最新七年级上册有理数(提升篇)(Word版 含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）
1．点A、B在数轴上表示的数如图所示，动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度的速度向点B运动到点B停止运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动设点P运动的时间为t秒，P、Q两点的距离为d（d≥0）个单位长度．
（1）当t＝1时，d＝________；
（2）当P、Q两点中有一个点恰好运动到线段AB的中点时，求d的值；
（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，直接写出d的值；
（4）当d＝5时，直接写出t的值．
【答案】（1）3
（2）解：线段AB的中点表示的数是：＝1．
①如果P点恰好运动到线段AB的中点，那么AP＝AB＝3，t＝＝3，
BQ＝2×3＝6，即Q运动到A点，
此时d＝PQ＝PA＝3；
②如果Q点恰好运动到线段AB的中点，那么BQ＝AB＝3，t＝，
AP＝1× ＝，
则d＝PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝6﹣﹣3＝．
故d的值为3或
（3）解：当点P运动到线段AB的3等分点时，分两种情况：
①如果AP＝AB＝2，那么t＝＝2，
此时BQ＝2×2＝4，P、Q重合于原点，
则d＝PQ＝0；
②如果AP＝AB＝4，那么t＝＝4，
∵动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动，
∴此时BQ＝6，即Q运动到A点，
∴d＝PQ＝AP＝4．
故所求d的值为0或4
（4）解：当d＝5时，分两种情况：
①P与Q相遇之前，
∵PQ＝AB﹣AP﹣BQ，
∴6﹣t﹣2t＝5，
解得t＝；
②P与Q相遇之后，
∵P点运动到线段AB的中点时，t＝3，此时Q运动到A点，停止运动，
∴d＝AP＝t＝5．
故所求t的值为或5．
【解析】【分析】（1）当t＝1时，求出AP＝1，BQ＝2，根据PQ＝AB﹣AP﹣BQ即可求解；（2）分①P点恰好运动到线段AB的中点；②Q点恰好运动到线段AB的中点两种情
况进行讨论；（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，分①AP＝AB；②AP＝AB两种情况进行讨论；（4）当d＝5时，分①P与Q相遇之前；②P与Q相遇之后两种情况进行讨论．
2．如图，数轴上点A，B分别对应数a，b.其中a＜0，b＞0.
（1）当a＝﹣2，b＝6时，线段AB的中点对应的数是________；（直接填结果）
（2）若该数轴上另有一点M对应着数m.
①当m＝2，b＞2，且AM＝2BM时，求代数式a+2b+20的值；
②当a＝﹣2，且AM＝3BM时，小安演算发现代数式3b﹣4m是一个定值.
老师点评：你的演算发现还不完整!
请通过演算解释：为什么“小安的演算发现”是不完整的？
【答案】（1）2
（2）解：①当m＝2，b＞2时，点M在点A，B之间，
∵AM＝2BM，
∴m﹣a＝2（b﹣m），
∴2﹣a＝2（b﹣2），
∴a+2b＝6，
∴a+2b+20＝6+20＝26；
②小安只考虑了一种情况，故老师点评“小安的演算发现”是不完整的.
当点M在点A，B之间时，a＝﹣2，
∵AM＝3BM，
∴m+2＝3（b﹣m），
∴m+2＝3b﹣3m，
∴3b﹣4m＝2，
∴代数式3b﹣4m是一个定值.
当点M在点B右侧时，
∵AM＝3BM，
∴m+2＝3（m﹣b），
∴m+2＝3m﹣3b，
∴2m﹣3b＝2，
∴代数式2m﹣3b也是一个定值.
【解析】【解答】解：（1）由题意得出，线段AB的中点对应的数是2，
故答案为：2.
【分析】（1）首先根据数轴的性质，即可得出中点对应的数值；（2）①首先判定点M 在点A，B之间，然后根据等式列出关系式，即可得解；②根据题意，分两种情况进行求解：点M在点A，B之间和点M在点B右侧时，通过列出等式，即可判定.
3．阅读下面的材料：
如图1，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB=b-a．请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动3cm到达A点，再向左移动1cm到达B 点，然后向右移动6cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．
（1）请你在数轴上表示出A、B、C三点的位置：
（2）点C到点A的距离CA=________cm；若数轴上有一点D，且AD=4，则点D表示数________；
（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为________；（用代数式表示）；（4）若点B以每秒3cm的速度向左移动，同时A、C点分别以每秒1cm、5cm的速度向右移动．设移动时间为t秒，试探索：CA-AB的值是否会与t的值有关？请说明理由.
【答案】（1）解：点A表示-3，点B表示-4，点C表示2，如图所示，
（2）5；1或-7
（3）-3+x
（4）解：CA-AB的值与t的值无关.理由如下：由题意得，点A所表示的数为-3+t，点B表示的数是-4-3t，点C表示的数是2+5t，
∵点C的速度比点A的速度快，
∴点C在点A的右侧，∴CA=（2+5t）-(-3+t)=5+4t,
∵点B向左移动，点A向右移动，
∴点A在点B的右侧，
∴AB=（-3+t）-（-4-3t）=1+4t，
∴CA-AB=(5+4t)-(1+4t)=4.
【解析】【解答】（2）CA=2-（-3）=2+3=5；
当点D在点A右侧时，点D表示的数是：4+（-3）=1；
当点D在点A左侧时，点D表示的数是：-3-4=-7；
故答案为5；1或-7.
（ 3 ）点A表示的数为-3，则向右移动xcm，移动到(-3+x)处.
【分析】（1）在数轴上进行演示可分别得出点A，点B，点C所表示的数；
（2）由题中材料可知CA的距离可用右边的数减去左边的数，即CA=2-（-3）；
由AD=4，且点A，点D的位置不明确，则需分类讨论：当点D在点A右侧时，和当点D 在点A左侧时，两种情况；
（3）向右移动x，在原数的基础上加“x”；
（4）由字母t分别表示出点A，点B，点C的数，由它们的移动方向不难得出点C在点A 的右侧，点A在点B的右侧，依此计算出CA，AB的长度，计算CA-AB的值即可.
4．观察下列等式：
第1个等式： = = ×(1－ )；
第2个等式： = = ×( － )；
第3个等式： = = ×( － )；第4个等式： = = ×( － )；…
请回答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式： =________=________；
（2）用含n的代数式表示第n个等式： =________=________（n为正整数）；
（3）求的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）解：a1+a2+a3+a4+…+a2018= ×(1－ )+ ×( － )+ ×( － )+ ×( －) +…+ = .
【解析】【解答】解：(1)第5个等式：a5= ，
故答案为 .
( 2 )an= ，
故答案为 .
【分析】（1）根据前四个式子的规律，就可列出第5个等式，计算可求解。

（2）根据以上规律，就可用含n的代数式表示出第n个代数式。

（3）根据以上的规律，可得出a1+a2+a3+a4+…+a2018= ×(1－ )+ ×( － )+ ×( － )+ ×( －) +…+ ，计算即可求出结果。

5．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且表示数a的点，数b的点与原点的距离相等。

（1）用“>”“<”或”=”填空：b________0，a+b________0，a-c________0 ，b-c________0 （2）|b-1|+|a-1|=________；
（3）化简：|a+b|+|a-c|-|b|+|b-c|。

【答案】（1）<；=；>；<
（2）a-b
（3）解：∵a+b=0，a＞c，b＜c，
∴原式=0+a-c-（-b）+c-b
=a.
【解析】【解答】解：（1）b＜0
∵表示数a的点，数b的点与原点的距离相等，
∴a+b=0；
∵a＞c，
∴a-c＞0；
∵b＜c，
∴b-c＜0.
故答案为：＜、=、＞、＜.
（2）∵b＜1，a＞1
∴b-1＜0，a-1＞0，
∴|b-1|+|a-1|=1-b+a-1=a-b；
故答案为：a-b；
【分析】（1）观察数轴可知b＜0，a与b互为相反数，a＞c，b＜c，由此可得答案。

（2）观察数轴可知b＜1，a＞1，从而可判断出b-1，a-1的符号，然后化简绝对值，合并即可。

（3）由a+b=0，a＞c，b＜c，再化简绝对值，然后合并同类项。

6．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数，且、满足与互为相反数.
（1） ________， ________， ________.
（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；
（3）点、、开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 .
①请问：的值是否随着时间变化而改变？若变化，说明理由；若不变，请求其值.
②探究：在(3)的情况下，若点、向右运动，点向左运动，速度保持不变，
值是否随着时间的变化而改变，若变化，请说明理由；若不变，请求其值.【答案】（1）解：-3；-1；5；(2)3；
（2）3
（3）解：① ，
，
.
故的值不随着时间的变化而改变；
② ，
，
.
当时，
原式，的值随着时间的变化而改变；
当时，
原式，的值不随着时间的变化而改变.
【解析】【解答】（1）∵，∴，，解得，，∵是最大的负整数，∴ .故答案为：-3，-1，5.
(2) ，对称点为， .故答案为：3.
【分析】（1）由非负数的性质可求出a、c，最大的负整数是-1，故b=-1；
（2）折叠后AC重合，A、C的中点即为对称点，再根据对称点求出跟B重合的数；（3）①用速度乘以时间表示出运动路程，可得到和的表达式，再判断
的值是否与t相关即可；②同理求出和的表达式，再计算，分情况讨论得出结果.
7．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：
（1）已知|x|＝3，则x的值是________．
（2）数轴上表示2和6两点之间的距离是________，数轴上表示1和﹣2的两点之间的距离为________；
（3）数轴上表示x和1两点之间的距离为________，数轴上表示x和﹣3两点之间的距离为________
（4）若x表示一个实数，且﹣5＜x＜3，化简|x﹣3|+|x+5|＝________；
（5）|x+3|+|x﹣4|的最小值为________，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值为________．
（6）|x+1|﹣|x﹣3|的最大值为________．
【答案】（1）
（2）4；3
（3）|x﹣1|
；|x+3|
（4）8
（5）7；6
（6）4
【解析】【解答】解：（1）∵，则；
故答案为：；（2），，
故答案为：4，3；（3）根据两点间距离公式可知：数轴上表示x和1两点之间的距离为：；
数轴上表示x和-3两点之间的距离为：；
故答案为：，；（4）x对应点在点-5和3之间时的任意一点时|x-3|+|x+5|的值都是8；
故答案为：8；（5）x对应点在点-4和3之间时的任意一点，|x-3|+|x+4|的值最小是7；当x对应点是3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值为6；
故答案为：7，6；（6）当x对应点不在-1和3对应点所在的线段上，即x＜-1或x＞3时，
|x+1|-|x-3|的最大值为4；
故答案为：4．
【分析】（1）根据绝对值的意义，即可得到答案；（2）（3）直接代入公式即可；（4）实质是在表示3和-5的点之间取一点，计算该点到点3和-5的距离和；（5）可知x对应点在对应-3和4的点之间时|x+3|+|x-4|的值最小；x对应点在3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|值最小；（6）可知x对应点在表示-1和3的点所形成的线段外时，|x+1|-|x-3|的值最大．
8．阅读材料:
在数轴上，点 A 在原点 0 的左边，距离原点 4 个单位长度，点 B 在原点的右边，点 A 和点B 之间的距离为 14个单位长度.
（1）点 A 表示的数是________，点 B 表示的数是________;
（2）点 A、B 同时出发沿数轴向左移动，速度分别为 1 个单位长度/秒，3 个单位长度/秒，经过多少秒，点 A 与点 B重合?
（3）点 M、N 分别从点 A、B 出发沿数轴向右移动，速度分别为 1 个单位长度/秒、2 个单位长度/秒,点 P 为 ON 的中点，设 OP-AM 的值为 y,在移动过程中，y 值是否发生变化?若不变，求出 y 值;若变化，说明理由.
【答案】（1）-4；10
（2）解：由题意知，此时为速度问题里面的追击问题，则由速度差×相遇时间＝相距距离可知：
设经过x秒后重合，即x秒后AB相遇.
则(3-1)x=14
解得：x=7
故7秒后点A，B重合.
（3）解：y不发生变化，理由如下：
设运动时间为x秒，则AM=x
而OP=
则y=OP-AM=
故y为定值，不发生变化.
【解析】【解答】解：（1）由A在原点左边4个单位长度可知A点表示的数是-4，由B 在原点右边且与点A距离14个单位长度可知，-4+14=10，则B点表示的数是10.
【分析】（1）由A在原点左边4个单位长度可知A点表示的数是-4，再根据B 在原点右边且与点A距离14个单位长度，可由-4+14=10可得B点表示的数.（2）把A，B看成距离为14个单位长度的追击问题，由速度差×相遇时间＝相距距离列出等式求解.（3）设移动时间为x秒，用含有x的代数式表示出OP与AM的长度，然后根据y= OP-AM列出关系式判断,若式中不含x项则不发生变化，含x项则发生变化.
9．已知a是最大的负整数，b、c满足，且a，b，c分别是点
A，B，C在数轴上对应的数.
（1）求a，b，c的值，并在数轴上标出点A，B，C；
（2）若动点P从C出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒2个单位长度，运动几秒后，点P到达B点?
（3）在数轴上找一点M，使点M到A，B，C三点的距离之和等于13，请直接写出所有点M对应的数.(不必说明理由)
【答案】（1）解：∵a是最大的负整数，
∴a=-1，
∵|b-3|+（c+4）2=0，
∴b-3=0，c+4=0，
∴b=3，c=-4.
表示在数轴上为：
（2）解：BC=3-（-4）=7，则运动时间为秒
（3）解：设点M表示的数为x，使P到A、B、C的距离和等于13，
①当M在点B的右侧，x-（-4）+x-（-1）+x-3=13.
解得x= ，
即M对应的数是 .
②当M在C点左侧，（-4）-x+（-1）-x+3-x=13.
解得x=-5，
即M对应的数是-5.
综上所述，点M表示的数是或-5
【解析】【分析】（1）根据最大的负整数是1，可得到a的值，再利用几个非负数之和为0，求出b，c的值，然后根据a，b，c的值在数轴上标出A、B、C的位置。

（2）利用两点间的距离公式求出BC的长，再根据段P的运动速度就可求出点P到达点B 的运动时间。

（3）设点M表示的数为x，使P到A、B、C的距离和等于13，再分情况讨论：①当M 在点B的右侧；②当M在C点左侧，分别建立关于x的方程，分别求出方程的解。

10．已知：是最大的负整数，且、b、c满足（c﹣5）2+| +b|=0，请回答问题.
（1）请直接写出、b、c的值： =________，b=________，c=________.
（2）、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到1之间运动时（即0≤x≤1时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x-5|（请写出化简过程）. （3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）-1；1；5
（2）解：当0≤x≤1时x+1＞0，x﹣1≤0，x-5 0
则|x+1|﹣|x﹣1|+2|x-5|
=x+1﹣(1﹣x）+2(5-x）
=x+1﹣1+x+10-2x
=10
（3）解：BC﹣AB的值不随的变化而改变，总为2
秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
此时，BC=（）-（）= ，
AB=（）-（）= ，
所以BC-AB=（）-（）=2
∴BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变，总为2.
【解析】【解答】解：（1）∵是最大的负整数，
∴ =﹣1
∵（c﹣5）2+| +b|=0
∴c-5=0;a+b=0
∴b=1；c=5
【分析】（1）根据绝对值和完全平方式的非负性求值即可；（2）由0≤x≤1得出x+1＞0；x﹣1≤0；x-5 0，然后根据绝对值的意义进行化简；（3）分别表示出t秒后，点A,B,C 所表示的数，然后根据两点间的距离求得BC,AB的长度，然后进行计算并化简.
11．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=22，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒
（1）数轴上点B表示的数是________；点P表示的数是________(用含t的代数式表示) （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同
时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？
（3）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长。

【答案】（1）﹣14；8﹣5t
（2）解：分两种情况：
①点P、Q相遇之前，
由题意得3t+2+5t=22，解得t=2.5；
②点P、Q相遇之后，
由题意得3t﹣2+5t=22，解得t=3．
答：若点P、Q同时出发，2.5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2
（3）解：线段MN的长度不发生变化，其值为11，
理由如下：
①当点P在点A、B两点之间运动时：
MN=MP+NP= AP+ BP= （AP+BP）= AB= ×22=11；
②当点P运动到点B的左侧时：
MN=MP﹣NP= AP﹣ BP= （AP﹣BP）= AB=11
∴线段MN的长度不发生变化，其值为11．
【解析】【解答】解：（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB＝22，
∴点B表示的数是8−22＝−14，
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t＞0）秒，
∴点P表示的数是8−5t．
故答案为：-14、8-5t；
【分析】（1）根据已知可得B点表示的数为8−22；点P表示的数为8−5t；
（2）分①点P、Q相遇之前，②点P、Q相遇之后两种情况，根据P、Q之间的距离恰好等于2列出方程求解即可；
（3）线段MN的长度不发生变化，其值为11，理由如下：分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可.
12．把几个数用大括号括起来,相邻两个数之间用逗号隔开,如：{2，3}，{4，5，6}，…，我们称之为集合，其中每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满
足：当有理数x是集合的一个元素时，2019−x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合，例如{0，2019}就是一个黄金集合，
（1）集合{2019}________黄金集合，集合{−1，2020}________黄金集合.(填“是”或“不是”) （2）若一个黄金集合中最大的一个元素为4019，则该集合是否存在最小的元素?如果存在，请求出这个最小元素，否则说明理由；
（3）若一个黄金集合中所有元素之和为整数M，且16150<M<16155，则该黄金集合中共有多少个元素?请说明你的理由.
【答案】（1）不是；是
（2）解：一个黄金集合中最大的一个元素为4019，则该集合存在最小的元素，该集合最小的元素是−2000.
∵2019−a中a的值越大，则2019−a的值越小，
∴一个黄金集合中最大的一个元素为4019，则最小的元素为：2019−4019=−2000.
（3）解：该集合共有16个元素。

理由：∵在黄金集合中，如果一个元素为a，则另一个元素为2019−a，
∴黄金集合中的元素一定是偶数个.
∵黄金集合中的每一对对应元素的和为：a+2019−a=2019，2019×8=16152，2019×9=18171，
又∵一个黄金集合所有元素之和为整数M，且16150<M<16155，
∴这个黄金集合中的元素个数为：8×2=16(个).
【解析】【解答】解：(1)根据题意可得,2019−2019=0,而集合{2019}中没有元素0,故{2019}不是黄金集合；
∵2019−2020=−1，
∴集合{−1,2020}是黄金集合。

故答案为：不是，是
【分析】（1）根据定义有理数2019是集合的元素时，2019-2019=0也必是这个集合的元素，而0不在集合内，当2019−2020=−1时可知，-1在集合内，则问题可解；（2）根据定义，集合中较小的数为2019-4019=-2000；（3）根据题意可知黄金集合都是成对出现的，并且这对对应元素的和为2019，然后通过估算即可解答本题．。