广东省湛江一中高三数学第一次综合检测试题 文 新人教A版

湛江一中2014届高三第一次综合检测数学文试题
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色笔将自己的姓名、班级、学号、清楚填写在答题卷的密封
线内，座位号填写在试卷右上角的座位号栏内。

2．每小题选出答案后，填写在试卷的答题栏内，在试题上作答无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数()1()z a a i
a R =++∈是纯虚数，则2z 的值为( )
A ．0
B ．1-
C ．i
D ． i -
2.命题“x R ∃∈，2
210x x -+<”的否定是 （ ） A ．x R ∃∈，2
210x x -+≥ B ．x R ∃∈，2
210x x -+> C ．x R ∀∈，2210x x -+≥
D ．x R ∀∈，2
210x x -+<
3.若()()1,2,3,,,a b m a b ==-⊥r r r r
，则=m ( )
A ．
32 B ．3
2
- C ．6 D ．6- 4.已知R θ∈，则“3
π
θ=”是“1cos 2θ=”的（ ）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既非充分也非必要条件
5.设,x y 满足24,
1,22,x y x y x y +≥⎧⎪
-≥⎨⎪-≤⎩
则z x y =+（ ）
A ．有最小值2，最大值3
B ．有最小值2，无最大值
C ．有最大值3，无最小值
D ．既无最小值，也无最大值 6．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知728S =，836S =，则15S =( )
A ．210
B ．120
C ．64
D ．56
7．如下图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且其体积为4
π
. 则该几何体的俯视图可以是( )
第7题图
8.已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值是4，最小值是0，最小正周期是
2
π
，直线3
x π=
是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ）
A.4sin(4)6y x π
=+ B.2sin(2)23
y x π
=++ C.2sin(4)23y x π
=+
+ D.2sin(4)26
y x π
=++ 9．若n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列命题： ①若n m n m ⊥⊥则,//,αα； ②若βαγβγα//,,则⊥⊥； ③若n m n m //,//,//则αα； ④若//,//,m αββγα⊥，则m γ⊥ 其中正确命题的个数为
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10.⎪⎩⎪
⎨⎧>+-≤<=10,62
1100|,lg |)(x x x x x f 已知函数 , 若a ，b ，c 互不相等，且f （a ）=f （b ）=f （c ），
则abc 的取值范围是（ ）
A.(1,10)
B.(5,6)
C.(10,12)
D.(20, 24)
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共5小题，只做4小题。

其中第11－13题为必做题，第14、15题为选做题，只能做其中的一题，做两题的，按第一题记分。

每小题5分，满分20分 (一)必做题： 11.函数()()
lg 43
x f x x -=
-的定义域为____________.
12. 幂函数2
223
(1)m
m y m m x --=--，当x ∈(0,+ ∞) 时为减函数，则实数m 的值是
__________ 13.给出下列四个命题： ①函数
有最小值2；
②函数的图象关于点对称；
③若“p 且q ”为假命题，则p 、q 为假命题； ④已知定义在R 上的可导函数y ＝f （x ）满足：对都有f （－x ）＝－f （x ）成
立，若当x ＞0时，
'()f x ＞0，则当x ＜0时，'()f x ＞0.
其中正确命题的序号是＿＿＿＿＿＿
(二)选做题：只能做其中的一题，做两题的，按第一题记分 14．(坐标系与参数方程选做题)若(2,1)P -为曲线15cos 5sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩(θ为参数且02πθ≤<)
的弦的中点，则该弦所在直线的普通方程为 . 15．(几何证明选讲选做题)如图，在ABC ∆中，DE ∥BC ，
DF ∥AC ，AE ︰AC ＝3︰5，6DE =，则BF ＝____.
三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤.
16．（本小题满分12分） 已知tan 2θ=
(1)求tan()4
π
θ-的值； (2)求cos2θ的值
17．（本小题满分12分）某制造商11月生产了一批乒乓球,随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位mm ,保留两位小数)，将数据分组如下表
（1）请
在上表中补充完成频率分布表, 并在右图中画出频率分布直方图;
（2）若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40mm ，试求这批球的直径误差
不超过0.03mm 的概率；
（3）统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[39994001).,.的中点值是40.00）作为代表. 据此,估计这批乒乓球直径的平均值.
18.( 本小题满分14分)已知向量(3sin 22,cos )m x x =+u r ，(1,2cos )n x =r
，设函数
n m x f ⋅=)(，x ∈R .（1）求)(x f 的最小正周期与最大值；（2）在ABC ∆中， c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，若ABC b A f ∆==,1,4)(的面积为
2
3
，求a 的值. 19.（本小题满分14分）如图所示，已知矩形ABCD 中，AB=10,BC=6，将矩形沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到A 1点，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上。

F
E C
B
D A 第15题图
分组 频数
[39953997).,. 10
[39973999).,. 20 [39994001).,. 50 [40014003].,. 20
合计 100
(1)求证：BC ⊥A 1D;(2)求证：平面A 1BC ⊥平面A 1BD;(3)求三棱锥A 1-BCD 的体积。

2O.（本小题满分14分）已知函
()(cos sin )x f x e x x =⋅-,将满足()0f x '=的所有正数x 从小到大排成数列{}n x ,记()()n n a f x n *=∈N ,ln n n b a =||.
（1）证明数列{}n a 为等比数列; （2）求数列{}n b 的前n 项的和;
（3）若1
2n n n c b -=⋅，求数列{}n c 的前n 项的和.
21．（本小题满分14分）(本小题满分14分)设函数2
()ln f x a x bx =-. （1）若函数)(x f 在1x =处与直线2
1
-=y 相切， ①求实数a ，b 的值；
②求函数()f x 在1[,]e e
上的最大值；
（2）当0b =时，若不等式x m x f +≥)(对所有的3[0,]2
a ∈，(
21,x e ⎤∈⎦都成立，求实
数m 的取值范围
B
C
D
A 1
2014届湛江一中高三月考文科数学参考答案
一、本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B B B D D B C
二、填空题(本大题共5小题，只做4小题。

满分20分)
11．()4,3()3,Y ∞- 12．2 13．①②④ 14．03=--y x 15．4
三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17. 解 : （1）频率分布表如下……（3分 ）
分组
频数 频率 频率
组距
[39953997).,. 10 0.10 5 [39973999).,. 20 0.20 10 [39994001).,. 50 0.50 25 [40014003].,. 20 0.20
10 合计
100
1
频率分布直方图如图 ………………6分 （2）误差不超过0.03mm ，即直径落在[39974003].,.范围内的概率为
02050209.+.+.=. ……………9分
（3）整体数据的平均值约为
39960103998020400005040020.2040.00.⨯.+.⨯.+.⨯.+.⨯=(mm ) ………12分
注：频率分布表可不要最后一列，这里列出，只是为画频率分布图方便
(2)由4)(=A f 得，43)6
2sin(2=++
π
A ，即 2
1)6
2sin(=
+π
A ， ∵ π<<A 0, ∴6
56
2ππ
=+A ， ∴ 3
π=
A …………………10分
又
2
3
sin 21=A bc , 即2343=c , ∴ 2=c …………………12分 由余弦定理得，32
1
21241cos 22
2
2
=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ∴ 3=
a …………………………14分
19.（本小题满分14分）（1）ΘBC ⊥CD,BC ⊥A 1O,∴BC ⊥平面A 1CD, …（2分）又A 1D ⊂平面A 1CD,∴ BC ⊥A 1D; …（4分）(2)Θ A 1D ⊥ A 1B, A 1D ⊥BC, ∴ A 1D ⊥平面A 1BC, …（6分）又A 1D ⊂平面A 1BD,∴平面A 1BC ⊥平面A 1BD; …（8分）(3)由（1）可知：BC ⊥平面A 1CD ，∴BC ⊥A 1C, ∴△A 1CB 为直角三角形。

…（10分）ΘBC=6, A 1B=AB=10,∴ A 1C=8, ∴ BC A S 1∆=2
1
×6×8=24, …（12分）∴486243
1
31111=⨯⨯=••=
=∆--DA S V V BC A BC A D BCD A …（14分）
（2）由（1）知1()()n n n a e e e πππ
-=--=-
所以 ln ||n n b a n π==,所以{}n c 是以π为首项,π为公差等差数列, ………8分
12(1)(1)
22
n n n n n b b b
n πππ-++++=⋅+
⋅=L ………10分 （3） 1122n n n n c b n π--=⋅=⋅⋅,记数列1
{2}n n b -⋅的前n 项的和为n S ,则
2212232(1)22n n n S n n πππππ--=+⋅+⋅++-⋅+⋅L , …………11分 231222232(1)22n n n S n n πππππ-=
+⋅+⋅++-⋅+⋅L
两式相减得2
1
(12)
222
2212
n n n
n n S n n πππππππ---=++++-⋅=
-⋅-L ………13分
所以(221)n n
n S n π=⋅-+. ……14分
21．(本小题满分14分)
解：（1）①
'()2a
f x bx x =
-
∵函数()f x 在1x =处与直线
1
2
y =-
相切'(1)20,1(1)2f a b f b =-=⎧⎪∴⎨=-=-⎪⎩解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ……3分
②
2
2111()ln ,'()2x f x x x f x x x x -=-=-=
当1
x e e ≤≤时，令'()0f x >得1
1<≤x e ；
令'()0f x <，得e
x ≤<1⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡∴1,1)(e x f 在上单调递增，在[1，e]上单调递减， max 1
()(1)2f x f ∴==-
…………8分。