河南省洛阳市第二外国语学校高三高考数学闯关密练特训《圆的方程新》试题含答案

1。

（2011·广州检测)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2）的圆的方程为( ）
A．x2＋（y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．（x－1）2＋(y－3）2＝1 D．x2＋（y－3)2＝1
[答案］A
[解析］设圆心坐标为(0,b),则由题意知
错误!＝1，解得b＝2,
故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
2．(文）(2011·广东文,8）设圆C与圆x2＋（y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切,则圆C的圆心轨迹为( )
A．抛物线B．双曲线
C．椭圆D．圆
[答案] A
[解析] 动圆圆心C到定点（0,3)的距离与到定直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的定义，故选A。

(理）（2011·广州模拟)动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B（3,0)连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3）2＋y2＝1
C．（2x－3)2＋4y2＝1 D．（x＋错误!）2＋y2＝错误!
[答案］C
［解析] 设中点M(x，y)，则点A(2x－3,2y），
∵A在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3）2＋(2y)2＝1,
即(2x－3)2＋4y2＝1，故选C.
3．方程（x2＋y2－4)错误!＝0表示的曲线形状是( ）
[答案］C
[解析] 注意到方程(x2＋y2－4)错误!＝0等价于①错误!或②x＋y＋1＝0。

①表示的是不在直线x＋y＋1＝0的左下方且在圆x2＋y2＝4上的部分；②表示的是直线x＋y＋1＝0。

因此，结合各选项知，选C。

4．(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考）圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线3x＋4y＋5＝0的距离最大值是a，最小值是b,则a＋b＝（）
A。

错误!B。

错误!
C.6
5
D．5
[答案] B
[解析] 圆心C（1，1)到直线3x＋4y＋5＝0距离d＝错误!，∴a ＋b＝错误!＋错误!＝错误!（r为圆的半径）．
5．(2012·福州八县联考)已知函数f(x）＝错误!，x∈［1,2]，对于满足1〈x1〈x2<2的任意x1、x2，给出下列结论：
①f（x2)－f（x1）〉x2－x1；
②x2f(x1）>x1f（x2)；
③(x2－x1)［f(x2）－f（x1)］<0；
④(x2－x1）[f(x2）－f（x1）]>0.
其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案］B
［解析] 曲线y＝错误!，x∈[1，2]表示圆（x－1）2＋y2＝1,位于直线x＝1右侧x轴上方的四分之一个圆，∵1〈x1〈x2〈2，∴f(x1）〉f（x2)．因此，(f(x2)－f（x1))（x2－x1)<0，④错,③对；显然有k OA>k OB，∴错误!〉错误!,∴x2f(x1）>x1f（x2），故②正确；又k AB＝错误!〈0,可能有k AB<－1，也可能k AB>－1,∴①错．
6．（文)（2011·日照模拟）圆心在曲线y＝错误!(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )
A．（x－1)2＋（y－3)2＝(错误!)2
B．(x－3)2＋(y－1)2＝（错误!)2
C．(x－2)2＋(y－错误!）2＝9
D．(x－错误!）2＋(y－错误!)2＝9
[答案] C
［解析］设圆心坐标为（a，错误!）(a〉0）,
则圆心到直线3x＋4y＋3＝0的距离d＝错误!＝错误!(a＋错误!＋1)≥
错误!（4＋1)＝3，等号当且仅当a＝2时成立．
此时圆心坐标为（2，错误!），半径为3,故所求圆的方程为
（x－2）2＋(y－错误!)2＝9。

（理)(2011·西安模拟)若直线ax＋2by－2＝0（a>0，b>0）始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长,则错误!＋错误!的最小值为（) A．1 B．5
C．4错误!D．3＋2错误!
[答案] D
［解析] 由条件知圆心C(2,1）在直线ax＋2by－2＝0上，∴a ＋b＝1,
∴错误!＋错误!＝(错误!＋错误!)(a＋b)
＝3＋错误!＋错误!≥3＋2错误!,
等号在错误!＝错误!，即b＝2－错误!，a＝错误!－1时成立．
7．设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为________．[答案] (x＋3)2＋（y－4）2＝4(x≠－错误!且x≠－错误!)
［解析]
如图所示，设P（x，y）,
N(x0,y0)，则线段OP的中点坐标为（x
2
，错误!)，线段MN的中点
坐标为（x0－3
2
，错误!)．由于平行四边形的对角线互相平分，
故x
2
＝错误!，错误!＝错误!.
从而错误!.
因为N（x＋3，y－4)在圆上，故（x＋3)2＋(y－4）2＝4.
因此所求轨迹为圆：（x＋3）2＋（y－4）2＝4，但应除去两点（－
错误!，错误!）和(－错误!,错误!）（点P在直线OM上时的情况)．8．(2011·南京模拟）已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y ＝0内的一点,那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．[答案］x＋y－1＝0
[解析] 过点M的最短的弦与CM垂直,圆C:x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C（2,1）,
∵k CM＝错误!＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1（x－1），即x＋y－1＝0.
9．(文）已知圆心在x轴上，半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切,则圆O的方程是________．
[答案] (x＋2)2＋y2＝2
[解析] 设圆的方程为(x－a）2＋y2＝2(a<0）,由条件得错误!＝错误!，∴｜a|＝2，又a〈0，∴a＝－2.
(理)(2012·石家庄一模)已知动圆的圆心C在抛物线x2＝2py （p>0）上，该圆经过点A(0,p)，且与x轴交于两点M、N，则sin ∠MCN的最大值为________．
[答案] 1
[解析］当圆心C的纵坐标为p时,C(错误!p，p）为圆心的圆方程为(x－错误!p)2＋(y－p)2＝2p2，令y＝0得，x＝错误!p±p，∴MC⊥NC,∴sin∠MCN＝1.
10．（文）已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A（3，5)，求：
(1)过点A的圆的切线方程；
（2)O点是坐标原点，连结OA,OC，求△AOC的面积S。

［解析］（1）⊙C：(x－2)2＋(y－3）2＝1.
当切线的斜率不存在时，过点A的直线方程为x＝3，C(2，3）到直线的距离为1，满足条件．
当k存在时，设直线方程为y－5＝k（x－3)，
即kx－y＋5－3k＝0，由直线与圆相切得，
错误!＝1，∴k＝错误!。

∴直线方程为x＝3或y＝错误!x＋错误!.
（2)|AO|＝错误!＝错误!，
直线OA：5x－3y＝0，
点C到直线OA的距离d＝错误!,
S＝错误!·d·｜AO|＝错误!。

(理)（2011·兰州一诊)已知圆M过两点C（1,－1），D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
（2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．[解析］（1)设圆M的方程为：
（x－a）2＋(y－b)2＝r2（r〉0）．
根据题意，得错误!
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圆M的方程为（x－1)2＋(y－1)2＝4。

(2)因为四边形PAMB的面积
S＝S△PAM＋S△PBM
＝错误!|AM|·｜PA|＋错误!｜BM|·|PB｜，
又|AM｜＝|BM|＝2，｜PA|＝｜PB｜,所以S＝2|PA｜,
而｜PA|＝错误!＝错误!，
即S＝2错误!。

因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，
使得|PM｜的值最小，
所以|PM|min＝错误!＝3，
所以四边形PAMB面积的最小值为：
S＝2错误!＝2错误!＝2错误!。

能力拓展提升
11.(2011·西安模拟)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点M（3，5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A、B、C、D为顶点的四边形ABCD的面积为（)
A．10错误!B．20错误!
C．30错误!D．40错误!
［答案］B
［解析] 圆的方程：(x－3）2＋（y－4)2＝25，
∴半径r＝5，
圆心到最短弦BD的距离d＝1,
∴最短弦长|BD｜＝46，
又最长弦长|AC|＝2r＝10，
∴四边形的面积S＝错误!×|AC|×|BD｜＝20错误!. 12．(文）（2011·成都龙泉第一中学模拟)以抛物线y2＝20x的焦
点为圆心，且与双曲线x2
16
－错误!＝1的两渐近线都相切的圆的方程为
( ）
A．x2＋y2－20x＋64＝0 B．x2＋y2－20x＋36＝0
C．x2＋y2－10x＋16＝0 D．x2＋y2－10x＋9＝0
[答案] C
[解析］抛物线的焦点坐标是(5,0)，双曲线的渐近线方程是3x±4y＝0，
点（5,0）到直线3x±4y＝0的距离d＝3即为所求圆的半径．故所求圆的方程为(x－5)2＋y2＝9，
即x2＋y2－10x＋16＝0，故选C。

（理)设A为圆(x－1）2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且｜PA|＝1,则P点的轨迹方程是( )
A．(x－1）2＋y2＝4 B．（x－1)2＋y2＝2
C．y2＝2x D．y2＝－2x
［答案］B
［解析］设P（x，y)，圆心C(1，0）,由题意知PA⊥AC，∴
|PC|2＝|PA|2＋|AC｜2＝2，∴（x－1）2＋y2＝2，故选B。

13．（2011·长春市调研）若圆上的点A（2，3）关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上,且圆与直线x－y＋1＝0相交所得的弦长为2错误!，则圆的方程是________________．
［答案］（x－6）2＋（y＋3)2＝52或(x－14)2＋（y＋7）2＝244［解析] 设圆的方程为（x－a)2＋（y－b)2＝r2,点A(2，3）关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x＋2y＝0上,即有a＋2b＝0,根据题意可得
错误!解得错误!或错误!
所求圆的方程为（x－6)2＋（y＋3）2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
14．(文）已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切,则圆C的方程为__________．[答案］（x＋1）2＋y2＝2
［解析］在直线方程x－y＋1＝0中，令y＝0得，x＝－1,∴圆心坐标为(－1，0)，
由点到直线的距离公式得圆的半径
R＝错误!＝错误!，
∴圆的标准方程为（x＋1）＋y2＝2.
(理）圆C的半径为1,圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于A、B，|AB|＝错误!，则该圆的标准方程是________．［答案］(x－1）2＋错误!2＝1
[解析］
设圆心C（a，b)，由条件知a＝1，取弦AB中点D，则CD＝错误!＝错误!＝错误!，
即b＝错误!，∴圆方程为(x－1）2＋错误!2＝1.
15．(文)（2011·青岛模拟）已知以点C错误!(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B,其中O为原点．(1）求证：△OAB的面积为定值;
（2）设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M、N，若｜OM｜＝｜ON｜，求圆C的方程．
［解析］（1）证明：∵圆C过原点O，∴OC2＝t2＋错误!。

设圆C的方程是（x－t)2＋错误!2＝t2＋错误!,
令x＝0，得y1＝0，y2＝错误!；
令y ＝0，得x 1＝0,x 2＝2t ，
∴S △OAB ＝12
｜OA |·|OB ｜＝错误!×错误!×｜2t ｜＝4， 即△OAB 的面积为定值．
(2)∵｜OM ｜＝｜ON |,｜CM |＝｜CN |,
∴OC 垂直平分线段MN .
∵k MN ＝－2，∴k OC ＝错误!.
∴直线OC 的方程是y ＝错误!x 。

∴错误!＝错误!t ，解得t ＝2或t ＝－2.
当t ＝2时，圆心C 的坐标为（2，1)，OC ＝错误!，
此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝错误!<错误!，
圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．
当t ＝－2时，圆心C 的坐标为（－2，－1)，OC ＝5,
此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝错误!>错误!.
圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交，
∴t ＝－2不符合题意，舍去．
∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5。

（理）(2011·北京模拟）已知点A (－3,0）,B (3,0）．动点P 满足｜PA ｜＝2｜PB |。

(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线C的方程；
（2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上,直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM｜的最小值．
[解析］(1)设P（x，y）,∵|PA｜＝2|PB|，
∴(x＋3）2＋y2＝4［（x－3)2＋y2]
整理得(x－5）2＋y2＝16。

(2）由条件知QM与圆C相切,
则问题转化为在直线l1上求一点Q，过点Q作⊙C的切线，求切线长的最小值．
由于⊙C的半径为定值4，欲使切线长最小,只需QC最小,而点C(5，0)为定点，因此，当CQ⊥l1时取得最小值，∵C到l1的距离d ＝4错误!,∴|QM|min＝错误!＝4.
16．（文)已知点A(－3，0）,B（3,0）,动点P满足|PA｜＝2｜PB|.
(1）若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程；
（2）若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
［分析] (1）设出点P的坐标,由|PA|＝2|PB｜写出方程，化简即可；
（2)直线l2与曲线C只有一个公共点M，故l2与C相切，当|QC｜
取最小值时，|QM|取到最小值，故|CQ|为点C到l1的距离时满足要求．
［解析] (1)设点P的坐标为（x,y),
则错误!＝2错误!，
化得可得(x－5)2＋y2＝16即为所求．
(2)曲线C是以点（5,0）为圆心，4为半径的圆，如图．
由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，
则|QM|＝错误!
＝|CQ|2－16,
当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝错误!＝4错误!，
此时｜QM|的最小值为错误!＝4.
(理)(2012·河南六市联考)已知直线l与抛物线x2＝4y相切于点P(2，1），且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为(2，0），动点Q满足错误!·错误!＋错误!｜错误!｜＝0。

(1）求动点Q的轨迹C的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，只要该圆的切线与切点Q的轨迹
C有两个不同交点M,N，就一定有OM，→
·错误!＝0？若存在,求出
该圆的方程；若不存在，请说明理由．
［解析] (1)由x2＝4y得y＝错误!x2，∴y′＝错误!x,
∴直线l的斜率为y′|x＝2＝1,
故l的方程为：y－1＝1(x－2），即y＝x－1,
∴点A坐标为（1，0)，
设Q（x，y）,则错误!＝(1,0)，错误!＝（x－2,y），错误!＝（x－1，y），由错误!·错误!＋错误!｜错误!|＝0得，
x－2＋0＋错误!错误!＝0，
化简整理得错误!＋y2＝1,
故动点Q的轨迹C的方程为：错误!＋y2＝1.
(2)假设存在这样的圆,其方程为x2＋y2＝r2（r>0）．
（ⅰ）当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m代入错误!＋y2＝1，可得(1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
判别式Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2）>0，
∴m2<1＋2k2,①
设M（x1，y1），N(x2,y2）,则x1＋x2＝－错误!，②
x1x2＝错误!，③
由错误!·错误!＝0，可得x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋（kx1＋m)(kx2＋m）＝(1＋k2）x1x2＋km（x1＋x2)＋m2＝0，④
将②③代入④得错误!－错误!＋m2＝0，m2＝错误!(1＋k2）,⑤
显然满足①式
由直线MN:y＝kx＋m与圆x2＋y2＝r2相切知：
r＝错误!，
∴r＝错误!＝错误!，即存在圆x2＋y2＝错误!满足题意．
(ⅱ)当直线MN的斜率不存在时，可得x1＝x2＝错误!或x1＝x2＝－
错误!，y1＝－y2＝错误!，满足错误!·错误!＝0，
综上所述：存在圆x2＋y2＝错误!满足题意．
1．双曲线错误!－错误!＝1(a>0，b〉0)的一条渐近线的倾斜角为60°,
直线ax＋by－a＋1＝0平分圆C：（x－2）2＋(y－错误!)2＝1，则点P(a，
b）与圆C的位置关系是（）
A．P在⊙C内B．P在⊙C上
C．P在⊙C外D．无法确定
［答案］C
［解析] 由条件得，
错误!解之得错误!
∵（－错误!－2)2＋(－错误!－错误!）2>1，∴点P在⊙C外．
2．(2011·临沂模拟）圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是（)
A．（－∞，错误!］B．（0，错误!]
C．(－错误!，0) D．(－∞,错误!)
[答案］A
［解析］由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1，2)，故可得a＋b＝1，∴ab≤(错误!)2＝错误!。

3．已知圆（x＋1)2＋(y－1）2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0距离为d,则d的最小值为（)
A．1 B.错误!
C。

错误!D．2
［答案] A
[解析］∵圆心C（－1，1)到直线3x－4y－3＝0距离为2，∴d min＝2－1＝1。

4．(2011·东北育才中学期末)圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直
线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( ) A．（－∞，4）B．（－∞，0）
C．(－4，＋∞) D．(4,＋∞）
［答案] A
［解析］圆(x－1）2＋(y＋3）2＝10－5a，由条件知，圆心C(1，－3)在直线y＝x＋2b上,∴b＝－2，又10－5a〉0，∴a<2,∴a－b〈4.
5．（2011·浙江宁波八校联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x＋1)2＋(y＋1）2＝8上,ab的最大值为________．
［答案] 1
[解析］由条件知a>0,b>0，(a＋1）2＋（b＋1)2＝8，∴a2＋b2＋2a＋2b＝6，∴2ab＋4错误!≤6,
∵ab〉0，
∴0<ab≤1，等号在a＝b＝1时成立．
[点评］作出图形可见，点（a，b）为⊙C在第一象限的一段
弧，由对称性可知，当点（a，b）为直线y＝x与⊙C的交点（1，1)时,ab取最大值1.。