实变函数期末考试卷A卷

实变函数
一、 判断题（每题2分，共20分）
1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。

（×）
2.必有比a 小的基数。

（√）
3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。

（√）
4.无限个开集的交必是开集。

（×）
5.若φ≠E ，则0*>E m 。

（×）
6.任何集n R E ⊂都有外测度。

（√）
7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。

（×）
8.可测集的所有子集都可测。

（×）
9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。

（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。

（×）
1.设E 为点集，E P ∉，则P 是E 的外点.（ × ）
2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ）
3.设
{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +⊂=则
1(
)lim ().n n n n m E m E ∞→∞
==（× ） 4.单调集列一定收敛. （√ ）
5.若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ⊂-=,()f x 在F 上连续.（ × ）
二、填空题（每空2分，共20分）
1.设B 是1R 中无理数集，则=B c 。

2.设1,1,,3
1,21,1R n A ⊂⎭⎬⎫⎩⎨⎧= ，则=0A φ ，='A }0{ 。

3.设 ,2,1,0),1
1,11(=++-=n n n A n ，则=⋃∞=n n A 0 )1,1(- ，=⋂∞=n n A 1 }0{ 。

4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。

5.设E 是]1,0[上的Cantor 集，则mE 0 。

6.设A 是闭集，B 是开集，则B A \是 闭 集。

7.闭区间],[b a 上的有界函数)(x f Rimann 可积的充要条件是 )(x f 是],[b a 上的几乎处处的连续函数 。

8. Rimann 函数是 Rimann 可积也是Lebesgue 可积的。

三、计算题（每题10分，共20分）
1.计算dx nx x n nx R n ⎰+∞→103222
1sin 1)(lim 。

（提示：使用Lebesgue 控制收敛定理） 解：设nx x n nx x f n 3222
1sin 1)(+=),2,1( =n ，则 （1） 因)(x f n 在]1,0[上连续，所以是可测的；
（2）]1,0[,0)(lim ∈=∞→x x f n n ；
（3）因为
显然)(x F 在]1,0[上可积。

于是由Lebesgue 控制收敛定理，有
2. 设⎪⎩
⎪⎨⎧=为有理数，的无理数；为小于的无理数为大于x x x x x x f ,01,;1,)(2试计算⎰]2,0[)(dx x f 。

解：因为有理数集的测度为零，所以
2)(x x f = ..e a 于]1,0[， x x f =)( ..e a 于]2,1[。

于是
四、证明题（每题8分，共40分）
1. 证明：)\()(\11n n n n A A A A ∞
=∞==
证明：)(\1n n A A ∞=( A =n n A ∞
=1c )
=)(1c
n n A A ∞= 2. 设M 是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合，证明M 是至多可列集。

证明：由有理数集的稠密性可知，每一个开区间中至少有一个有理数，从每个开区间中取定一个有理数，组成一个集合A 。

因为这些开区间是互不相交的，所以此有
理数集A 与开区间组成的集合M 是一一对应的。

则A 是有理数集的子集，故至多可列，所以M 也是至多可列集。

3. 证明：若0=*E m ，则E 为可测集。

证明：对任意点集T ，显然成立着
)()(c E T m E T m T m ***+≤。

另一方面，因为0=*E m ，而E E T ⊂ ，所以E m E T m **≤)( ，于是)(E T m *0=。

又因为c E T T ⊃，所以)(c E T m T m **≥，从而
)()(c E T m E T m T m ***+≥。

总之，)()(c E T m E T m T m ***+=。

故E 是可测集。

4. 可测集E 上的函数)(x f 为可测函数充分必要条件是对任何有理数r ，集合])([r x f E <是可测集。

一、填空题（每小题2分，共10分）
（ D ）1、()()\\\A B C A B C =成立的充分必要条件是（ ）
A 、A
B ⊂ B 、B A ⊂
C 、A C ⊂
D 、C A ⊂
（ A ）2、设E 是闭区间[]0,1中的无理点集，则（ ）
.C E 是不可测集 .D E 是闭集
（ C ）3、设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E A 是（ ）
.A 可测集且测度为零 .B 可测集但测度未必为零
.C 不可测集 .D 以上都不对
（ B ）4、设mE <+∞，(){}n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数，则(){}n f x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x 的（ ）
.A 必要条件 .B 充分条件
.C 充分必要条件 .D 无关条件
（ D ）5、设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）
.A ()f x 是E 上的连续函数
.B ()f x 是E 上的勒贝格可积函数
.C ()f x 是E 上的简单函数
.D ()f x 可表示为一列简单函数的极限
设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是一开集，而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。

证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续的，所以存在0δ>，使任意(,)x ∈-∞∞，
0||()x x f x a δ-<>就有， …………………………(5分) 即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈⊂就有所以是开集…………………………（10分） 若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，
0()lim ()n n f x f x a →∞
=≥， 即0x E ∈，因此E 是闭集。

（1）设2121(0,),(0,),1,2,,n n A A n n n
-==求出集列{}n A 的上限集和下限集 证明：lim (0,)n n A →∞=∞………………………………………………………………………（5分） 设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即2n x A ∈，所以x 属于下标比N 大的
一切偶指标集，从而x 属于无限多n A ，得lim n n x A →∞
∈， 又显然lim (0,),lim (0,)n n n n A A →∞→∞
⊂∞=∞所以…………………………………………………（7分） lim n n A φ→∞
=…………………………………………………………………………………（12分） 若有lim n n x A →∞
∈，则存在N ，使任意n N >，有n x A ∈，因此若21n N ->时，
211,0,00n x A x n x n -∈<<→∞<≤即令得，此不可能，所以lim n n A φ→∞
=………………（15分）
（2）可数点集的外测度为零。

证明：证明：设{|1,2,}i E x i ==对任意0ε>，存在开区间i I ，使i i x I ∈，且||2i i I ε=（8
分）
所以
1i i I E ∞=⊃，且1||i i I ε∞
==∑，由ε的任意性得*0m E =………………………………（15。