黑龙江省大庆2017届高三数学(理)上学期期末考试试卷(有答案)

大庆铁人中学高三年级上学期期末考试
数 学 试 题
试卷说明：
1、本试卷满分150分，考试时间120分钟
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束只上交答题卡。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合}0,2{<==-x y y A x
，}{2
1x y x B ==，则=⋂B A ( ) A ．),1[+∞
B ．),1(+∞
C ．),0(+∞
D ．),0[+∞
2、若复数z 满足i z i +=+2)21(，则复数z 的虚部为（ ） A ．
5
5
2 B ．
i 5
5
2 C ．5
5
2-
D ．i 5
5
2-
3、正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知0152
7104=+-+a a a 错误！
未找到引用源。

，则=13S ( ) A ．39-
B ．5
C ． 39
D ． 65
4、下列说法正确的是（ ）
A ．若053,:2
>++∈∀x x R x p ，则053,:02
00<++∈∃⌝x x R x p
B ．“若3
π
α=
，则21cos =
α”的否命题是“若3πα=，则2
1
cos ≠α” C ．已知B A ,是ABC ∆的两个内角，则“B A >”是“B A sin sin >”的充要条件
D ．命题“q p ∨为真”是命题“q p ∧为真”的充分不必要条件
5、已知直线m l ,，平面βα,且βα⊂⊥m l ,，给出下列四个命题中，正确命题的个数为( ) (1) 若βα//，则m l ⊥ (2) 若m l ⊥，则βα// (3) 若βα⊥，则m l ⊥ (4) 若m l //，则βα⊥ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
6、为了得到函数sin(2)6
y x π
=-
的图像,可以将函数cos 2y x =的图像( )
A ．向右平移6π个单位
B ．向左平移3π
个单位 C ．向左平移
6π个单位 D ．向右平移3
π
个单位 7、若正数y x ,满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是（ ）
A ．
5
24 B ．528 C ．5 D ．6
8、如图，在ABC ∆中，D BC BAC AD BAC AC AB 于的角分线交是∠=∠==,60,3,2 ,则AC AD ∙的
值等于（ ） A ．
5
17
B ．533
C ．6
D ．
5
27 9、某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）
A.
8
3
B. 4
C. 2
D.
43
10、在三棱锥ABC S -中，
,1260SA ABC AB AC SA BAC ⊥===∠=平面，，,则三棱
锥
ABC S -的外接球的表面积是（ ）
A ．4π
B ．6π
C ．8π
D ．12π
11、如图，21,F F 为双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的左右
焦点，
过1F 的直线与双曲线的左右两支分别交于B A ,两点，若2ABF ∆为等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．4
B ．3
C ．3
3
2 D ．7
12、已知函数()),0(1
1
)(+∞∈+-+=
x x e x x f x
，且)(x f 在0x 处取得最小值，则
以下各式正确的序号为（ ）
①1)(00+<x x f ②1)(00+=x x f ③1)(00+>x x f ④3)(0<x f ⑤3)(0>x f A ．①④
B ．②④
C ．②⑤
D ．③⑤
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13、
dx x x )21(1
2+-⎰
= .
14、若{}n b 是等比数列，,,m n p 是互不相等的正整数，则有正确的结论：1n
m
p
p m n n p m b b b b b b ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⋅⋅=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
．类比上述性质，相应地，若{}n a 是等差数列，,,m n p 是互不相等的正整数，则有正确的结论： .
15、已知抛物线)0(22>=p px y ，过焦点F ，且倾斜角为 60的直线与抛物线交于B A ,两点，若6=AF ，则=BF .
16、关于
x 的函数)0(co s 22)4
s i n (2)(2
23≠++++
++=
t x
x t
x t tx x x f π
的最大值为m ，最小值为n ，且
2017=+n m ，则实数t 的值为 .
三、解答题：（第17题10分，18~22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分10分）已知)cos ,(cos ),cos ,sin (x x n x x m ωωωω-=+=113，n m x f ∙=)(，其中0>ω，若)(x f 的一条对称轴离最近的对称中心的距离为4
π
. （1）求)(x f 的对称中心； （2）若m x f x g +=)()(在区间],[2
0π
上存在两个不同的零点，求实数m 的取值范围.
18、（本小题满分12分）已知c b a ,,分别为锐角ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边，且
0sin 3cos =--+c b C a C a .
（1）求A 的大小；
（2）若3=a ，求ABC ∆面积的取值范围.
19、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*∈=+N n a S n n ,22.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设n n a b 21
log =，n
n b b c n n n ++=+11，求数列{}n c 的前n 项和为n T .
20、如图，棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都等于2，60ABC ∠=，平面11AAC
C ⊥平面ABC
D ，160A AC ∠=.
（1）求证：1BD AA ⊥；
（2）求二面角B D C A --11的平面角的余弦值.
21、椭圆E ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21
=e ，P 是椭圆上的一点，已
知21F PF ∆内切圆半径为1，内心为I ，且221=+∆∆PIF PIF S S .
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过椭圆的左焦点1F 做两条互相垂直的弦CD AB ,+的最小值.
22、（本小题满分
12分）已知函数
n m x x e x f x
++++=)ln(2
)(2
在点))0(,0(f 处的切线方程
为03)1(=+-+e ey x e . （1）求)(x f 的解析式；
（2）若当0≥x 时，32
)(2
++≥ax x x f 成立，求实数a 的取值范围.
大庆铁人中学高三年级上学期期末考试
数 学 试 卷 答 案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
13、
14
π
+ 14、()()()0p n m p n m m a a n a a p a a -+-+-= 15、 2或18 16、
2017
2
三、解答题：（第17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
()3sin cos (1cos )(1cos )
1cos 2sin 217122
1
sin(2)362f x m n x x x x x
x x ωωωωωωπω=⋅=++-+=
+-=-+
、分
因为)(x f 的一条对称轴离最近的对称中心的距离为
4
π
，且0>ω， 2===4484
T ππωω所以，即1
分
sin(2)=0,6212
k x x k Z
π
ππ
-=+∈当时，解得:
所以)(x f 的对称中心为(,0),6212
k k Z ππ
+∈分
（2）1()sin(2)6
2f x x π
=-
+
的单调递增区间为[0,]3π，单调递减区间为[,]32
ππ， 因为m x f x g +=)()(在区间],[2
0π
上存在两个不同的零点， 所以()f x m =-在区间],
[2
0π
上有两个不等的实数根， 3(0)0,(),()1
8322
f f f π
π
===分
3
3
1,
1.102
2
m m ≤-<-
<≤-即分
18、因为0sin 3cos =--+c b C a C a 由正弦定理得：C B C A C A sin sin sin sin 3cos sin +=+
即C C A C A C A sin )sin(sin sin 3cos sin ++=+ 化简得1cos sin 3=-A A 所以1
sin()36
2
A π
-
=
分
因为⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,
0πA ，所以)3,6(6πππ-∈-A
所以6
6π
π=
-
A ，即3
π
=
A 6分
（2
）22sin a
R A
=
== 7分 2sin 2sin 4sin sin()
32sin(2)1
96
bc R B R C B B B π
π
=⋅=⋅+=-+分
因为ABC ∆是锐角三角形
,,
621
sin(2)(,1]
62
(2,3]
1sin (2424
ABC B B bc S bc A πππ∆⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭
∴-∈∴∈==∈ 11分
所以ABC ∆
的面积的取值范围是 12分
19、（1）由*∈=+N n a S n n ,22
1=n 时，1122a a =+，21=∴a 1分
2≥n 时，1122--=+n n a S ……………………………①
n n a S 22=+………………………………②
②-①得1122---=-=n n n n n a a S S a 所以
21
=-n n
a a 4分 所以{}n a 是以2为首相，2为公比的等比数列，所以{}n a 的通项公式为⨯∈=N n a n n ,2，6分 （2）n n a
b 21
log =
n
1=， 7分
n
n b b c n n n ++=
+1
1 10分
=+++=n n c c c T 211
111
1
13121211+-
=+-
+
+-+-
n n n 12分
20、(1)证明 设BD 与AC 交于点O ，因为ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ，连接A 1O ， ∵平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD, 平面AA 1C 1C ∩平面ABCD=AC, BD ⊂平面ABCD ∴BD ⊥平面AA 1C 1C ∵AA 1⊂平面AA 1C 1C
∴BD ⊥AA 1 4分
(2)在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，∴A 1O 2＝AA 2
1＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3，
∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21，∴A 1O ⊥AO .
由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥平面ABCD . 6分
以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
),,(),,,(),,,(),,,(00332000330011-D C B A
设),,(z y x n =1为平面D C A 11的法向量, ),,(),,,(303020111--==A C A
∴⎪⎩
⎪⎨⎧=--=03302z x y ,取1=x ,得),,(1011-=n 8分 设),,(z y x n =2为平面D BC 1的法向量, ),,(),,,(00323231-=-=BD BC
∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-0
320323x z y x ,取3=y ,得),,(2302-=n 10分 ∴7
14
212121=
<|
|||,cos n n n n ∴二面角B D C A --11的平面角的余弦值为
7
14
12分
21、（1）设所求椭圆方程为：22
221(0)x y a b a b
+=>>
因为21F PF ∆内切圆半径为1，且221
=+∆∆PIF PIF S S
.
121222
111
212222
2
21
,1,2
1
443
PIF PIF S S PF r PF r a a e c b x y ∆∆+=⨯+⨯=⨯⨯=∴==∴==+=分
又所求椭圆方程为分
（2）①设直线AB 的方程为1(0)x my m =-≠，直线CD
的方程为1
1x y m
=--， 直线AB 与椭圆方程联立可得：22
(34)690m y my +--= 解得弦长22
121
34
m AB m +==+ 6分
同理可得弦长22112
1134m CD m
+=+ 7分
+=2
2
12134m m +++22112
1134m m ++=221212113411
m m ++-++ 设21
(0,1)1
t m =
∈+
+=
2
121212(43)84
34(3)(4)12
t t t t t t t t -+++==+-+--++ 当148,127
t m AB CD =
=±+即时，的最小值为 10分 ②当0m =
+=2
227b a a
+= 11分 综上：48
7
AB CD +的最小值为. 12分
22、（1）由题意知m
x x e x f x
++
+='1
)( ⎪⎩
⎪⎨⎧+='=e e f f 1030)()(，即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=++e e m n m 11131ln ，所以⎩⎨⎧==1n e m 4分 （2）32
)(2
++≥ax x x f 对于0≥∀x 恒成立 即02≥--++ax e x e x )ln(对于0≥∀x 恒成立
令2--++=ax e x e x F x
)ln()(,a e
x e x F x
-++
='1
)( 21)()(e x e x F x +-
=''，当0≥x 时,1≥x
e 112
≤+)(e x
所以0>'')(x F 对于0≥∀x 恒成立，所以)(x F '在),[+∞0单调递增 6分
a e
F x F -+='='1
10)()(min
1）当011≥-+
a e ，即e
a 1
1+≤时，0≥')(x F 且尽在0=x 时等号成立，所以)(x F 在),[+∞0单调递增，从而00=≥)()(F x F ，满足题意 8分
2）当011<-+
a e 即e
a 1
1+>时， 00<')(F ，01
1>+=-++
='a
e a a e e a F a ln ln )(ln ln 且)(x F '在),[+∞0单调递增，所以
)ln ,(a x 00∈∃，使得00=')(x F ， 10分
当),(00x x ∈时，0<')(x F ，所以)(x F 在),(00x 单调递减 当),(+∞∈0x x 时，0>')(x F ，所以)(x F 在),(+∞0x 单调递增 因此，当),(00x x ∈时，00=<)()(F x F ，不合题意 综上所述：e
a 1
1+≤ 12分。