 两点，已知当3k =
时，2 6.AB =
（1）求椭圆E 的方程.
（2）当210
3
PF =时，求PQC ∆的面积. 【答案】（1）22
198x y +=（2）
409
【解析】 【分析】
（1）先求出圆心(),0C a 到直线l 的距离为()
2
33
31
a d -=
+26AB =()2
23164
a a -+
=，
解之即得a 的值，再根据c=1求出b 的值得到椭圆的方程.(2)先求出81,3P ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭，716,39Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，再求得PQC ∆的面积()
2140
29
Q P S CF y y =⋅-=.
【详解】
(1)因为直线l 过点()21,0F ，且斜率3k =
所以直线l 的方程为)31y x =-330x y -=，
所以圆心(),0C a 到直线l 的距离为()
2
33
31
a d -=
+
又因为26AB =C 的半径为a ，
所以2
22
2AB d a ⎛⎫+= ⎪
⎝⎭，即()2
23164
a a -+=， 解之得，3a =或9a =-（舍去）. 所以2228
b a
c =-=，
所以所示椭圆E 的方程为22
198
x y += .
(2)由(1)得，椭圆的右准线方程为:9m x =，离心率1
3
c e a =
=， 则点P 到右准线的距离为
21031013
PF d e
===， 所以910P x -=，即1P x =，把1P x =-代入椭圆方程22
198
x y +=得，83P y =±，
因为直线l 的斜率0k >， 所以83P y =-
，81,3P ⎛
⎫∴-- ⎪⎝
⎭
因为直线l 经过()21,0F 和81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭
， 所以直线l 的方程为()4
13
y x =
-， 联立方程组()22
41,3
1,9
8y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得23470x x --=， 解得1x =-或7
3
x =， 所以716,39Q ⎛⎫
⎪⎝
⎭， 所以PQC ∆的面积()21116840
222939
Q P S CF y y ⎛⎫=⋅-=⨯⨯+= ⎪⎝⎭. 【点睛】
本题主要考查直线和圆、椭圆的位置关系，考查椭圆的方程的求法，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 18．已知,a b 都是大于零的实数．
（1）证明22
a b a b b a
++…；
（2）若a b >，证明2
3
14()
a a
b a a b +
+>-． 【答案】（1）答案见解析．（2）答案见解析 【解析】
【分析】
（1）利用基本不等式可得22
2,2a b b a a b b a
++厖，两式相加即可求解.
（2）由（1）知222
()b b a b a b a b ab a a ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭
…，代入不等式，利用基本不等式即可求解.
【详解】
（1）22
2,2a b b a a b b a ++厖
两式相加得22
b a a b a b
++…
（2）由（1）知222
()
b b a b a b a b ab a a ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭
…
于是，22
331()1()()
a b a b a a ab b a a b a b a a b -++
+++--… 23()1()a b a b ab b a a a b ⎛⎫-⎛
⎫=+++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
22a b
b a
+…4>．
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题. 19．已知函数2()2ln =-f x x x x ，函数2()(ln )=+-a
g x x x x
，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且()02g x =.
（1）讨论()f x 的单调性 （2）求实数0x 和a 的值
（3
）证明
()*
1
1
ln(21)2
=>
+∈n
k n n N
【答案】（1）()f x 在区间()0,∞+单调递增；（2）01,1x a ==；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）求出()'f x ，在定义域内，再次求导，可得在区间()0,∞+上()'0f x ≥恒成立，从而可得结论；（2）
由()'0g x =，可得20002ln 0x x x a --=，由()02g x =可得()2
20000ln 20x x x x a --+=，联立解方程
组可得结果；（3）由（1）知()2
2ln f x x x x =-在区间()0,∞+ln x
>，取
*21,21k x k N k +=
∈-ln(21)ln(21)k k >+--，而
=，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.
【详解】
（1）由已知可得函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()22ln 2f x x x '
=--，
令()()'h x f x =，则有()21'()x h x x
-=
，由()'0h x =，可得1x =，
可知当x 变化时，()()',h x h x 的变化情况如下表：
()()10h x h ∴≥=，即()'0f x ≥，可得()f x 在区间()0,∞+单调递增；
（2）由已知可得函数()g x 的定义域为()0,∞+，且22ln ()1a x g x x x
'
=-
-， 由已知得()'0g x =，即2
0002ln 0x x x a --=，①
由()02g x =可得，()2
2
0000ln 20x x x x a --+=，②
联立①②，消去a ，可得()2
0002ln 2ln 20x x x ---=，③ 令2
()2(ln )2ln 2t x x x x =---，则2ln 22(ln 1)
'()2x x x t x x x x
--=-
-=， 由（1）知，ln 10x x --≥，故()'0t x ≥，()t x ∴在区间()0,∞+单调递增， 注意到()10t =，所以方程③有唯一解01x =，代入①，可得1a =，
01,1x a ∴==；
（3）证明：由（1）知()2
2ln f x x x x =-在区间()0,∞+单调递增，
故当()1,x ∈+∞时，()()11f x f >=，222
2ln 1()1
()0x x x f x g x x x
'
---==>， 可得()g x 在区间()1,+∞单调递增，
因此，当1x >时，()()12g x g >=，即21(ln )2x x x +->
，亦即2
2
(ln )x x x ⎛-> ⎪⎝
⎭， 这时0,ln 0x x x
-
>>，故可得ln x x x ->，取*21
,21k x k N k +=∈-， 可得
2121
ln(21)ln(21)2121k k k k k k +-->+---+，而22121212141
k k k k k +--=-+-， 故
2
11
(ln(21)ln(21))ln(21)41n
k n
k k k k π==>+--=+-∑
∑
21
1
ln(21)()2
41n
i x n N k *=∴>+∈-∑
.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明. 20．如图，点T 为圆O ：2
2
1x y +=上一动点，过点T 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ，
连接BA 延长至点P ，使得BA AP =u u u r u u u r
，点P 的轨迹记为曲线C .
（1）求曲线C 的方程；
（2）若点A ，B 分别位于x 轴与y 轴的正半轴上，直线AB 与曲线C 相交于M ，N 两点，且1AB =，试问在曲线C 上是否存在点Q ，使得四边形OMQN 为平行四边形，若存在，求出直线l 方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1）2
214
x y +=（2）不存在；详见解析
【解析】 【分析】
（1）设0(T x ，0)y ，(,)P x y ，通过BA AP =u u u r u u u r
，即A 为PB 的中点，转化求解，点P 的轨迹C 的方程．
（2）设直线l 的方程为y kx t =+，先根据||1AB =，可得2
221t t k
+=，①，再根据韦达定理，点在椭圆
上可得22441t k =+，②，将①代入②可得42410k k ++=，该方程无解，问题得以解决 【详解】
（1）设(),P x y ，()00,T x y ，则()0,0A x ，()00,B y ， 由题意知BA AP =u u u r u u u r
，所以A 为PB 中点，
由中点坐标公式得002
02
x x y y ⎧
=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，
又点T 在圆O ：2
2
1x y +=上，故满足2
2
001x y +=，得2
214
x y +=.
∴曲线C 的方程2214
x y +=. （2）由题意知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y kx t =+，
因为1AB OT ==，故2
2
1t t k ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
，即2221t t k +=①，
联立22
14
y kx t
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()
222418410k x ktx t +++-=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，
122841kt x x k +=-+，()21224141
t x x k -=+，
()1212282241kt y y k x x t k t k ⎛
⎫+=++=-+ ⎪+⎝⎭2241t k =+，
因为四边形OMQN 为平行四边形，故22
82,4141kt t Q k k ⎛
⎫- ⎪++⎝⎭
， 点Q 在椭圆上，故2
22282411441kt t k k ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭+= ⎪
+⎝⎭
，整理得22441t k =+②，
将①代入②，得42410k k ++=，该方程无解，故这样的直线不存在. 【点睛】
本题考查点的轨迹方程的求法、满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，考查数学转化思想方法，
21．在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为22
x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2
6(cos sin )14ρρθθ=+-. （1）写出圆C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，()2,0P ，求2
2
||||PA PB +的值.
【答案】（1）22
(3)(3)4x y -+-=；（2）20 【解析】 【分析】
（1）利用cos ,sin x y ρθρθ==即可得到答案；
（2）利用直线参数方程的几何意义，()2
2
2
22
1212122PA PB t t t t t t +=+=+-.
【详解】
解：（1）由2
6(cos sin )14ρρθθ=+-，得圆C 的直角坐标方程为
226614x y x y +=+-，即22(3)(3)4x y -+-=.
（2）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，
得22(
1)(3)422
--=+，
即260t -+=，设两交点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，
从而12t t +=，126t t =
则()2
2
2
22
1212122321220P PB t t t t t t A +=+=+-=-=.
【点睛】
本题考查了极坐标方程与普通方程的互化、直线参数方程的几何意义等知识，考查学生的计算能力，是一道容易题.
22．已知函数()2121f x x x =-++，记不等式()4f x <的解集为M . （1）求M ；
（2）设,a b M ∈，证明：10ab a b --+>. 【答案】（1）{}|11x x -<<；（2）证明见解析 【解析】
（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集M . （2）将不等式坐标因式分解，结合（1）的结论证得不等式成立. 【详解】
（1）解：()14,2112,2214,2x x f x x x x ⎧
-≤-⎪⎪
⎪
=-<<⎨⎪
⎪≥⎪⎩
，
由()4f x <，解得11x -<<， 故{}|11M x x =-<<.
（2）证明：因为,a b M ∈，所以1a <，1b <， 所以()()()1110ab a b a b -++=-->，
所以10ab a b --+>. 【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题. 23．已知函数()ln f x x =．
（1）求函数()()1g x f x x =-+的零点； （2）设函数()f x 的图象与函数1
a y x x
=+
-的图象交于()11A x y ，，()()1112B x y x x <，两点，求证：121a x x x <-；
（3）若0k >，且不等式()()()2
211x f x k x --≥对一切正实数x 恒成立，求k 的取值范围．
【答案】 (1)x=1 (2)证明见解析 (3) 02k <… 【解析】 【分析】
（1）令()1g x lnx x =-+，根据导函数确定函数的单调区间，求出极小值，进而求解； （2）转化思想，要证1a x < 21x x -，即证1x 212121(1)lnx lnx x x x x --<-g 21x x -，即证2112
()1x x
ln x x >-，构造
函数进而求证；
（3）不等式22(1)()x lnx k x --… 对一切正实数x 恒成立，222(1)
(1)(1)(1)[]1
k x x lnx k x x lnx x ----=--+Q ，设(1)
()1
k x h x lnx x -=-
+，分类讨论进而求解．
解：（1）令()1g x lnx x =-+，所以11()1x
g x x x
-'=
-=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在(0,1)上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在(1,)+∞单调递减； 所以()()10min g x g ==，所以()g x 的零点为1x =．
（2）由题意Q 111
22211
a lnx x x a lnx x x ⎧
=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩
， 211221
(1)lnx lnx a x x x x -∴=-
-g ， 要证121a x x x <- 21x x -，即证21
1212121
(1)lnx lnx x x x x x x x --<--g
，即证2112()1x x ln x x >-，
令2
11x t x =
>，则11lnt t >-，由（1）知1lnx x -…，当且仅当1x =时等号成立，所以111ln t t
<-， 即1
1lnt t
>-，所以原不等式成立．
（3）不等式22(1)()x lnx k x --…
对一切正实数x 恒成立， 222(1)
(1)(1)(1)[]1
k x x lnx k x x lnx x ----=--
+Q ， 设(1)
()1k x h x lnx x -=-+，222122(1)1()(1)(1)k x k x h x x x x x +-+'=-=++，
记2()2(1)1x x k ϕ=+-+，△24(1)44(2)k k k =--=-，
①当△0…时，即02k <…时，()0h x '…
恒成立，故()h x 单调递增． 于是当01x <<时，()()10h x h <=，又210x -<，故22(1)(1)x lnx k x ->-， 当1x >时，()()10h x h >=，又210x ->，故22(1)(1)x lnx k x ->-， 又当1x =时，22(1)(1)x ln k x -=-，
因此，当02k <…时，22(1)(1)x lnx k x --…
， ②当△0>，即2k >时，设22(1)10x k x +-+=的两个不等实根分别为3x ，434()x x x <， 又()1420k ϕ=-<，于是3411x k x <<-<，
故当(1,1)x k ∈-时，()0h x '<，从而()h x 在(1,1)k -单调递减；
当(1,1)x k ∈-时，()()10h x h <=，此时210x ->，于是2(1)()0x h x -<， 即22(1)(1)x lnx k x -<- 舍去，
综上，k 的取值范围是02k …． 【点睛】
（1）考查函数求导，根据导函数确定函数的单调性，零点；（2）考查转化思想，构造函数求极值；（3）考查分类讨论思想，函数的单调性，函数的求导；属于难题.。